Analyse quantitative des effets de profils d’entr´ ee incertains

egalement peu coˆuteuse, ce qui ´etait notre premier crit`ere) a cependant bien mis en ´evidence qu’il ´etait possible de modifier et mˆeme d’am´eliorer sensiblement la pr´ediction num´erique de l’´ecoulement (dans les sections A et B) en jouant sur la description des profils de vitesse en proche paroi, plus particuli`erement les composantes Uz et U_θ cˆot´e moyeu et la composante

U_z cˆot´e ceinture. Dans la section qui suit, nous proc´edons `a une premi`ere analyse quantita-tive en ´etudiant grˆace `a la strat´egie NISP de quantification d’incertitude l’impact de quelques param`etres descriptifs des profils d’entr´ee en proche paroi sur l’´ecoulement calcul´e dans l’aspi-rateur.

6.2.3 Analyse quantitative des effets de profils d’entr´ee incertains

Dans le cadre de l’analyse pr´eliminaire men´ee dans la section pr´ec´edente, nous avons fix´e `a la fois l’´epaisseur des couches limites pari´etales cˆot´es moyeu et ceinture,δ_ietδ_e, et les exposantsα_ietα_e

(a) Vitesse radiale (b) Vitesse tangentielle

(c) Vitesse d´ebitante

Figure 6.13: Analyse pr´eliminaire de sensibilit´e au profil de vitesse en proche paroi dans la section d’entr´ee. Profils de vitesse calcul´es dans la section B pour la configuration d’´ecoulement dite “forte charge” (lignes : calculs, symboles : exp´erience). Les num´eros de cas sont ceux donn´es dans le tableau 6.1.

des lois en puissance dans les expressions (6.2) et (6.3) (pour la vitesse d´ebitante, des expressions analogues ´etant utilis´ees pour les vitesses radiale et tangentielle). Dans le cas le plus g´en´eral, on pourrait imaginer de faire varier, en les consid´erant donc comme des param`etres incertains, `a la fois ces ´epaisseurs de couche limite et ces exposants, ´eventuellement mˆeme en consid´erant ces param`etres de fa¸con ind´ependante pour chacune des composantes de la vitesse dans la section d’entr´ee. Un tel choix conduirait `a g´erer douze param`etres incertains ce qui repr´esente un coˆut d’analyse excessif. Nous nous sommes finalement limit´es `a supposer l’ensemble des six profils proche paroi (pour les trois composantes de la vitesse, cˆot´e moyeu et cˆot´e ceinture) d´ecrits en faisant appel `a deux param`etres incertains seulement :

– nous supposons que seules les ´epaisseurs des couches limites δ_i et δ_e sont des param`etres incertains et fixons `a nouveau les exposantsαi etαe `a la valeur 1/7 ;

– nous supposons en outre que ces ´epaisseurs sont les mˆemes, pour une zone fix´ee (cˆot´e moyeu ou cˆot´e ceinture), quelle que soit la composante de vitesse consid´er´ee.

Les param`etres incertains retenus sont donc δi et δe utilis´es dans les formules (6.2) et (6.3) avec α_i etα_e fix´es et utilis´es ´egalement dans les formules analogues d´ecrivant les composantes

Figure 6.14: Analyse pr´eliminaire de sensibilit´e au profil de vitesse en proche paroi dans la section d’entr´ee. Evolution suivant z des pertes dans l’aspirateur pour la configuration dite “forte charge”. Les num´eros de cas sont ceux donn´es dans le tableau 6.1.

radiale et tangentielle de la vitesse d’entr´ee en proche paroi. Ces deux param`etres incertains sont suppos´es varier de fa¸con uniforme dans l’intervalle [0,(r<sup>(1)</sup>−ri)] pourδi et dans l’intervalle [0,(r<sub>e</sub>−r<sup>(I)</sup>)] pour δ<sub>e</sub>. On se donne ainsi la possibilit´e de d´ecrire l’´ecoulement en proche paroi en faisant appel `a la classique “prolongation” des valeurs disponibles enr=r(1) etr=r(I)(cas o`u les ´epaisseurs tendent vers 0) ou bien en utilisant une loi en puissance respectivement entre

r_i etr_i+δ_i cˆot´e moyeu et r_e etr_e−δ_e cˆot´e ceinture. Surtout, l’application de l’approche NISP nous permet de quantifier l’effet que ces incertitudes sur les ´epaisseurs δ_i et δ_e dans la section d’entr´ee produisent sur les profils de vitesse pr´edits dans les sections A et B de l’aspirateur. Pour deux param`etres incertains seulement et l’utilisation d’un ordrep= 2 pour le Chaos Polynˆomial avec quadrature de Gauss pour l’estimation des coefficients du d´eveloppement spectral, le plan d’exp´eriences `a r´ealiser contient neuf jeux de valeurs pour (δi, δe). L’utilisation de l’approche NISP nous permet donc de calculer les profils de vitesse moyenne dans les sections A et B ainsi que la variance ou l’´ecart-type associ´e `a ces profils. Ces deux informations statistiques sont trac´ees sur la figure 6.15 pour les configurations “optimale” et “forte charge” : on superpose sur les courbes de vitesse moyenne des barres d’erreur qui correspondent `a plus ou moins une fois l’´ecart-type autour de la valeur moyenne. Ces r´esultats statistiques peuvent ˆetre compar´es aux calculs d´eterministes initiaux pr´esent´es sur les figures 6.7 et 6.8.

En focalisant plus particuli`erement notre analyse sur les profils de vitesse axiale ou d´ebitante

Uz, nous observons que les niveaux d’incertitude les plus ´elev´es, provoqu´es donc par l’incertitude sur les profils d’entr´ee en proche paroi, sont localis´es au niveau de l’axe z et en ceinture, aussi bien au niveau de la section A que de la section B et dans le cas “optimal” comme dans le cas “forte charge”. Ces niveaux d’incertitude ne sont cependant pas suffisants pour expliquer l’´ecart observ´e entre la vitesseUz calcul´ee sur l’axe et la vitesse mesur´ee au mˆeme endroit : mˆeme si cet ´

ecart peut ˆetre l´eg`erement r´eduit en prenant en compte dans l’analyse l’incertitude d’entr´ee, les niveaux de vitesse axiale au voisinage imm´ediat de l’axez restent syst´ematiquement sur´evalu´es par le calcul RANS.

Nous souhaitons poursuivre la prise en compte quantitative des incertitudes pr´esentes dans les conditions d’entr´ee du probl`eme en nous int´eressant maintenant `a deux autres param`etres incertains associ´es aux simulations RANS : la longueur caract´eristique de la turbulence L_t et

(a) Station A (b) Station B

(c) Station A (d) Station B

Figure6.15: Analyse quantitative de l’effet des ´epaisseurs de couche limite incertaines en entr´ee. Lignes continues : profils de vitesse moyenne et barres d’erreur (± l’´ecart type) dans les sec-tions A et B ; symboles : valeurs exp´erimentales. En haut : configuration “optimale” ; en bas : configuration “forte charge”.

l’intensit´e turbulenteI_tqui permettent de d´efinir les quantit´esketωdans la section d’entr´ee de l’aspirateur. Pour des raisons de coˆut, nous nous limiterons cependant `a une analyse d´ecoupl´ee c’est-`a-dire que nous nous fixerons les profils de vitesse d’entr´ee en proche paroi.