Mod´elisation d’´ecoulements turbulents

Si le domaine de calcul est limit´e par une paroi solide ou par un sol, la vitesse normale `a la paroi est nulle et, pour prendre en compte les effets induits par la pr´esence de cette fronti`ere, on utilise le mod`ele de fonctions de paroi d´efini au paragraphe 2.3.1. Ce dernier impose une

contrainte de cisaillement et calcule les valeurs de k et ε `a l’aide de l’hypoth`ese d’´equilibre local entre la production et le taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente. Nous avons apport´e un soin particulier `a l’introduction du mod`ele de lois de paroi rugueuse dans l’op´erateur charg´e de discr´etiser les lois de parois.

3.3 Mod´elisation d’´ecoulements turbulents

CASTEM est un code de type “boˆıte `a outils” : l’algorithme de r´esolution, adapt´e au mo-d`ele RNG et au momo-d`ele de fonction de paroi rugueuse, a ´et´e incorpor´e directement au code source du programme. On y acc`ede par l’interm´ediaire du langage de donn´ee GIBIANE qui convertit les instructions de l’utilisateur en entit´es informatiques utilisables par le programme. De fa¸con g´en´erale, les jeux de donn´ees GIBIANE sont form´es d’instructions ´el´ementaires fai-sant appel aux op´erateurs sous-programm´es de CASTEM et contiennent les informations n´e-cessaires

– `a la construction du maillage (d´efinition de la g´eom´etrie), – `a la d´efinition des mod`eles physiques et num´eriques, – `a la d´efinition des conditions aux limites,

– `a l’initialisation des variables,

– au suivi des variables et de la convergence, – au post-traitement des r´esultats.

Construction du maillage

La construction d’un maillage fait appel au pr´e-processeur GIBI du logiciel. Son manie-ment offre une grande souplesse et permet de param´etrer enti`eremanie-ment le maillage. Ainsi tous les sous-domaines sur lesquels s’appliquent des op´erations particuli`eres (d´efinition de conditions aux limites, post-traitement) peuvent ˆetre clairement identifi´es sans avoir `a ´ecrire des listes de num´eros de noeuds ou d’´el´ements. Les maillages utilis´es pour cette ´etude sont compos´es de quadrangles stabilis´es de type QUA8.

CHAPITRE 3. APPROCHE NUM ´ERIQUE 67

Param`etres de la mod´elisation

Le domaine de calcul est d´efini `a partir du maillage. Les ´equations de Navier-Stokes moyenn´ees, coupl´ees `a un mod`ele de turbulence de type k_ ε , sont discr´etis´ees sur ce do-maine. L’utilisateur a le choix entre le mod`ele standard et le mod`ele RNG. Dans les deux cas, les inconnues sont les valeurs aux noeuds de la vitesse, de la pression, de l’´energie cin´etique turbulente et du taux de dissipation.

Le fluide est caract´eris´e par sa viscosit´e cin´ematique, l’´ecoulement par un nombre de Reynolds. Ce dernier param`etre est construit `a partir d’une vitesse et d’une longueur de r´ef´erence. Lorsque les ´equations r´esolues sont sans dimension, ces grandeurs sont ´egalement utilis´ees pour adimen-sionner les variables. Pour l’air on prend

ν S 1d 5p10e 3m²se 1

Apr`es avoir d´efini le mod`ele physique, l’algorithme de r´esolution est param´etr´e : le nombre de pas de temps `a effectuer est choisi par l’utilisateur et, `a chaque it´eration,∆t est calcul´e

expli-citement `a partir des conditions de stabilit´e du sch´ema. Un coefficient multiplicatif ´eventuel, compris entre z´ero et un, peut ˆetre appliqu´e. A tout instant, l’utilisateur a acc`es `a ces informa-tions pour les consulter ou les modifier. Notons que pour stabiliser la solution, la discr´etisation des termes de convection est d´ecentr´ee. Plusieurs sch´emas de d´ecentrement sont disponibles : le sch´ema SU PG (d´ecentrement le long des lignes de courant, formulation de Petrov-Galerkin) et le sch´ema SU PGDC (avec capture de choc), qui conservent th´eoriquement l’ordre 2 en espace (voir la notice d’utilisation du logiciel).

Conditions aux limites

Sur les sous-domaines constituant les fronti`eres du domaine de calcul, les conditions aux limites sont d´efinies sous une des formes d´ecrites au paragraphe 3.2.3.

^

Les conditions utilis´ees en entr´ee (amont du domaine) sont des conditions de type Diri-chlet

– Pour le champ de vitesse, on utilise des donn´ees exp´erimentales ou des valeurs obtenues `a l’aide d’un mod`ele de variation empirique. A ce titre, la loi logarith-mique (1.1) est d’une grande utilit´e.

– L’´energie cin´etique turbulente est d´etermin´ee `a partir de l’intensit´e de la turbulence, qui est fonction de l’´ecart type des fluctuations de vitesse, et d’une vitesse moyenne caract´eristique :

k_imp S

1 2X IU₀Y

2

– La caract´erisation du taux de dissipation est plus d´elicate. Nous avons choisi de l’exprimer en fonction de l’´energie cin´etique turbulente, de l’´echelle de longueur caract´eristique des tourbillons ´energ´etiques (qui correspond au pic du spectre de la turbulence) ou, quand on dispose d’une telle information, de la viscosit´e turbulente :

εimp S k³q 2 imp l_k ^ou εimp S Cν^k 2 imp νt_imp

^

Au niveau des fronti`eres solides ou des sols, les vitesses normales sont nulles (conditions de type Dirichlet) tandis que le cisaillement, l’´en´ergie cin´etique, et le taux de dissipation sont calcul´es par le mod`ele de loi de paroi pr´esent´e au paragraphe 2.3.1. Cette proc´e-dure fait apparaˆıtre une nouvelle inconnue, qui est la vitesse de frottement, et n´ecessite la donn´ee pr´ealable de la distance normale `a la paroi, z_p, et de la longueur de rugosit´e

z₀. La caract´erisation de ces param`etres est une ´etape importante qui demande un soin particulier.

^

L’absence de sp´ecification sur une fronti`ere donn´ee fait que la contrainte totale est nulle (condition naturelle de fronti`ere libre).

Initialisation des variables

Pour d´emarrer les calculs, les variables doivent ˆetre initialis´ees. Pour cela, on peut d´efinir une condition de repos (mal adapt´ee aux ´ecoulements atmosph´eriques) ou r´eutiliser des condi-tions issues de calculs pr´ec´edents. Par exemple, en pr´esence de bˆatiments ou de topographie, un calcul pr´ealable sur le domaine, sans obstacles, est recommand´e afin d’´etablir les carac-t´eristiques de l’´ecoulement non perturb´e. Notons que les conditions initiales sont rapidement “oubli´ees”par l’´ecoulement, mais influencent le temps de convergence des r´esultats.

Contrˆole de la convergence

La d´ependance en temps du termeνt peut entraˆıner des probl`emes de convergence. Pour ´eviter cela, nous avons d´evelopp´e une proc´edure (FILTREKE) qui est charg´ee de v´erifier la coh´erence des valeurs prises par l’´energie cin´etique turbulente et par la dissipation au cours du temps. En chaque noeud du maillage, les conditions suivantes doivent ˆetre respect´ees :

0r k r v²_{re f} et εs a^k

3q 2

l_{re f}

Ainsi la viscosit´e turbulente reste born´ee

0r νt r Cν^{lre f} a ^v 2 re f De fa¸con pratique : ^

l_{re f} est une grandeur caract´eristique de l’´ecoulement moyen fix´ee par l’utilisateur, de pr´ef´erence ´egale `a la taille du domaine de calcul,

^

v_{re f} est le maximum de la vitesse nodale calcul´ee et d’une vitesse moyenne caract´eristique fix´ee par l’utilisateur, de pr´ef´erence ´egale `a la vitesse maximale d’entr´ee,

^

a est un param`etre de correction, fonction du nombre de Reynolds local. Pour les grand

nombre de Reynolds aS 1.

Utiliser cette proc´edure revient `a fixer, dans la phase transitoire, une valeur maximale pour l’intensit´e de turbulence et une taille maximale pour les gros tourbillons ´energ´etiques : les fluc-tuations de vitesse resteront inf´erieures `a la vitesse maximale v_{re f} et les structures ´energ´etiques seront plus petites que l_{re f}. On doit s’assurer que les solutions converg´ees ne sont pas influen-c´ees par ces conditions.

CHAPITRE 3. APPROCHE NUM ´ERIQUE 69

Convergence en temps

Pour s’assurer de la convergence des calculs en temps, on trace l’´evolution, en fonction du nombre d’it´eration, de

logt7tvⁿg 1

_ vⁿt7tL∞

o`u v est la composante verticale de la vitesse. Si on recherche une solution stationnaire, on consi-d`ere que cette derni`ere est obtenue si les r´esidus sont r´eduits de plus de 7 ordres de grandeur. De fa¸con moins rigoureuse, on peut observer l’´evolution temporelle des variables en certains points du domaine. Aussi, `a chaque instant, l’utilisateur peut visualiser l’historique des variables et appr´ecier leur convergence. Ceci est particuli`erement utile pour la recherche d’´ecoulements permanents (ou p´eriodiques) comme limites asymptotiques de r´egimes transitoires. Des com-pl´ements sur la convergence sont donn´es en annexe D.

Post-traitement des r´esultats

CASTEM poss`ede ses propres fonctionnalit´es en mati`ere de post-traitements graphiques. Ainsi, on peut observer l’´evolution temporelle de chacune des variables calcul´ees, tracer, `a un instant donn´e, leurs isovaleurs ou leur ´evolution le long de certains sous-domaines. On peut ´egalement, `a l’aide d’une proc´edure ´ecrite en GIBIANE, calculer et visualiser les lignes de courant qui mat´erialisent, `a un instant donn´e, le champ de vitesse.

Conclusion

Pour mod´eliser la turbulence atmosph´erique nous avons choisi d’utiliser le code de calcul CASTEM 2000 d´evelopp´e par le CEA `a Saclay. Dans ce logiciel, de type boite `a outils, les ´equations de Navier-Stokes moyenn´ees sont discr´etis´ees par une m´ethode d’´el´ements finis et r´esolues par un algorithme semi-implicite (implicite sur la pression et explicite sur les autres variables), particuli`erement bien adapt´e aux calculs d’´ecoulements transitoires. Cet algorithme n’est que conditionnellement stable, aussi le pas de temps est limit´e par des contraintes de sta-bilit´e (condition de stasta-bilit´e num´erique d’un sch´ema explicite). Ces contraintes ´etant li´ees au pas d’espace caract´eristique du maillage, tout raffinement du maillage s’accompagne d’une di-minution du pas de temps.

Les maillages sont r´ealis´es `a l’aide de quadrangles Q1-P0 (bilin´eaire pour les vitesses, pres-sion constante par ´el´ement) stabilis´es, conventionnellement appel´es QUA8. Pour obtenir la stabilisation, on construit d’abord un maillage de macro-´el´ements que l’on red´ecoupe en quatre ´el´ements lin´eaires. Sous ces conditions de stabilisation, l’ordre de convergence th´eorique de ces ´el´ements est de 2 pour la vitesse et de 1 pour la pression. Les deux sch´emas de convection utilis´es dans notre ´etude, le sch´ema SUPG (d´ecentrement le long des lignes de courant, formula-tion de Petrov-Galerkin) et le sch´ema SUPGDC (opformula-tion par d´efaut), conservent th´eoriquement l’ordre 2 en espace. Les variables sont discr´etis´ees `a l’aide d’un sch´ema aux diff´erences du pre-mier ordre en temps.

En modifiant son programme source, nous avons adapt´e ce code de calcul `a l’utilisation du mo-d`ele de turbulence RNG k_ εet nous avons introduit un mod`ele de fonction de parois rugueuse, bas´e sur la notion de longueur de rugosit´e. Ainsi, pour mod´eliser des ´ecoulements atmosph´e-riques, on dispose d’un outil capable de repr´esenter des ´ecoulements turbulents, instationnaires, sur des terrains rugueux, tels que ceux rencontr´es dans la couche limite atmosph´erique.

Les fonctionnalit´es du code nous permettent notamment de discr´etiser des g´eom´etries com-plexes et d’utiliser, comme conditions aux limites, sur les fronti`eres du domaine de calcul, des donn´ees exp´erimentales ou des valeurs issues des mod`eles de variation empiriques pr´esent´es au premier chapitre.

Pour valider ce choix, nous avons proc´ed´e `a diff´erents essais. Pour cela, nous avons recher-ch´e, dans la litt´erature, des ´ecoulements de r´ef´erence faisant intervenir les principaux ph´eno-m`enes observ´es dans les basses couches de l’atmosph`ere, comme le d´ecollement, la formation de sillages instationnaires, le d´etachement tourbillonnaire ou la formation de couches limites internes.

Chapitre 4

Validation sur des ´ecoulements de

r´ef´erence

Introduction

1Dans la couche limite atmosph´erique, sur une centaine de m`etres d’altitude, les obstacles de toutes sortes qui forment la surface terrestre perturbent le champ de vitesse du vent et en-traˆınent une forte agitation, d´esign´ee sous le vocable de turbulence. Notre travail, qui consiste `a mod´eliser le vent dans l’environnement proche d’un ouvrage d’art, doit tenir compte de ce ph´enom`ene. Pour cela, nous avons choisi de nous placer dans le cadre g´en´eral de l’´etude num´e-rique de l’action du vent sur les structures (Computational Wind Engineering), discipline dont le but est de repr´esenter num´eriquement le vent `a l’aide de techniques issues de la m´ecanique des fluides num´erique [Murakami (1997)]. En effet, dans les basses couches de l’atmosph`ere, le vent est un ´ecoulement d’air turbulent, incompressible, r´egi par les ´equation de Navier-Stokes. Pour r´esoudre ces ´equations, la m´ethode la plus utilis´ee consiste `a moyenner les ´equations du mouvement et `a mod´eliser les contraintes turbulentes `a l’aide du mod`ele de fermeture k_ ε. Ce mod`ele du premier ordre, simple et robuste, constitue le niveau minimum de mod´elisation physiquement acceptable. Bien adapt´e aux ´ecoulements fortement cisaill´es qui se d´eveloppent, par vent fort, sur les terrains homog`enes, il montre ses limites en pr´esence d’obstacles natu-rels ou artificiels, lorsque se d´eveloppent des zones de recirculation ou de grosses structures tourbillonnaires organis´ees. L’utilisation d’un mod`ele statistique d’ordre sup´erieur ou la simu-lation des grandes ´echelles est alors g´en´eralement recommand´ee. Mais ces deux m´ethodes, qui am´eliorent indiscutablement la description de l’´ecoulement, introduisent des coˆuts de calculs ´elev´es, sans commune mesure avec ceux du mod`ele k_ ε. C’est pourquoi le mod`ele RNG k_ ε , qui a montr´e sa sup´eriorit´e sur le mod`ele standard dans un grand nombre d’applications pra-tiques, est pr´esent´e dans la litt´erature comme ´etant une bonne alternative [Orszag et al. (1996)]. Apr`es avoir pr´esent´e ce mod`ele au chapitre 2, nous discutons ici, de son utilisation dans le cadre de la mod´elisation d’´ecoulements atmosph´eriques. En effet, alors que tout semble indi-quer que ce mod`ele est adapt´e `a la mod´elisation de la turbulence atmosph´erique, les exemples de son utilisation dans ce domaine sont rares [Lee (1997)]. Nous avons donc v´erifi´e son

effica-1. Ce chapitre est une version ´etendue d’une communication propos´ee au 14`eme congr`es fran¸cais de m´ecanique (Toulouse, 29 aˆout - 3 septembre 1999) [Turbelin (1999)]

CHAPITRE 4. VALIDATION SUR DES ´ECOULEMENTS DE R ´EF ´ERENCE 73

cit´e en incorporant les ´equations du mod`ele au code de calcul CASTEM 2000, d´evelopp´e par le CEA, et en mod´elisant trois ´ecoulements de r´ef´erence. Ces exemples repr´esentent des cas tests significatifs o`u l’on compare les r´esultats num´eriques obtenus avec CASTEM `a des r´esul-tats exp´erimentaux ou num´eriques r´ef´erenc´es dans la litt´erature. Pour chaque cas, le probl`eme physique `a traiter ainsi que les m´ethodes num´eriques utilis´ees (type de sch´ema, maillage) sont indiqu´es. Les r´esultats sont repr´esent´es graphiquement, avec dans la mesure du possible, une superposition de la solution de r´ef´erence.

4.1 Les Cas tests

4.1.1 Description et objectifs

Les trois cas tests pr´esent´es dans le tableau 4.1 sont des ´ecoulements bidimensionnels, as-similables `a des ´ecoulements au dessus de sites non homog`enes. Le premier est un ´ecoulement au dessus d’un accident topographique, le second un ´ecoulement autour d’un obstacle isol´e, le troisi`eme, qui est le seul `a avoir ´et´e r´ealis´e `a partir de mesures de vitesses du vent, est un ´ecou-lement au dessus d’une discontinuit´e de la nature du sol. Ce sont des ´ecou´ecou-lements proches de ceux rencontr´es dans la couche limite atmosph´erique, pr`es du sol, o`u la turbulence est purement “m´ecanique”, c’est `a dire g´en´er´ee par la nature du terrain ou par la pr´esence d’obstacles naturels ou artificiels.

Auteurs Nature du probl`eme Classification

[Almeida et al. (1992)] ^{´ecoulement autour d’une} colline

turbulent, stationnaire, avec obstacle topographique

[Franke et Rodi (1993)] ^{´ecoulement autour d’un} cylindre de section carr´ee

turbulent, instationnaire, avec d´etachement tour-billonnaire p´eriodique

[Bradley (1968)] ^{´ecoulement au dessus d’un}

changement de rugosit´e

turbulent, stationnaire, avec d´eveloppement d’une couche limite interne TAB. 4.1 – Cas tests

Chaque cas met en jeu des ph´enom`enes pr´ecis. Le premier fait intervenir les m´ecanismes phy-siques rencontr´es dans les ´ecoulements d´ecoll´es, en aval d’une ´el´evation de terrain, lorsque se d´eveloppe une zone de recirculation. Le second illustre l’impact d’un ´ecoulement sur un corps, le d´ecollement, la formation d’une zone de sillage et le d´eveloppement de grosses structures tourbillonnaires organis´ees. Le troisi`eme est repr´esentatif de la cat´egorie des ´ecoulements au dessus de surfaces non homog`enes, pour lesquels a ´et´e d´evelopp´e le mod`ele de fonction de paroi rugueuse. Chacun de ces cas-tests pose des probl`emes num´eriques et de mod´elisation particuliers qui permettent d’´evaluer l’efficacit´e des diff´erents mod`eles de turbulence.

4.1.2 Traitements physiques et num´eriques

Mod´elisation

Dans les trois cas, les param`etres des ´ecoulements (vitesses, pression, ´energie cin´etique turbulente, taux de dissipation) se d´ecomposent en une partie moyenne et en une fluctuation turbulente al´eatoire

φSun φv

V

φw

Les ´equations r´esolues sont les ´equations de Navier-Stokes moyenn´ees (´equations de Reynolds), associ´ees `a un mod`ele de turbulence du premier ordre. Pour les deux premiers cas, les calculs ont ´et´e effectu´es avec le mod`ele RNG et avec le mod`ele standard, associ´es, pr`es des parois solides, au mod`ele de fonction de paroi lisse d´ecrit au chapitre 2. Pour le troisi`eme cas, afin de prendre en compte la rugosit´e du sol, nous avons utilis´e le mod`ele de fonction de paroi bas´e sur la notion de longueur de rugosit´e.

M´ethode num´erique

Dans les trois cas, le traitement num´erique est identique : les ´equations sont discr´etis´ees `a l’aide de la m´ethode d’´el´ements finis (EFM1) de CASTEM et r´esolues par l’algorithme semi-explicite d´ecrit pr´ec´edemment. Le pas de temps, impos´e par les conditions de stabilit´e, ´etant g´en´eralement faible, on assure une pr´ecision suffisante en temps. Les maillages sont r´ealis´es `a l’aide de quadrangles Q1-P0 (bilin´eaire pour les vitesses, pression constante par ´el´ement) stabilis´es. Pour obtenir la stabilisation, on construit un maillage de macro-´el´ements, sur les-quels la pression est stabilis´ee [Kechkar et Silvester (1992)], que l’on red´ecoupe en 4 ´el´ements lin´eaires. Les ´equations sont r´esolues sur ces ´el´ements. Sous ces conditions, l’ordre de conver-gence th´eorique est de 2 pour la vitesse et de 1 pour la pression. Les sch´emas de convection utilis´es conservent th´eoriquement l’ordre 2 en espace [Hughes et al. (1986)]. Les variables sont discr´etis´ees `a l’aide d’un sch´ema aux diff´erences du premier ordre en temps.

Param`etres des calculs

Pour chaque ´ecoulement, on dispose de r´ef´erences bibliographiques qui nous permettent, en suivant la m´ethode du paragraphe 3.3, de param´etrer le domaine de calcul, de fixer les condi-tions initiales et les condicondi-tions aux limites.

Calculs

Tous les calculs ont ´et´e effectu´es sur des calculateurs IBM-RS/6000, au CEA de Saclay et au CEMIF `a Evry. Sous ces conditions, les diff´erences entre les r´esultats ne peuvent

pro-venir que du mod`ele de turbulence utilis´e. Par contre, d’´eventuelles diff´erences avec d’autres r´esultats num´eriques, issus de la litt´erature, peuvent provenir de plusieurs facteurs (traitement num´erique, mod`ele de loi de paroi ...). Dans ce cas, la comparaison est rendue difficile.

CHAPITRE 4. VALIDATION SUR DES ´ECOULEMENTS DE R ´EF ´ERENCE 75