2.3 Mod´elisation des effets de surface
2.3.2 D´efinition des lois de paroi
Apr`es avoir rappel´e les principaux r´esultats de la th´eorie des couches limites, nous pou-vons d´efinir les lois que nous utiliserons :
– si la paroi est lisse ou si les asp´erit´es ne traversent pas la sous couche visqueuse, nous appliquerons les lois (2.18) et (2.19) en ignorant la sous-couche tampon,
– si les asp´erit´es traversent la sous couche visqueuse (h
i 11 6), on consid`ere que la paroi est pleinement rugueuse, nous appliquerons la loi (1.1).
Hors de la sous-couche rugueuse (z
h
i ), les profils de vitesse seront donn´es par :
U z pour z # 11 6 et h i # 11 6 (2.25) U 1 κlnEz pour z 11 6 et h i # 11 6 (2.26) U 1 κln z z0 pour h i 11 6 et z z0 (2.27)
L’energie cin´etique turbulente et son taux de dissipation seront donn´es par l’´equation (2.20) (hypoth`ese d’´equilibre local). Aussi, si la limite du domaine de calcul est plac´ee `a l’int´erieur de la couche limite, `a une distance zpde la paroi, connaissant la vitesse tangentielle et en utilisant les lois pr´ec´edentes, on peut :
calculer la vitesse de frottement, u ,
en d´eduire la contrainte de cisaillement qui s’applique sur les fronti`eres proches des sur-faces solides,
d´eterminer l’´energie cin´etique turbulente et le taux de dissipation. Parois lisses
Si les parois sont lisses, on utilise la vitesse tangentielle (issue de la r´esolution des ´equa-tions de Reynolds) et les lois de paroi lisse (abusivement qualifi´ees de “standard”) d´efinies plus haut. Pour cela, `a chaque it´eration :
on calcule z
u zp
ν en utilisant la valeur de u obtenue au pas de temps pr´ec´edent,
on calcule la vitesse r´eduite U
– si 0 # z
# 100 on utilise un mod`ele `a longueur de m´elange de Van Driest qui permet de retrouver, dans ce domaine, les r´esultats exp´erimentaux (les valeurs de
U
sont tabul´ees de z
= 0 `a 100 avec un pas de 1),
– au-del`a, les valeurs sont raccord´ees `a la loi logarithmique (2.19) :
U 1 κlnEz
on calcule la vitesse de frottement u t N
Ut
U
o`u Ut est la vitesse tangentielle issue de la r´esolution des ´equations de Reynolds apr`es calcul du cisaillement au pas de temps pr´ec´edent,
CHAPITRE 2. MOD ´ELISATION DE LA TURBULENCE ATMOSPH ´ERIQUE 57
la contrainte de cisaillement est obtenue apr`es relaxation de la vitesse de frottement u 1 2u t u t dt O τt ρ u2 (2.28)
Les valeurs aux fronti`eres de l’´energie cin´etique turbulente et de la dissipation sont obte-nues par l’hypoth`ese d’´equilibre local
k u2 c1 2 ν ε u3 κz Parois rugueuses
Pour les parois rugueuses, si h
i # 11 6 on reprend l’algorithme pr´ec´edent, dans le cas contraire :
la vitesse r´eduite est obtenue directement en utilisant la notion de longueur de rugosit´e et l’´equation (2.27) : U 1 κln z z0
on calcule la vitesse de frottement puis la contrainte de cisaillement. Ces conditions apparaˆıtront au paragraphe 3.2.3 comme conditions aux limites.
Conclusion
Le vent est un ´ecoulement d’air turbulent, que l’on d´ecrit `a l’aide de la th´eorie g´en´erale des ´ecoulements turbulents. Pour ´etudier son action sur les ouvrages de g´enie civil, il est n´e-cessaire de r´esoudre num´eriquement les ´equations de Navier-Stokes en pr´esence de turbulence. Pour cela, on dispose de techniques performantes, issues de la m´ecanique des fluides num´erique, telles que la simulation directe, la simulation des grandes ´echelles, la mod´elisation statistique. Parmi ces techniques, et malgr´e l’augmentation de la puissance des calculateurs, la
mod´elisa-tion statistique, utilis´ee dans un grand nombre d’applicamod´elisa-tions industrielles, semble ˆetre la plus abordable et la mieux adapt´ee `a nos besoins.
Mais les m´ethodes de mod´elisation statistiques classiques, bas´ees sur le formalisme de Reynolds, ne prennent pas en compte la structure de la turbulence. Ainsi, pour obtenir des r´e-sultats satisfaisants il faut, au moins utiliser un mod`ele du premier ordre `a deux ´equations, au mieux utiliser un mod`ele du second ordre, ce qui devient rapidement coˆuteux en temps de cal-cul. Dans ce contexte, le mod`ele RNG k ε, qui prend en compte l’universalit´e des petites ´echelles de la turbulence, apparaˆıt comme ´etant une bonne alternative. Ce mod`ele, construit `a partir de consid´erations th´eoriques, prend en compte les effets des petites ´echelles isotropes au travers de coefficients calcul´es explicitement par le mod`ele. Il donne ainsi la possibilit´e de calculer directement, en plus du champ moyen, certains modes basses fr´equences en temps. D’apr`es la litt´erature [Yakhot et Smith (1992), Orszag et Yakhot (1993)], l’utilisation du mo-d`ele RNG k εest simple, les ´equations `a r´esoudre sont similaires `a celles du mod`ele standard, et il corrige les principaux d´efauts du mod`ele standard : il diminue les valeurs de la viscosit´e turbulente et limite la diffusivit´e turbulente. Cette propri´et´e le rend particuli`erement performant dans la mod´elisation d’´ecoulements instationnaires, d´etach´es ou recirculants. Puisqu’il paraˆıt
adapt´e `a la mod´elisation d’´ecoulements atmosph´eriques, nous allons l’utiliser pour notre ´etude.
Cependant, la sp´ecificit´e de notre travail nous oblige `a consid´erer le fort cisaillement in-duit par la rugosit´e des surfaces naturelles. Aussi, pour prendre explicitement en compte les effets des sols sur les ´ecoulements atmosph´eriques, nous avons associ´e le mod`ele RNG k ε `a un mod`ele de fonction de paroi rugueuse bas´e sur la notion de longueur de rugosit´e. Ce para-m`etre, d´etermin´e de fa¸con exp´erimentale, d´ecrit l’influence globale du sol sur l’´ecoulement. Il permet d’´etablir un lien entre l’´etude de la couche limite atmosph´erique et l’´etude, plus g´en´e-rale, des couches limites rugueuses. Dans ce cadre, nous avons adapt´e un mod`ele de fonction
de paroi, utilis´es pour la mod´elisation d’´ecoulements industriels, `a la mod´elisation des sols.
Pour mener `a bien cette ´etude, nous avons implant´e ces mod`eles dans le code de calcul par ´el´ements finis CASTEM 2000, que nous avons valid´e sur des cas tests, r´ef´erenc´es dans la litt´e-rature.
Chapitre 3
Approche num´erique
Introduction
Pour mod´eliser la turbulence atmosph´erique, nous avons recherch´e un logiciel de calcul dans lequel nous pourrions facilement incorporer les mod`eles pr´esent´es dans les chapitres pr´e-c´edents. Les grands codes de calculs industriels (FLUENT, PHOENICS ...) ´etant g´en´eralement fournis `a l’utilisateur sous forme de “boites noires”, nous avons opt´e pour le code de calcul CASTEM 2000. Ce code, d´evelopp´e par le CEA `a Saclay, est bas´e sur la m´ethode de discr´etisa-tion des ´el´ements finis. Son noyau est ´ecrit en ESOPE (langage issu du FORTRAN 77) et fonc-tionne `a partir de jeux de donn´ees ´ecrits en langage de donn´ees GIBIANE. CASTEM poss`ede de nombreuses fonctionnalit´es en dynamique des fluides et des structures : c’est un outil poly-valent, robuste, utilisable dans un grand nombre de configurations [Paill`ere et Dabb`ene (1997)]. Sa structure, de type boite `a outil, est ´evolutive : on lui apporte des modifications directement dans le programme source ou en cr´eant de nouvelles proc´edures en GIBIANE. Nous avons ainsi d´evelopp´e de nouvelles fonctionnalit´es adapt´ees `a la mod´elisation de la turbulence atmosph´e-rique. Nous les d´ecrirons apr`es avoir pr´esent´e la m´ethode de discr´etisation et l’algorithme de r´esolution utilis´es par CASTEM.