Le calcul

Pour un angle d’incidence effectifαS 5^o, les coefficients de traˆın´ee, portance et moment sont respectivement :

C_l S 0d 5 C_d S 0d0075 C_mS 0d 1

5.5.2 Le calcul

Mod´elisation

Les ´equations de Navier-Stokes moyenn´ees, associ´ees au mod`ele RNG k_ ε, sont r´esolues sans dimension. Les variables sont adimensionn´ees par rapport `a la corde du profil C et par rapport `a la vitesse de r´ef´erence U0.

ALPHA −5.00 .00 5.00 10.00 15.00 20.00 −.50 .00 .50 1.00 1.50 100*Cl 500*Cm 1000*Cd

FIG. 5.6 – Coefficients a´erodynamiques d’apr`es [Rebuffet (1969)]

Mod`ele num´erique

Les ´equations sont discr´etis´ees `a l’aide de la m´ethode d’´el´ements finis (EFM1) de CASTEM et r´esolues par l’algorithme semi-explicite. Les maillages sont constitu´es d’´el´ements de type QUA8. Le sch´ema de d´ecentrement SUPGDC, qui a donn´e de bons r´esultats sur le cas-test du cylindre `a section carr´ee, est utilis´e.

Filtrage

Pour assurer la convergence, les valeurs de k et εsont filtr´ees. En chaque noeud du maillage, les conditions expos´ees au paragraphe 3.3 sont appliqu´ees. Notons que la longueur de r´ef´e-rence, prise comme ´etant la largeur du domaine de calcul, est suffisamment grande pour ne pas modifier les r´esultats.

Domaine de calcul

Les dimensions du domaine de calcul, pr´esent´e sur la figure (5.7), sont les suivantes : 4C en amont, 8C en aval, 4C en haut et en bas. Le maillage, affin´e pr`es de l’aile, est constitu´e de 4 y 77 y 46 ´el´ements (77 y 46 macro-´el´ements, red´ecoup´es en quatre). L’origine des abscisses et des ordonn´ees est situ´ee au niveau du bord d’attaque.

Param`etres des calculs

On se place dans le cas o`u l’´ecoulement est pleinement turbulent. Pour cela, on se fixe un nombre de Reynolds ´elev´e, Re S 8p10<sup>6</sup>. Afin d’initialiser les variables, un premier calcul est r´ealis´e sans rafale. Les param`etres utilis´es sont les suivants :

CHAPITRE 5. APPLICATION AU CALCUL D’EFFORTS A ´ERODYNAMIQUES 123

^

En entr´ee

– la vitesse longitudinale est constante et ´egale `a la vitesse de r´ef´erence, – l’intensit´e de la turbulence est de 2%,

– la dissipation est exprim´ee en fonction de l’´energie et de la taille caract´eristique des gros tourbillons.

Ces conditions sont r´esum´ees dans le tableau (5.1).

U_x U_z k ε U0 0 ¹₂X 0d 02U0Y 2 k² 0d 001C TAB. 5.1 – Conditions en entr´ee ^

En haut, en bas, et en sortie, les conditions sont libres (contraintes totales nulles).

^

Au niveau des parois de l’aile, la vitesse normale est nulle. La vitesse tangentielle, l’´energie cin´etique et la dissipation sont calcul´ees `a l’aide de fonctions de paroi standards (cas lisse). La distance `a la paroi du domaine fluide z_pest prise ´egale au cinqui`eme de la hauteur de la premi`ere maille.

Ensuite, une fois le r´egime permanent atteint, on porte brusquement la valeur de la vitesse verticale incidente de la valeur z´ero `a la valeur^u_U^z0

0

S 0d 0875. Cette valeur correspond `a un angle d’incidence effectif de 5^o. On repr´esente ainsi une rafale de type ´echelon, voir figure (5.10).

5.5.3 R´esultats

^

Avant la rafale, l’´ecoulement reste attach´e et la portance est nulle (l’incidence effective est ´egale `a z´ero). Les lignes de courant de cet ´ecoulement sont repr´esent´ees figure (5.8). Lorsque le profil rencontre la rafale, la portance ´evolue brusquement, c’est le r´egime transitoire. Ensuite, il “s’adapte” aux nouvelles conditions et atteint un r´egime stationnaire. Ce dernier est repr´esent´e figure (5.9). Notons que, malgr´e ses nouvelles caract´eristiques, l’´ecoulement reste attach´e aux parois de l’aile.

^

La portance, figure (5.11), est obtenue en int´egrant la distribution de pression le long des pa-rois du profil. La valeur finale est inf´erieure `a la valeur attendue, mais, si on observe l’´evolution en fonction du temps du coefficient de portance normalis´e par rapport `a sa valeur stationnaire, figure (5.12), on trouve une courbe tr`es proche de la courbe caract´eristique de K¨ussner.

~

Le mod`ele utilis´e respecte le temps de passage d’une valeur stationnaire `a une autre. Cette propri´et´e est extrˆemement importante car ici seule l’allure g´en´erale du r´egime transitoire nous int´eresse.

^

En calculant la transform´ee de Fourier du transitoire, et en utilisant la relation (5.13), on obtient la partie r´eelle et la partie imaginaire de la fonction d’admittance du profil. Sur les figures (5.13) et (5.14) nous les avons trac´ees avec les courbes th´eoriques issues de l’expres-sion (5.14). Le carr´e du module est trac´e en fonction de la pulsation r´eduite sur la figure (5.15).

Sur cette figure, nous avons ´egalement report´e la fonction de Sears (approximation de Liep-man). Les deux courbes sont en parfait accord.

~

Nous observons une bonne concordance entre les r´esultats th´eoriques de K¨ussner et de Sears et les r´esultats que nous avons obtenus num´eriquement. Ceci nous montre que la m´ethode pro-pos´ee par [Brar et al. (1996)], pour le calcul des fonctions indicielles de type Wagner, permet ´egalement le calcul des fonctions indicielles de l’effet rafale et des fonctions d’admittance a´e-rodynamique. Dans le cas ´etudi´e l’´ecoulement est rest´e attach´e. La forme de ces fonctions est donc caract´eristique de l’absence de signature turbulente :

– la portance ´evolue d’une valeur ´etablie `a une autre sans d´epasser la valeur finale,

– la fonction d’admittance traduit l’effet r´educteur de dimension des rafales (plus les fluc-tuations sont rapides, moins leurs dimensions sont importantes, moins elles ont d’in-fluence en terme de traˆın´ee).

L’approche quasi-statique, avec la fonction de Sears comme admittance, est parfaitement adap-t´ee. En appliquant la mˆeme proc´edure `a des sections de forme rectangulaire, nous allons identi-fier la forme caract´eristique de ces fonctions pour des structures non profil´ees

CHAPITRE 5. APPLICATION AU CALCUL D’EFFORTS A ´ERODYNAMIQUES 125

FIG. 5.7 – Domaine de calcul pour un profil NACA0012

FIG. 5.8 – R´egime ´etabli avant rafale

TEMPS .00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 −1.00 .00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00

FIG. 5.10 – Rafale de type ´echelon

TEMPS Cl .00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 −.05 .00 .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45

FIG. 5.11 – R´eponse indicielle du coefficient de portance

TEMPS PSI 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. 45. 50. −.20 .00 .20 .40 .60 .80 1.00 1.20 Théorie Calcul

CHAPITRE 5. APPLICATION AU CALCUL D’EFFORTS A ´ERODYNAMIQUES 127 PULSATION REDUITE .00 .50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 −.40 −.35 −.30 −.25 −.20 −.15 −.10 −.05 .00

FIG. 5.13 – Partie r´eelle de la fonction d’admittance

PULSATION REDUITE .00 .50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 .00 .20 .40 .60 .80 1.00 1.20

FIG. 5.14 – Partie imaginaire de la fonction d’admittance

PULSATION REDUITE theta**2 .00 .50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 .00 .12 .24 .36 .48 .60 .72 .84 .96 1.08 1.20 Théorie Calcul

FIG. 5.15 – Fonction de Sears tΘXkY…t 2