Mod´ elisation de l’interaction fluide-structure

Les pressions hydrodynamiques, et de mani`ere plus g´en´erale, l’interaction fluide-structure, jouent un rˆole essentiel dans l’estimation de la stabilit´e et de l’amplification des acc´el´erations au sein d’un barrage poids soumis `a un tremblement de terre. De nombreuses recherches ont ´

et´e men´ees pour prendre en compte cet effet et plusieurs approches ont ´et´e propos´ees depuis la formulation de Westergaard (Chopra, 1970, Fenves et Chopra, 1984, Humar et Jablonski, 1988, Bouaanani et Lu, 2009). S’´etant perfectionn´es au fil des ann´ees, les mod`eles de barrage- r´eservoir permettent `a pr´esent de prendre en compte divers facteurs dont l’impact n’est pas toujours bien appr´ehend´ee par l’ing´enieur : la d´eformabilit´e du barrage, la compressibilit´e de l’eau, la g´eom´etrie du r´eservoir et l’amortissement dˆu `a la s´edimentation. Parmis tous ces mod`eles, les trois pr´esent´es `a la suite ont ´et´e retenus pour la poursuite de cette ´etude. Formulation de Westergaard

Encore aujourd’hui, la grande majorit´e des simulations num´eriques, notamment pour les analyses de niveau IV, consid`erent la formulation de Westergaard (USACE, 2003). Mˆeme si sa simplicit´e ne permet pas de consid´erer les facteurs ´enum´er´es ci-dessus, sa facilit´e de mise en place en font toujours une r´ef´erence. C’est pourquoi cette formulation de l’interaction fluide- structure sera consid´er´ee par l’ensemble des mod`eles pr´esent´es dans les chapitres ci-apr`es. De plus, elle peut ˆetre utilis´ee pour tous les niveaux d’analyse et supporte relativement bien les grands d´eplacements dus aux non-lin´earit´es.

Les pressions hydrodynamiques, dues `a la composante horizontale du s´eisme, sont int´e- gr´ees dans un mod`ele num´erique ou analytique, discr´etis´e en nœuds, au moyen de l’ajout de masses. Aussi, d´esignant ρ_r la masse volumique de l’eau et W_L le niveau de la surface du r´e- servoir, en chaque nœuds i de l’interface fluide-structure, dont la hauteur vaut z_i et le volume tributaire d’eau V_i, on ajoute une masse m_i calcul´ee de la mani`ere suivante (Westergaard,

1933) :

mi = 7

8ρrVi 

W_L(W_L− zi) (2.2)

Mod`ele analytique du r´eservoir semi-infini

Selon cette m´ethode, seul le monolithe en b´eton du barrage doit ˆetre mod´elis´e au moyen d’´el´ements finis. En effet, elle n´ecessite la r´eponse modale de la structure de l’ouvrage sans r´eservoir (cette r´eponse peut aussi s’obtenir au moyen d’un ”stick-model”). L’effet du r´eservoir est lui mod´elis´e analytiquement.

Dans le cas de cette formulation, le r´eservoir est assum´e rectangulaire. La r´eponse en acc´el´eration, ¨u_P, en un point P donn´e du barrage (soumis `a une sollicitation au sol ¨ug) peut

ˆ

etre obtenue `a chaque instant t par (Fenves et Chopra, 1984, Bouaanani et Lu, 2009) :

¨ u_P(t) = N_s  j=1 ψ_j(x)(x_P, y_P) ¨Z_j(t) (2.3)

o`u N_s est le nombre de modes du barrage inclu dans l’analyse, ψ(x)_j est la x–composante du jth_{contour de mode du barrage, pris aux coordonn´ees (x}

P, yP) du point P, et ¨Zj est la d´eriv´ee

seconde selon le temps des coordonn´ees g´en´erales donn´ees par l’int´egrale de Fourrier : ¨ Zj(t) =− 1 2π  _∞ −∞ ω2Z¯j(ω) ¯u¨g(ω) eiωtdω (2.4)

o`u ¯u¨_g(ω) est la transofrm´ee de Fourrier de l’acc´el´eration au sol ¨u_g(t) ¯ ¨ ug(ω) =  ta 0 ¨ ug(t) e−iωtdt (2.5)

Avec t_a correspondant `a la dur´ee du signal sismique appliqu´e au syst`eme. Le vecteur ¯Z venant des coordonn´ees g´en´eralis´ees ¯Zj, j = 1 . . . ms,n´ecessaires `a l’Eq. (2.4) peut ˆetre obtenu

en r´esolvant le syst`eme d’´equation suivant : ¯

o`u, pour n = 1 . . . m<sub>s</sub> et j = 1 . . . m<sub>s</sub> ¯ S<sub>nj</sub>(ω) =  − ω2<sub>+</sub><sub>1 + i η</sub> d  ω<sub>n</sub>2  δ<sub>nj</sub>+ ω2  H<sub>r</sub> 0 ¯ p<sub>j</sub>(0, y, ω) ψ(x)<sub>n</sub> (0, y) dy (2.7) ¯ Qn(ω) =−ψTnMdd1 +  Hr 0 ¯ p<sub>0</sub>(0, y, ω) ψ<sub>n</sub>(x)(0, y) dy (2.8) o`u δ_nj correspond au symbole de Kronecker, ω `a la fr´equence d’excitation, η_d le facteur hyst´er´etique d’amortissement du barrage, suppos´e constant, ωnla fr´equence de vibration cor-

respondant au mode structural ψ_n, ¯p₀ la Fonction de R´eponse en Fr´equences (FRF) pour la pression hydrodynamique, due `a l’acc´el´eration au sol, `a la face amont du barrage consid´er´e rigide, ¯pj la FRF pour la pression hydrodynamique, due `a l’acc´el´eration horizontale ψ(x)j (0, y)

de la face amont du barrage et H_r la hauteur constante de la surface du r´eservoir.

Les pressions hydrodynamiques sont d´etermin´ees analytiquement en r´esolvant l’´equation de Helmholtz et en associant les conditions au fronti`eres suivantes : (i) une condition de surface libre du r´eservoir, (ii) une condition `a l’interface fluide-structure impliquant la compatibilit´e entre les pressions hydrodynamiques et les d´eplacements normaux `a cette derni`ere, (iii) une condition aux fronti`eres `a l’amont du r´eservoir pour mod´eliser la non-r´eflection des ondes sismiques `a l’infini et (iv) une condition aux fronti`eres au fond du r´eservoir pour approxi- mativement prendre en compte la dissipation d’´energie due `a la s´edimentation, amortissant partiellement les ondes de compressions sismiques incidentes, caract´eris´ee par un coefficient α variant de α = 0 pour une absorption totale `a α = 1 pour une r´eflection totale (Fenves et Cho- pra, 1984, Bouaanani et Lu, 2009).

Cette formulation analytique est donc de type dynamique fr´equentielle (niveau III). Il est notable qu’en principe une ´etude de convergence doit ˆetre conduite afin de d´eterminer le nombre suffisant de modes N_s `a inclure dans l’analyse. Cette formulation sera notamment utilis´ee par la suite pour ´etudier l’effet du nombre de modes pris dans une analyse de niveau III sur le calcul des spectres de plancher.

M´ethode des ´el´ements finis : formulation Φ− U

Une derni`ere m´ethode de mod´elisation du syst`eme couplant barrage et r´eservoir est em- ploy´ee au long de ce rapport : la m´ethode des ´el´ements finis nous permet d’obtenir ce syst`eme grˆace `a la formulation Φ− U. Pour ce mod`ele, le barrage et le r´eservoir sont int´egralement mod´elis´es au moyen d’´el´ements respectivement de contrainte plane et de ”potential-based fluid”. Le r´eservoir est tronqu´e `a une certaine distance L_r de la face amont du barrage, suf-

fisament grande pour ´eliminer le r´efl´echissement des ondes sismiques `a l’amont du r´eservoir. L’interaction fluide-structure est simul´ee grˆace `a des ´el´ements sp´ecifiques `a l’interface entre le barrage et le r´eservoir. Les vibrations du barrage provoquent des mouvements d’eau normaux `

a l’interface, et la pression induite s’ajoute comme pression hydrodynamique. La formulation Φ− U, dont les variables s’expriment en terme de d´eplacements U dans le domaine solide et en terme de potentiels de vitesse Φ dans le r´eservoir, assume que le fluide est non visqueux, irrotationnel et compressible ou incompressible. Elle pr´esuppose aussi que les d´eplacements au niveau de l’interface fluide-structure demeurent petits.

Une documentation compl`ete est pr´esente dans la litt´erature sur le d´etail de la formu- lation Φ− U (Everstine, 1981, Bouaanani et Lu, 2009). Un bref r´esum´e de cette derni`ere est donn´e `a la suite. En supposant v´erif´ees les pr´ec´edentes hypoth`eses, φ dans le r´eservoir satisfait l’´equation ondulatoire suivante :

∇2_{Φ =} 1

C2 r

∂2_Φ

∂t2 (2.9)

o`u C<sub>r</sub> est la vitesse des ondes de compression dans l’eau. L’utilisation de la formulation Φ − U satisfait notamment les conditions de surface libre, de compatibilit´e `a l’interface barrage-r´eservoir soumise aux vibrations (Fenves et Chopra, 1984, Bouaanani et Lu, 2009), de non-r´eflection des ondes `a la face amont du r´eservoir (Sommerfield, 1949, Zienkiewicz et Newton, 1969, Bouaanani et Lu, 2009, ADINA, 2011) et de dissipation d’´energie `a l’interface r´eservoir-fondation par l’absorption partielle des ondes sismiques normales incidentes (Hall et Chopra, 1982, Fenves et Chopra, 1984, Bouaanani et Lu, 2009). Les deux derni`eres conditions peuvent ˆetre mod´elis´ees par des ´el´ements finis plac´es `a la face amont du r´eservoir ou par des amortisseurs visqueux plac´es au fond du r´eservoir.

Eq. (2.9) peut ˆetre simplifi´ee et discr´etis´ee selon le syst`eme suivant (Zienkiewicz et Newton, 1969) : M_dd 0 0 −M_rr ¨ U ¨ Φ + C_dd C_rdT C_rd C_rr ˙ U ˙ Φ + K_dd 0 0 −K_rr U Φ = −Mdd1 ¨ug −Crd1 ˙ug (2.10)

o`u U et Φ sont des vecteurs correspondant, respectivement, aux d´eplacements relatifs et aux potentiels de fluide nodaux, M<sub>dd</sub> et K<sub>dd</sub> sont, respectivement, les matrices de masse struc- turale et de rigidit´e, C<sub>dd</sub> la matrice d’amortissement de la structure du barrage (d´etermin´ee au moyen de l’amortissement de Rayleigh ´equivalent `a l’amortissement hyst´er´etique η_d), M_rr et K_rr, respectivement, les matrices potentielle et d’´energie cin´etique du r´eservoir, C_rd la ma-

trice couplant le potentiel de vitesse avec les d´eplacements sur l’interface barrage-r´eservoir, C_rr la matrice correspondant `a l’amortissement dˆu `a la dissipation d’´energie `a la base ou `a la face amont du r´eservoir, ¨ug et ˙ug les acc´el´erations et vitesses au sol exerc´ees et 1 un vecteur

colonne de mˆeme dimension que U, contenant un lorsqu’un degr´e translationnel de libert´e correspond `a une direction de l’excitation sismique, et z´ero sinon.

La solution de l’´equation (2.10) permet d’obtenir la r´eponse selon le temps du barrage, notamment les acc´el´erations ¨u_P `a n’importe quel point P auquel une structure secondaire peut-ˆetre fix´ee. Cette formulation est plus lourde num´eriquement que la formulation ana- lytique pr´ec´edente, mais pr´esente l’avantage de pouvoir mod´eliser une g´eom´etrie pr´ecise du r´eservoir et d’ˆetre employable pour une analyse de niveau IV, tant que les d´eplacements r´e- siduels demeurent petits (cependant, en cas de grands d´eplacements, la rupture de l’ouvrage serait d´emontr´ee).