Mod`eles analytiques

Les mod`eles analytiques aussi appel´es mod`eles « non-physiques », consid`erent le canal de propagation comme un processus al´eatoire caract´eris´e par un ensemble de lois statistiques. L’avantage de ces mod`eles est qu’ils sont flexibles. Cependant, l’identification des lois sta- tistiques r´egissant le comportement des param`etres caract´eristiques du canal reste difficile `a r´ealiser. En pratique, le choix des lois les plus adapt´ees aux environnements consid´er´es se fait `

a l’aide de campagnes de mesures ou de simulations de grande ampleur. Enfin, l’´evaluation des performances du mod`ele est r´ealis´ee par comparaison avec d’autres mod`eles.

Trois types de mod`eles analytiques existent dans la litt´erature. Il s’agit des mod`eles analy- tiques fond´es sur la corr´elation, des mod`eles inspir´es des param`etres de propagation et enfin des mod`eles incluant la diversit´e de polarisation.

1.5.2.2.1 Mod`eles fond´es sur la corr´elation

Cette famille de mod`eles analytiques s’appuient sur la corr´elation spatiale du canal afin de caract´eriser statistiquement la matrice des r´eponses impulsionnelles MIMO. Dans le cas NLOS, la matrice de canal MIMO peut s’´ecrire d’une mani`ere g´en´erale selon la relation :

H = R12

HG (1.5.15)

o`u :

– RH est la matrice de corr´elation ou de covariance du canal ;

– G est une matrice dont les coefficients sont g´en´er´es de fa¸con al´eatoire, ind´ependante et identiquement distribu´es (i.i.d.) suivant une loi de Rayleigh.

Les matrices ainsi g´en´er´ees contiennent (NR× NT)2 coefficients. Il est donc ´evident que

la taille de ces matrices augmente lorsque le nombre d’antennes augmente. Cela a pour in- conv´enient de rendre les calculs complexes. Pour pallier ce probl`eme, les mod`eles de Kronecker

[KSP+_{02] et de Weichselberger [WHOB06] proposent des techniques d’optimisation permettant}

de r´eduire la taille des matrices `a manipuler.

A. Mod`ele de Kronecker

Le mod`ele de Kronecker est souvent utilis´e pour mod´eliser la corr´elation spatiale. Il consid`ere que les directions de d´epart et d’arriv´ee des signaux sont s´eparables et ind´ependantes. Ainsi,

la matrice de corr´elation RH est d´ecompos´ee en deux matrices de corr´elation `a l’´emission RTx

et `a la r´eception RRx [KSP+02] et s’´ecrit :

RH = RTx⊗ RRx (1.5.16)

o`_{u ⊗ repr´esente le produit de Kronecker. La nouvelle formulation de R}H est ensuite inject´ee

dans l’´equation (1.5.15) : H = R12 RxGR 1 2 Tx (1.5.17)

L’op´erateur vec() est ensuite appliqu´e `a (1.5.15), afin de r´eduire la complexit´e des calculs :

vec(H) = (RTx⊗ RRx)

1

2 · vec(G) (1.5.18)

o`u vec() est un op´erateur qui permet d’empiler les colonnes de la matrice G, la transformant

ainsi en un vecteur colonne.

Le mod`ele de Kronecker permet de r´eduire la complexit´e (taille) de la matrice de corr´ela- tion RH. Celle-ci contient (N<sub>R</sub>2 + N<sub>T</sub>2) coefficients au lieu (NR× NT)2. Ce mod`ele a ´et´e valid´e

par des mesures `a la fois en « indoor » et « outdoor » [KSMP00, PAKM00]. Toutefois, ce

mod`ele montre ces limites face `a des probl´ematiques comme l’existence de corr´elation crois´ee entre les deux extr´emit´es du syst`eme, ou encore pour la reproduction d’effets tel que le goulot d’´etranglement ou « keyhole ».

B. Mod`ele de Weichselberger

Le mod`ele de Weichselberger [WHOB06] a ´et´e introduit afin de rem´edier aux limitations du mod`ele de Kronecker. Ce mod`ele s’appuie sur la d´ecomposition des matrices de corr´elation `

a l’´emission RTx et `a la r´eception RRx en vecteurs propres (cf. ´equations 1.5.19 et 1.5.20) :

RTx= UTxΛTxUHTx (1.5.19)

RRx= URxΛRxUHRx (1.5.20)

o`u :

– UTx et URx sont des matrices unitaires dont les colonnes sont respectivement form´ees

par les vecteurs propres de RTx et RRx;

– ΛTx et ΛRx sont des matrices diagonales compos´ees respectivement des valeurs propres

de RTx et RRx.

Le mod`ele de Weichselberger s’´ecrit :

o`u :

– • repr´esente le produit terme `a terme de deux matrices (produit de Schur-Hadamard) ; – G est une matrice dont les coefficients sont i.i.d ;

– Ω est une matrice de couplage d´ecrivant la corr´elation entre l’´emission et la r´eception. Ses ´el´ements ωmn sont r´eels et positifs. Ils repr´esentent le couplage moyen de puissance

entre les vecteurs propres `a l’´emission et ceux `a la r´eception, et sont d´efinis par :

ωmn=

q

EH[|UH_Tx,mHU∗_Rx,n|2] (1.5.22)

La matrice de couplage Ω permet de traduire le degr´e de diversit´e et la capacit´e du canal. Dans [Bon05], les auteurs ont montr´e que le mod`ele de Weichselberger donne une meilleure approximation du canal de propagation compar´e au mod`ele de Kronecker.

1.5.2.2.2 Mod`eles fond´es sur les param`etres de propagation

Il existe dans la litt´erature des mod`eles analytiques exploitant les param`etres de propaga- tion. Nous citons ici les mod`eles les plus connus : le mod`ele `a nombre de diffuseurs fini, le mod`ele `a entropie maximale et le mod`ele `a canal virtuel.

Le mod`ele `a nombre de diffuseurs limit´e [Bur03] consid`ere seulement N trajets pour

mod´eliser le canal de propagation. Chaque trajet est caract´eris´e par ses angles de d´epart et d’arriv´ee, une amplitude complexe et son retard. Ces param`etres sont repr´esent´es statistique- ment. La corr´elation entre les diff´erents trajets est ´egalement d´ecrite de mani`ere statistique.

Le mod`ele `a entropie maximale [DM05] mod`elise le canal de propagation grˆace `a

l’utilisation d’inf´erence statistique (cf. axiome). Cela revient `a d´eterminer la distribution des coefficients de la matrice du canal `a partir d’une information a priori. Cette information peut inclure des propri´et´es li´ees `a l’environnement de propagation ou encore des propri´et´es li´ees au syst`eme (exemple : directions de d´epart, directions d’arriv´ee, largeur de bande, etc). Le canal est ensuite construit sur la base de cette information a priori de mani`ere `a ce qu’il poss`ede une entropie maximale. L’avantage de ce mod`ele est la facilit´e qu’il offre `a privil´egier ou non la connaissance d’une information lors de la construction du mod`ele.

Axiome : soient I1et I2 deux informations a priori sur lesquelles s’appuient respectivement

les deux mod`eles de canaux H1 et H2, si I1 est ´equivalente `a I2, alors les deux mod`eles de ca-

naux se voient affect´es la mˆeme distribution de probabilit´e f (c’est-`a-dire que f (H1) = f (H2)).

Le mod`ele `a canal virtuel s’appuie sur une approche qui permet de mod´eliser le canal

directeurs `a la r´eception ARx et `a l’´emission AT x et non pas sur l’espace des vecteurs propres

[Say02].

H = ARx(Ω • G)ATT x (1.5.23)

Le mod`ele `a canal virtuel peut ˆetre consid´er´e comme un cas particulier du mod`ele de

Weichselberger. En effet, les vecteurs propres de RRx et RTx sont remplac´es, respectivement,

par les vecteurs directeurs `a la r´eception ARx et `a l’´emission AT x. Cette mod´elisation suppose

qu’il y a NRxdirections d’arriv´ee virtuelles et NT x directions de d´epart virtuelles. Il s’agit d’une

d´ecomposition math´ematique mettant en jeu des directions d’arriv´ee virtuelles, diff´erentes des vraies directions d’arriv´ee des rayons. Les d´etails de cette construction sont pr´esent´es dans la th`ese [Nas09]. Ce mod`ele a l’avantage de pouvoir repr´esenter des ph´enom`enes internes au canal de propagation tel que le goulot d’´etranglement.