Mod` ele th´ eorique de la d´ eformation

Pour confirmer que le cath´eter et le guide se comportent comme des poutres encastr´ees libres soumises `a une force appliqu´ee `a l’extr´emit´e et pour mieux comprendre les interactions magn´etiques qui surviennent quand plusieurs billes sont utilis´ees, nous d´eveloppons un mod`ele th´eorique simple de la d´eformation du cath´eter.

3.1.3.1 D´eveloppement du mod`ele

On consid`ere un embout de cath´eter compos´e de deux billes identiques en mat´eriau f´erro- magn´etique doux, libres de tourner `a l’int´erieur d’un boitier rigide. Le mod`ele pourra ensuite ˆ

etre simplifi´e dans le cas d’une seule bille.

Pour ´evaluer la force magn´etique sur l’embout du cath´eter `a l’int´erieur d’un appareil IRM, nous mod´elisons les deux sph`eres comme ´etant des dipˆoles magn´etiques de force m et que nous appelons S1 et S2 comme pr´esent´e sur la figure 3.3. Le syst`eme de coordonn´ees de l’IRM

(⃗ex,⃗ey,⃗ez) est repr´esent´e. La direction ⃗ez correspond `a la direction du champ ⃗B0. Un syst`eme

(a) (b) θe eθ _e r ey  Fm  Fm  F_SS  F_SS  T S S  M  M r ez

Figure 3.3. Sch´ema du mod`ele de dipˆole des billes ferromagn´etiques. (a) montre la position relative des dipˆoles S1 et S2 et (b) repr´esente les forces et les couples

r´esultants

passant par le centre des deux billes. θe est l’angle d´efini entre ⃗ey et ⃗ez. Puisque les billes

sont libres de tourner dans le boitier, nous supposons que leur magn´etisation est align´ee avec le champ permanent de l’IRM, soit ⃗m = m⃗ez. Dans les conditions qui nous int´eressent, le

champ permanent est beaucoup plus fort que le champ de l’un des dipˆoles. Nous pouvons alors n´egliger les effets que le dipole S2exerce sur la magn´etisation du dipole S1 et vice-versa.

Cependant, comme cela est montr´e sur la figure 3.3, le dipole S2, positionn´e `a ⃗r par rapport

au dipˆole S1 per¸coit le champ magn´etique de S1 [75] et s’exprime, dans le rep`ere de l’IRM,

par

⃗ BS2S1 =

µ0m

4πr3[−⃗ez+ 3(⃗ez.⃗er)⃗er], (3.2)

o`u µ0 = 4π × 10−7 Tm/A est la perm´eabilit´e de l’espace vide.

Sachant que le syst`eme de coordonn´ees cylindriques li´ee aux billes se d´efini tel que ⃗er= sin θe⃗ez+ cos θe⃗ey,

⃗eθ= cos θe⃗ez− sin θe⃗ey,

⃗ez = sin θe⃗er+ cos θe⃗eθ,

(3.3)

l’´equation 3.2 peut se r´e´ecrire en coordonn´ees cylindrique comme suit : ⃗

BS2S1 = µ0m

4πr3[2 sin θe⃗er− cos θe⃗eθ]. (3.4)

exprim´e dans le syst`eme de coordonn´ees cylindrique comme suit : ⃗

M ⋅ ⃗∇ = M ⃗ez⋅ ⃗∇ = M(sin θe⃗er+ cos θe⃗eθ) ⋅ ⃗∇

= M(sin θe ∂ ∂r + cos θe r ∂ ∂θe). (3.5)

La force ⃗FS2S1 appliqu´ee sur le dipˆole S2 due au champ magn´etique du dipˆole S1 est obtenue en substituant 3.4 dans 3.1 exprim´e en coordonn´ees cylindriques `a l’aide de 3.5.

⃗ FS2S1 =

3µ0m2

4πr4 [(1 − 3 sin 2_θ

e)⃗er+ sin 2θe⃗eθ], (3.6)

o`u π₂ − θe est l’angle entre la direction de magn´etisation ⃗ez et le vecteur de position ⃗r. Par

antisym´etrie, ⃗FBA= − ⃗FAB.

Puisque les deux sph`eres sont contenues dans un boitier rigide, elles ne peuvent pas bouger l’une par rapport `a l’autre et leurs composantes de force d’attraction/r´epulsion s’annulent. Cependant, la composante de leur force perpendiculaire `a ⃗r (Figure 3.3) cr´e´ee un couple T sur l’embout du cath´eter

⃗T = ⃗r× ⃗FS2S1 =

3µ0m2

4πr4 sin 2θe⃗ex, (3.7)

o`u ⃗ex= ⃗ey× ⃗ez est la direction qui sort du papier sur la figure 3.3.

3.1.3.2 La force magn´etique dans le cas de dipˆoles multiples

Dans notre mod`ele, les dipˆoles sont des billes ferromagn´etiques magn´etis´ees `a saturation dans la direction z, avec ⃗m = MsV⃗ez, o`u V = πd

3

6 . L’´equation 3.1 de la force due au champ

magn´etique ⃗Fm peut ˆetre reformul´ee telle que

⃗ Fm=

πd3

6 MsGz⃗ez, (3.8)

o`u Gz est le gradient magn´etique produit par les bobines de Maxwell (mT/m), Ms (A/m)

est la magn´etisation `a saturation de la bille, et d (m) est le diam`etre de la bille. La force de l’´equation 3.8 agit sur le cath´eter qui peut ˆetre mod´elis´e comme une poutre de Euler-Bernouilli ayant une rigidit´e en flexion EI uniforme. En supposant que la poutre est inextensible, dans la limite des forces ´etudi´ees ici, les forces de cisaillement sur la longueur de la poutre sont ´

egales `a la composante normale de la force appliqu´ee sur l’embout [69]

EI∂

2_θ

o`u n est le nombre de dipˆoles magn´etiques (1 ou 2), θ = θ(s) est l’angle d´ecrivant la d´efor- mation de la poutre, et s est la coordonn´ee lagrangienne d´efinie le long de la longueur de la poutre depuis son encastrement jusqu’`a son extr´emit´e libre. Les conditions aux limites sont diff´erentes selon si un ou deux dipˆoles sont pr´esents. S’il n’y a qu’un dipˆole, les conditions aux limites sont simplement

θ∣s=0= 0,

EI∂θ

∂s∣s=l= 0,

(3.10)

o`u l est la longueur entre l’encastrement et le centre du dipˆole `a l’extr´emit´e libre. Pour deux dipˆoles, les conditions aux limites incluent le couple de l’embout

θ∣s=0= 0,

EI∂θ

∂s∣s=l−r= T + Fmr cos θe,

(3.11)

o`u θe est l’angle de la poutre au niveau de l’extr´emit´e libre.

3.1.3.3 D´efinition des nombres adimensionnels

Dans la suite, nous utilisons les ratios de longueur suivants ρ= r l, ζ= s l, ξ= v l. (3.12)

Pour simplifier encore l’analyse, nous d´efinissons les nombres adimensionnels suivants :

η=πd 3_l2_M sGz 6EI , κ= µ0πd 6_M2 s 48EIl2 . (3.13)

Le param`etre η repr´esente le ratio de la force d’actuation magn´etique par rapport `a la rigidit´e du cath´eter, tandis que κ est le param`etre d’int´eraction des dipˆoles ajust´e par la rigidit´e du cath´eter.

Le nombre de dipˆoles et la force adimensionnelle qu’un dipˆole g´en`ere apparaissent toujours ensembles sous la forme d’un produit nη de telle sorte que n aurait pu ˆetre introduit dans

la d´efinition du param`etre η. Cependant, comme le but de notre mod`ele est, en partie, de montrer l’avantage d’utiliser plus qu’une seule bille sur le cath´eter, garder n et η s´epar´es permet de discerner plus facilement les effets du nombre de sph`eres sur la d´eflexion dans la section des r´esultats.

En utilisant les nombres adimensionnels de l’´equation 3.13, nous pouvons r´e-´ecrire l’´equa- tion 3.9 telle que

∂2_θ

∂ζ2 = −nη cos θ, (3.14)

en utilisant une des conditions aux limites suivantes selon si l’embout est compos´e d’une ou de deux billes. Dans le cas d’une seule bille, les conditions aux limites sont

θ∣_ζ=0= 0,

∂θ

∂ζ∣_ζ=1= 0,

(3.15)

et dans le cas de deux billes, les conditions aux limites sont θ∣_ζ=0= 0, ∂θ ∂ζ∣_ζ=1−ρ= κ ρ3sin 2θe+ nηρ 2 cos θe. (3.16) 3.1.3.4 R´esolution

Les ´equations 3.14 et 3.15 peuvent ˆetre r´esolues num´eriquement. Nous utilisons la m´ethode de tir et nous devinons l’angle de la poutre `a l’extr´emit´e libre θe. Nous consid´erons ensuite le

probl`eme comme ´etant un probl`eme de valeur initiale et nous int´egrons la forme de la poutre sur toute sa longueur en utilisant l’algorithme de Runge-Kutta. L’algorithme de M¨uller est utilis´e pour converger it´erativement vers la valeur correcte de l’angle final θe. Une fois que la

d´eformation de la poutre est trouv´ee, elle peut ˆetre int´egr´ee pour donner le d´eplacement de l’embout dans la direction transverse dans le cas d’un dipˆole unique et de deux dipˆoles, ce qui donne respectivement

ξ= ∫ 1 0 sin θdζ, (3.17) ξ= ∫ 1−ρ 0 sin θdζ+ ρ sin θe. (3.18)

Les mesures de d´eflexion exp´erimentales sont compar´ees avec les pr´edictions th´eoriques dans la section suivante.

3.1.4 Comparaison du mod`ele avec les exp´eriences