Mod` ele d’advection-diffusion

`

A partir des r´esultats pr´esent´es pr´ec´edemment, nous allons proposer un mod`ele continu bas´e sur des arguments d’´echelle, qui d´ecrit le ph´enom`ene de dispersion des micro-algues. Comme nous l’avons ´evoqu´e pr´ec´edemment, la fraction volumique dans le nuage n’est pas homog`ene, on d´efinit donc celle-ci `a partir du d´eplacement quadratique moyen, qui est la grandeur caract´eristique mesurable de notre syst`eme. On va donc utiliser des valeurs moyennes et proposer une ´equation du type advection-diffusion pour caract´eriser la dynamique de dispersion du nuage :

∂_t⟨ϕ⟩=−∇.(⟨ϕv⟩) +D∆⟨ϕ⟩. (5.23) On suppose ensuite que les grandeurs spatiales varient sur une ´echelle typique de l’ordre

de < r2 >1/2 (⟨ x21^/2⟩ en 1D), soit : |∇| ≈1/⟨ r²⟩_1/2 , |∆| ≈1/⟨ r²⟩ . (5.24)

5.5. ANALYSE DES R ´ESULTATS ET DISCUSSIONS 87

Si l’on se place dans le r´egime hydrodynamique, o`u les interactions entre micro-nageurs dominent sur la marche al´eatoire, et en d´eveloppant l’´equation 5.23 en utilisant 5.24, on obtient :

d⟨r2⟩

dt ≃ ^α

⟨r2⟩1/2 +D (5.25) Dans le r´egime hydrodynamique, o`u l’on peut n´egliger la diffusion, en effectuant un changement de variableY =⟨r2⟩1/2

, et en int´egrant l’´equation 5.21 on retrouve :

⟨ r²⟩ (t) = (³ 2^αt+ ⟨ r₀²⟩_3/2 )^2/3. (5.26) Ici r₀ est la taille caract´eristique du nuage `a t = 0. De plus, de (5.25), il d´ecoule bien que la vitesse d’expansion du nuage varie commeV<sub>r</sub>=α/ < r2 >. Comme nous l’avons mentionn´e pr´ec´edemment, th´eoriquement la condition initiale est une distribution de Dirac, mais en pratique, dans les simulations comme dans les exp´eriences, on commence la mesure alors que la suspension a une taille finie. Il nous faut ici diff´erencier le temps de l’exp´eriencetet le temps `a partir de la vraie condition initialeT =t−t₀. De mˆeme, dans le r´egime diffusif, on retrouve bien en 1D :

r² = 2Dt (5.27)

Les r´esultats exp´erimentaux et num´eriques que nous avons pr´esent´es nous ont donc permis de caract´eriser la dispersion hydrodynamique d’un nuage de micro-algues concentr´e en consid´erant, d’un point de vue exp´erimental, la suspension comme un milieu continu. Nous avons dans un premier temps pu constater un effet fort des parois sur la dynamique du nuage, qui vont avoir tendance `a ´ecranter la dispersion des micro-algues. Dans le r´egime hydrodynamique o`u les interactions hydrodynamiques entre micro-algues dominent et o`u l’on s’est affranchi de l’influence des murs, la dispersion suit une loi en t2/3. Ces r´esultats ont ´et´e confirm´es par des simulations num´eriques. Ce comportement semble ˆetre justifi´e par une vitesse d’expansion du nuage, sous l’in-fluence d’interactions hydrodynamiques, et d´ependant de la taille du nuage en 1/⟨r2⟩. En consid´erant que la force des interactions hydrodynamiques, qui s’exercent entre des micro-nageurs de type puller d´ecroit avec l’inter-distance en 1/r<sup>2</sup>, cette d´ependance semblea priori coh´erente. Aussi, pour confirmer ce comportement observ´e num´ erique-ment et que l’on pr´edit par une analyse bas´ee sur des arguments d’´echelle, nous allons nous int´eresser au champs de vitesse des micro-algues dans le r´egime hydrodynamique. Les exp´eriences que nous avons pr´esent´ees dans cette partie ne nous permettent pas d’analyser directement les champs de vitesse, du fait `a la fois de la r´esolution trop faible pour ce type de mesure et des gradients de concentration utilis´es. Nous avons donc r´ ea-lis´e de nouvelles exp´eriences avec un dispositif exp´erimental plus adapt´e au suivi des champs de vitesses de particules pendant une phase de dispersion hydrodynamique. Les exp´eriences ainsi que les r´esultats seront pr´esent´es dans le chapitre 6.

Chapitre 6

Dispersion hydrodynamique :

dynamique microscopique

6.1 D´emarche

Nous avons ´etabli dans le chapitre pr´ec´edent que la dynamique macroscopique de la suspension suivait une loi de dispersion non-lin´eaire, et nous avons mis en ´evidence que le d´eplacement quadratique moyen ´evoluait en fonction du temps comme t2/3. De plus, les simulations num´eriques mettent en ´evidence que la dynamique d’expansion du nuage est pilot´ee par les interactions hydrodynamiques. En moyenne, le champs hydrodynamique cr´e´e par chaque micro-algue contribue `a l’expansion du nuage de micro-algues, et on peut d´efinir une vitesse d’ensemble qui d´epend de la taille du nuage (et donc de la fraction volumique). On utilise le termed’advectionpour caract´eriser l’expansion de ce nuage de micro-algues, car la dispersion du nuage de micro-algues semble pouvoir ˆetre d´ecrite par une ´equation d’advection-diffusion. En revanche il n’est pas encore clair s’il s’agit vraiment d’advection lors de ce processus.

On va maintenant chercher `a caract´eriser la dynamique microscopique des micro-algues en fonction de la fraction volumique pour confirmer la pr´ediction num´erique ´etablie, `a savoir que la vitesse d’advection du nuage d´ecroit enα/⟨x²⟩ (voir 5.4). On s’int´eresse donc dans ce chapitre `a la dynamique de dispersion d’un nuage de micro-algues en pr´esence d’interactions hydrodynamiques, non plus d’un point de vue macroscopique comme nous l’avons fait dans le chapitre 5. On ne traitera donc pas la suspension comme un ensemble continu, mais, en augmentant la r´esolution spatiale dans nos exp´eriences, on va pouvoir suivre la dynamique individuelle de l’ensemble des particules, ce qui nous permet d’avoir acc`es `a la fois aux vitesses locales et moyenne des micro-algues, et de suivre l’´evolution de la taille du nuage au cours du temps. On se place donc ici dans un cadre m´esoscopique pour ´etudier un r´egime de dispersion hydrodynamique.

Afin de mesurer et de d´ecrire quantitativement la vitesse d’une micro-algue en fonc-tion de la fracfonc-tion volumique, nous avons d´evelopp´e un nouveau dispositif exp´erimental. En utilisant le phototactisme pour regrouper des micro-algues, il est possible de choi-sir pr´ecis´ement la g´eom´etrie du nuage que l’on forme, mais nous avons vu ´egalement que, lorsque la concentration initiale est trop faible, nous ne sommes pas parvenus `a concentrer les micro-algues. Or, pour ´etudier les champs de vitesses de micro-algues, nous allons devoir nous placer dans un r´egime semi-dilu´e o`u l’on peut observer un r´ e-gime de dispersion hydrodynamique tout en mesurant des vitesses de particules. Enfin, on souhaite avec ce nouveau dispositif s’affranchir de l’effet des murs que l’on a pu observer pr´ec´edemment (voir section 5.4).

90CHAPITRE 6. DISPERSION HYDRODYNAMIQUE : DYNAMIQUE MICROSCOPIQUE

Nous allons pour cela utiliser un dispositif microfluidique et cr´eer un jet de micro-algues par flow focusing dans un canal, dont la largeur a ´et´e augment´ee `a 2 cm. On forme ainsi un nuage de micro-algues de mˆeme g´eom´etrie que dans les exp´eriences pr´ec´edentes avec lumi`ere, tout en satisfaisant les exigences que nous avons formul´ees pr´ec´edemment. Dans cette exp´erience, l’´ecoulement est utilis´e pour former le nuage de micro-algues, dont on peut contrˆoler pr´ecis´ement `a la fois la fraction volumique et la largeur, ensuite l’´ecoulement est stopp´e pendant la phase de dispersion de la suspension. Enfin on r´ealisera un suivi de particules pour reconstruire les trajectoires des micro-algues. On a ainsi notamment acc`es `a x(t)ety(t)pour toutes les particules, dont on peut ensuite tirer les grandeurs physiques d’int´erˆet pour notre ´etude ⟨x²(t)⟩,

⟨V_x(t)⟩ et V_x(x, t) etc... Dans ces exp´eriences, le nombre de particules sera bien moins important que dans les exp´eriences pr´ec´edentes, mais, comme nous en avons discut´e dans 2.1.3, des ph´enom`enes de transition sont observables mˆeme pour un nombre tr`es restreint d’individus [11].