6.3 R´ esultats
6.3.5 Champs de vitesse local en fonction de la fraction volumique
volu-mique
Du fait des interactions hydrodynamiques mais ´egalement de l’encombrement st´ e-rique, on s’attend `a ce que la vitesse d’une micro-algue d´epende de la fraction volu-mique. S’il on consid`ere simplement le libre parcours moyen d’une particule active, celui-ci diminue avec la fraction volumique, la particule tend alors `a se r´eorienter `a une fr´equence plus grande que sa fr´equence de r´eorientation intrins`eque (ou biologique, voir la section 2.3.2). L’effet sur la vitesse est moins ´evident, comme il d´epend de la distance et de l’orientation entre micro-nageurs, et qu’il faut consid´erer la contribution de plusieurs particules voisines. Nous avons donc effectu´e des exp´eriences compl´ emen-taires, ind´ependantes des mesures de champs de vitesse r´ealis´ees pour cette exp´erience de dispersion, o`u l’on mesure le coefficient de diffusion microscopique de micro-algues en fonction de la fraction volumique (voir section 3.5). On observe une diminution du coefficient de diffusion lorsque la fraction volumique augmente, et que la distance inter-nageur diminue. Cette tendance avait d´ej`a ´et´e observ´ee num´eriquement [56]. On s’attend donc `a ce que, dans un nuage concentr´e de micro-algues, et dont le profil de concentration n’est pas homog`ene, on puisse ´etablir un profil de vitesse, ce profil justi-fiant la dynamique de la suspension d´ecrite dans les r´esultats pr´ec´edents.
On va s’int´eresser `a la fois `a la vitesse des micro-algues, mais ´egalement `a leur orientation en fonction du temps. Les diff´erents graphes de la Figure 6.15 repr´esentent les vecteurs vitesse des particules d´etect´ees, et dont la vitesse est calcul´ee sur une trajectoire de1 s, ce qui correspond au r´egime balistique de la micro-aglue, `a diff´erents instants de l’exp´erience. D’abord, on s’int´eresse `a l’orientation des micro-nageurs en fonction du temps. On calcule cos(θ) =Vx/|V| pour chaque particule en fonction du temps. Globalement au d´ebut de la phase de dispersion, les particules sur les bords du nuage sont orient´ees vers l’ext´erieur, alors que les orientations des micro-algues au centre du nuage sont plus al´eatoires. Cela met en ´evidence le fait que les micro-algues sur les bords du nuage subissent en moyenne une r´eorientation hydrodynamique du fait de collisions et d’interactions hydrodynamiques ; les micro-algues au centre du nuage, o`u la fraction volumique est la plus importante, se r´eorientent plus r´eguli`erement du fait de la pr´esence des voisines et se dispersent moins. Puis les orientations deviennent en moyenne al´eatoire apr`es un temps de l’ordre de10 s. Cette tendance est repr´esent´ee sur la Figure 6.16. Les particules sont principalement orient´ees au d´ebut de la phase de la dispersion, puis le syst`eme tend vers un ´etat d’orientations isotrope. Ensuite en moyennant sur les particules les orientations, on trace en fonction du temps la fonction :
P(t) = 1
N
∑ n
cos(θ), (6.11)
n ´etant le nombre de particules suivies. On met ainsi en ´evidence que, sous l’influence des interactions hydrodynamiques, on voit la signature d’un ordre polaire pendant la phase de dispersion hydrodynamique, avant de tendre vers un ´etat d’orientation al´ ea-toire (voir Figure 6.17). Ce r´esultat nous permet de mettre en ´evidence la signature d’une dynamique collective sous l’influence des interactions hydrodynamiques au sein de la suspension pendant un processus de dispersion.
106CHAPITRE 6. DISPERSION HYDRODYNAMIQUE : DYNAMIQUE MICROSCOPIQUE
t=0s t=5s
t=10s t=20s
t=40s t=65s
y (µm
)
y (µm
)
y (µm
)
y (µm
)
y (µm
)
y (µm
)
x (µm) x (µm)
x (µm) x (µm)
x (µm) x (µm)
Figure6.15 – Vecteurs vitesses des particules, obtenus exp´erimentalement, repr´esent´es en fonction de la position de la particule `a diff´erents temps de l’exp´erience. L’´echelle donn´ee pour la norme des vecteurs vitesse est en µm/s.
6.3. R ´ESULTATS 107
Figure 6.16 – Distribution de l’orientation des micro-nageurs, extraite des graphes montr´es en Figure 6.15, en fonction du temps.cos(θ) = 1 correspond `a une orientation suivant l’axe x, vers l’ext´erieur du nuage.
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 P ( t ) temps (s)
Figure 6.17 – Distribution des orientations moyennes des micro-nageurs, extraite des graphes montr´es en Figure 6.15, en fonction du temps. Dans un premier temps, on voit que les micro-nageurs sont orient´es, puis `a mesure que les micro-algues se dispersent on tend vers une orientation moyenne nulle.
108CHAPITRE 6. DISPERSION HYDRODYNAMIQUE : DYNAMIQUE MICROSCOPIQUE
On s’int´eresse ´egalement aux composantes de vitesses des particules suivies en fonc-tion de leur posifonc-tion dans le nuage et en foncfonc-tion du temps. On va ´etudier en particulier la composante de vitesse dans la direction de dispersion Vx, et la comparer au profil de concentration du nuage. Sur la Figure 6.18, on trace en parall`ele la distribution de particules en fonction de x et la vitesse Vx, moyenn´ee sur le nombre de particules d´etect´ees dans des tranches de0.5 mmdans la direction x, et ce `a diff´erents instants de l’´exp´erience. On voit d’abord que la vitesse au centre du nuage est centr´ee autour de0, tandis que la vitesse moyenne est maximale sur les bords du nuage. Les micro-algues aux bords du nuage vont avoir tendance `a nager vers l’ext´erieur du nuage, du fait de la pr´esence des autres micro-algues. Ensuite, toujours dans le r´egime hydrodynamique, on voit que la distribution change de forme, on a un maximum de la vitesse qui appa-raˆıt `a une position interm´ediaire dans le nuage. En effet, lorsque le nuage commence `a se diluer, la distance inter-nageurs sur les bords du nuage est plus grande, et donc la force des interactions plus faible, voire nulle. L’influence des interactions hydrodyna-miques est alors plus importante `a une distance interm´ediaire. Enfin, lorsque l’on sort du r´egime hydrodynamique, la vitesse devient homog`ene sur l’ensemble du nuage, et devient nulle en moyenne. Cette description qualitative tend `a montrer que le profil de vitesse d´epend du gradient de concentration dans le nuage, et souligne l’effet des inter-actions hydrodynamiques localement. Pour ˆetre plus quantitatif, on souhaiterait d´efinir la forme du profil de concentration et du profil de vitesse pour ´etablir un lien quantitatif entre ces deux grandeurs. En consid´erant par exemple une distribution gaussienne, au d´epart par soucis de simplicit´e, et faisant l’hypoth`ese que
Vx=−αdϕ
dx. (6.12)
Alors en calculant la vitesse moyenne des particules d´efinie par :
⟨Vx⟩=−α
∫ ∞
0
dϕ
dxϕdx, (6.13)
on retrouve ⟨Vx⟩=α/(2π⟨x2⟩). Cependant, la distribution gaussienne, ainsi que l’hy-poth`ese de l’´equation (6.12) n’a pas ´et´e clairement ´etablie dans nos diff´erentes exp´ e-riences r´ealis´ees. En particulier, nous avons pu constater que l’on ne contrˆolait pas la distribution initiale form´ee par flow focusing. De plus, comme on peut le voir sur la Figure 6.18, les barres d’erreur sur la vitesse restent grandes. Il est donc difficile de confirmer cette tendance ou d’inf´erer `a partir des exp´eriences la forme du profil de vitesse. Une r´esolution analytique plus compl`ete serait `a envisager pour permettre de soutenir ces r´esultats exp´erimentaux. N´eanmoins, l’analyse qualitative que nous avons r´ealis´ee va dans le sens de la description du ph´enom`ene de dispersion par un mod`ele d’advection-diffusion, et met en ´evidence le rˆole des interactions hydrodynamiques dans la dynamique de ce ph´enom`ene.
6.3. R ´ESULTATS 109
Figure6.18 – Distribution de de la vitesse des micro-nageurs en fonction de x (carr´es blancs), moyenn´ee sur des tranches de 0.5 mm, `a diff´erents instants de l’exp´erience. En parall`ele est trac´ee la distribution du nombre de particules suivant l’axe x (ronds noirs).
110CHAPITRE 6. DISPERSION HYDRODYNAMIQUE : DYNAMIQUE MICROSCOPIQUE