6.3 R´ esultats
6.3.4 Mesure de la vitesse moyenne d’advection
m m 3 . s -1 ) Nombre de particules N
Figure6.10 – Coefficientα, obtenu `a partir des courbes exp´erimentales du⟨x2(t)⟩par ajustement de la fonction donn´ee par l’´equation (6.4), trac´e en fonction du nombre de particules. La courbe trac´ee en rouge est un ajustement par une fonction affine, et la pente nous donne la valeur α/N ≈2.5.10−5 mm3.s−1.
6.3.4 Mesure de la vitesse moyenne d’advection
L’expansion d’un nuage concentr´e de micro-algues est principalement pilot´ee par les interactions hydrodynamiques. Nous avons vu dans la section 2.2.3 qu’il y a deux types d’interactions : r´epulsive ou attractive, en fonction de l’orientation d’un nageur par rapport `a l’autre et du type de nageur consid´er´e. Dans le cas d’une suspension de micro-nageurs de type puller, les interactions r´epulsives sont dominantes [75]. Ainsi, en moyenne l’expansion du nuage est due `a un mouvement de type advectif qui tend `a dis-perser les micro-algues, et sa dynamique peut ˆetre d´ecrite par une ´equation d’advection-diffusion.
Pour caract´eriser cette dynamique, on va suivre les trajectoires individuelles des micro-algues. Puis, on calcule les vitesses des particules comme nous l’avons d´etaill´e dans la partie 3.4.2 et on moyenne sur l’ensemble des particules `a chaque pas de temps. Compte tenu de la g´eom´etrie de notre nuage, la dispersion se fait principalement dans la direction transverse au sens d’´ecoulement (direction x), on va donc s’int´eresser `a la composante de vitesse Vx. On repr´esente sur la Figure 6.11 la composante de vitesse moyenne⟨Vx⟩ en fonction du temps. On constate que cette vitesse d´ecroit en fonction du temps, comme la fraction volumique diminue au cours du temps et que la taille du nuage augmente. On va ensuite tracer cette vitesse en fonction de la taille carac-t´eristique du syst`eme ⟨x2⟩. Comme on le voit sur la Figure 6.12, on retrouve bien la d´ependance pr´edite dans la section 5.4 par l’´equation (5.22). Nous avons compar´e le cas avec et sans interactions hydrodynamiques ; on voit que dans le second cas, on est proche d’une vitesse d’advection nulle. On peut remarquer cependant que l’ordre de grandeur de la vitesse d’advection que l’on mesure exp´erimentalement est plus faible que dans les simulations num´eriques. Il est `a noter que la fraction volumique dans les exp´eriences r´ealis´ees est de l’ordre de 1%, tandis que dans les simulations ϕ ≈ 10%.
102CHAPITRE 6. DISPERSION HYDRODYNAMIQUE : DYNAMIQUE MICROSCOPIQUE
Cet ´ecart peut expliquer la diff´erence observ´ee sur la valeur de la vitesse. Il serait int´eressant de mesurer cette vitesse d’advection exp´erimentalement en fonction de la fraction volumique, mais comme nous l’avons discut´e pr´ec´edemment, le suivi de par-ticules est rapidement limit´e d`es lors que l’on est ≥ 1%. Nous n’avons donc pas pu explorer une gamme de concentration assez large pour observer une tendance signi-ficative. Nous discuterons dans les perspectives de pistes possibles pour explorer une gamme de concentration plus large.
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 < V x > ( m m / s) temps (s)
Figure 6.11 – Vitesse moyenne calcul´ee sur l’ensemble des micro-algues d´etect´ees⟨Vx⟩
en fonction du temps, dans le r´egime hydrodynamique. La fraction volumique initiale est 1.2%. `A mesure que le nuage se disperse, la vitesse d’expansion du nuage diminue, et tend vers 0.
Ensuite, `a partir de la courbe ⟨Vx⟩(1/⟨x2⟩), on peut extraire la valeur du coeffi-cient α (voir Figure 6.14). On obtient α ≈ 0.035 mm3.s−1, alors que la valeur ob-tenue avec un ajustement par la formule donn´ee en (5.3) sur la courbe ⟨x2⟩(t) est
α ≈ 0.045 mm3.s−1. On trouve donc un accord satisfaisant, malgr´e la dispersion des donn´ees, entre les deux mesures du coefficientα, et qui va bien dans le sens du mod`ele que nous avons propos´e dans la section 5.5.1. Nous obtenons donc des r´esultats coh´ e-rents, qui vont dans le sens de la description th´eorique que nous avons propos´ee pour d´ecrire la dynamique de la suspension `a partir d’une ´equation d’advection-diffusion. Nous avons ici consid´er´e uniquement des valeurs moyennes. Pour aller plus loin, on va chercher `a ´etablir le champs de vitesse local dans le nuage, afin de confirmer le mod`ele que nous avons propos´e et de donner une description compl`ete de la dynamique. En effet, dans l’´equation d’advection-diffusion donn´ee par l’´equation (5.23) (voir 5.5.1), en connaissant le profil de vitesse en fonction de la position dans la direction de dispersion et en r´esolvant l’´equation, on pourrait justifier alors l’hypoth`ese donn´ee par l’´equation (5.25), ind´ependamment de nos mesures exp´erimentales et num´eriques. On va donc mesurer le champs de vitesse local des micro-algues en fonction de la position dans le nuage.
6.3. R ´ESULTATS 103 1 1,5 2 0,01 0,1 < V x> ( m m / s) <x 2 > (mm 2 )
Figure 6.12 – Vitesse moyenne des micro-algues trac´ee en fonction de la longueur ca-ract´eristique du nuage obtenue exp´erimentalement en ´echelle logarithmique. Les points rouges repr´esentent le cas avec interactions hydrodynamiques, les points noirs le r´ e-gime dilu´e (i.e sans interactions hydrodynamiques) ; la courbe noire discontinue est un ajustement lin´eaire, et la pente obtenue est−1.05.
Figure 6.13 – Vitesse moyenne des micro-algues, obtenue num´eriquement, trac´ee en fonction de la longueur caract´eristique du nuage en ´echelle logarithmique. La comparai-son est faite entre le cas interaction et le cas sans interactions hydrodynamiques. Dans le cas de la dispersion hydrodynamique, on retrouve la d´ependance pr´edite⟨V⟩ ∝1/⟨x2⟩.
104CHAPITRE 6. DISPERSION HYDRODYNAMIQUE : DYNAMIQUE MICROSCOPIQUE 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 < V x > ( m m / s) 1/<x 2 > (mm -2 )
Figure6.14 – Vitesse moyenne du nuage de micro-algues, mesur´ee exp´erimentalement, et trac´ee en fonction de 1/⟨x2⟩. L’ajustement par une fonction lin´eaire trac´ee dans le r´egime hydrodynamique donne α ≈α≈0.035 mm3.s−1.
6.3. R ´ESULTATS 105