Modélisation

Nous limitons dans cette première approche à des considérations dans un espace 2D, c’est à dire à la simulation de la dilatation au niveau d’une coupe reformatée. Bien entendu, il sera nécessaire d’envisager à terme son extension tridimensionnelle. Les valeurs de densité au niveau d’une coupe reformatée sont classées en trois groupes (figure 9.7) à partir de l’analyse effectuée au cours de la navigation exploratoire virtuelle.

Paroi Plaque calcifiée

Plaque molle

FIG. 9.7: Différentes classes de tissus selon leurs niveaux de densité. Plaque molle, plaque calcifiée et paroi.

La zone d’interaction outil-tissu est définie par la lumière interne, qui détermine la ré-gion où le ballon est positionné et dilaté. Les éléments se trouvant à l’intérieur de la zone d’interaction sont éliminés de la représentation en ne gardant que ceux qui se trouvent au delà de la surface interne. Cette surface interne contraint le déplacement du ballon, qui est modélisé par un disque placé dans la surface endoluminale. Il peut évoluer jusqu’à atteindre le diamètre maximal déterminé par les paramètres de la dilatation (taille du ballon et pres-sion appliquée).

(Surface interne) Surface idéale

Zone d’interaction

FIG. 9.8: Représentation sur une coupe reformatée 2D de la surface interne, la surface idéale et la zone d’interaction.

9.2.1.1 Construction du modèle

La méthode de ChainMail envisagée exige i) la construction d’une grille, où chaque noeud correspond à un échantillon de l’image considérée, ii) l’établissement des liens entre

les éléments et iii) la définition des propriétés géométriques globales qui contraignent la propagation d’une déformation.

La tendance naturelle est de penser à modéliser l’objet dans une grille cartésienne régu-lière, qui peut être structurée comme l’image initiale. Cette représentation est adéquate si les déformations se produisent dans la direction des liens (longitudinal ou axiale), et si les propriétés physiques peuvent être associées facilement aux contraintes géométriques entre les éléments. Néanmoins, si les efforts et déformations sont décrits dans des directions dif-férentes, la description dans une grille cartésienne peut présenter des limitations. C’est le cas des déformations que subissent la paroi et les plaques sous l’action du ballon (direction radiale).

Considérons l’exemple qui apparaît sur la figure 9.9, où l’élément6subit une perturba-tion dans trois direcperturba-tions différentes (45Æ,30Æ,0Æ). La conversion des paramètres mécaniques (relation contrainte-déformation) vers des paramètres géométriques est plus difficile a réa-liser entre les éléments6et, qu’entre les éléments6et, car il n’existe pas de lien directe entre eux. En effet, la contrainte géométriquen’est pas contrôlable directement, à la dif-férence de, qui établit une relation directe entre6et.

ds2 ds1 ds2 ds1 ds2 ds1 ChainMail A _C B A C B A B C A B C A C B A C B

FIG. 9.9: Propagation d’une perturbation, de la même amplitude dans un grille rectangulaire selon trois vecteurs différents (45Æ

,30Æ

,0Æ

(a) Représentation de la grille dans une coupe reformatée

(b) Déplacement d’élé-ments de frontière

(c) Réponse ChainMail

FIG. 9.10: Propagation d’une perturbation dans une grille rectangulaire dans une direction radiale.

La figure 9.10 montre l’effet global d’une perturbation radiale sur des liens réalisés dans une grille rectangulaire. On observe que la perturbation appliquée sur les nœuds inter-connectés dans la grille rectangulaire ne se propage pas régulièrement dans la direction radiale. Pour s’affranchir de cet inconvénient, deux solutions sont possibles :

1. Augmenter la connexité des éléments et donc créer de nouveaux liens, par exemple diagonaux. Le problème est alors l’augmentation de la complexité et le temps de calcul.

2. Établir les liens d’une autre façon, par exemple, passer par un repère intermédiaire

9(8 !), suivant un axe dépendant de la structure. Dans ce cas, une interpolation dans le nouveau repère est nécessaire. Parmi les problèmes qui se présentent nous avons, d’une part, la définition des paramètres de l’échantillonnage (
8et
), qui peut conduire à des erreurs dans la construction des images et, d’autre part, l’inconvenance des liens créés en présence de lésions excentrées importantes (problème de choix de repère). Cependant, sous certaines conditions (petits déplacements, échantillonnage à partir du centre de la structure), cette nouvelle représentation peut refléter plus fidèlement les efforts appliqués dans la direc-tion radiale. Cette approche qui est la plus facile à implanter dans le cadre de la simuladirec-tion ChainMail est celle qui a été finalement adoptée.

L’image est ré-échantillonnée dans le repère intermédiaire9(8 !) où sont gérés les contacts ou collisions multiples entre outils et structure ainsi que les déformations engendrées par la dilatation. En ce qui concerne le choix du point d’origine du nouveau repère, il peut être donné par le centre géométrique de la structure, idéalement la paroi externe (ou interne en l’absence de lésion), mais la seule information dont on dispose est la surface endoluminale détectée. Étant donné que pendant la dilatation, les efforts sont appliquées sur la paroi qui tend à se rapprocher d’une surface idéale, le centre géométrique de cette lumière interne (

&!') peut constituer l’origine pour la transformation dans le nouveau repère. Ce centre

coïncide aussi avec le centre géométrique du ballon, sous l’hypothèse d’un ballon centré dans la lumière interne au cours de la dilatation.

La figure 9.11 montre pour une coupe reformatée 2D la nouvelle représentation, avec une interpolation linéaire entre les 4 pixels voisins pour une position et un pas d’échantillonnage donnés (
8,
 ). La transformation est réalisée à partir d’un point centré dans la

lumière. On peut constater, après la transformation (figure 9.11b) un étalement de tous les éléments constituant la paroi dans le repère9(8 !). Une grille est ensuite construite à partir de l’image (figure 9.11c), où chaque nœud est affecté d’une valeur de densité, en éliminant les pixels appartenant à la lumière. Une perturbation qui se propage selon une direction radiale dans 9(!.) peut être représentée par une propagation selon l’axe 8 normal à la ligne centrale dans9(8 !).

(a)

R

(b)

R

(c)

FIG. 9.11: a) Image d’une coupe reformatée perpendiculaire à l’axe du vaisseau et b) ré-échantillonnage dans un repère9(8 !). c) Construction de la grille 2D.

La densité des éléments échantillonnés dans la nouvelle grille est prise comme paramètre pour définir les contraintes géométriques (#&,()&,#',()', etc.) selon la courbe montrée sur la figure 9.12. Sur la courbe, les éléments dont la valeur de densité est au-dessus du seuil de rigidité (400UH) appartiennent à des régions complètement rigides (()=#), qui n’admettent pas de déformations mais qui peuvent se déplacer à l’inté-rieur des structures déformables. En revanche, pour les valeurs de densité faibles (<20UH), les déformations admises vont entre 10% de sa distance originale (()pour compression

maximale) jusqu’à 90% (#pour tension maximale).

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1000 −500 500 1000 1500 2000 % Dist Ini densité(UH) dMin dMax 0

seuil de rigidité (400 UH) région de déformation maximale(20 UH)

FIG. 9.12: Courbe de définition de contraintes géométriques en fonction de la densité.