4.3 Modèles déformables
4.3.3 Masses-Ressorts
(4.8)
qui représente une équation analogue à l’équation du mouvement de Newton, où est
la matrice qui contient les masses des éléments discrets,est la matrice d’amortissement,
est la matrice de rigidité, u est le vecteur de déplacements, le vecteur des forces externes, et le vecteur des forces internes (intra noeuds). Ce système peut être résolu par des tech-niques numériques d’intégration (voir section 4.3.3.1). Des considérations plus détaillées sur la prise en compte des non-linéarités peuvent être trouvées dans [Maur98].
Les éléments finis ont été utilisés dans plusieurs simulateurs de chirurgie tels que pour la gynécologie laparoscopique [Szék00], la chirurgie hépatique [Coti99], la chirurgie faciale [Koch96]. La principale faiblesse de cette méthode est le temps de calcul élevé, mais diffé-rentes techniques d’accélération ont été utilisées. Elles présentent des résultats satisfaisants qui restent très liés à l’application envisagée :
- la condensation [BN97], qui consiste à ne pas traiter les noeuds internes, non visibles, qui n’interagissent pas avec l’observateur.
- le pré-calcul [Coti99] de déformations élémentaires pour chaque nœud de surface. Une combinaison de déformations linéaires peut être appliquée au préalable pour obtenir la dé-formation finale. Le désavantage est que le précalcul ne permet pas les changements de topologie du maillage et par conséquent la simulation de découpes.
- l’utilisation d’un maillage adaptif de façon à calculer des résultats plus rapidement dans certaines zones. Ceci implique un pré-traitement pour obtenir une hiérarchie dans le maillage.
- l’utilisation de méthodes hybrides [Coti00], utilisant à la fois un modèle élastique pré-calculé et un modèle “masses-tenseurs” similaire au modèle masses-ressorts mais repo-sant sur une représentation continue de la structure. Les découpages sont alors restreints à quelques zones prédéfinies.
4.3.3 Masses-Ressorts
Le modèle de masses-ressorts utilise une représentation spatiale purement discrète des matériaux (continue dans le temps). Un objet est modélisé comme une collection de masses
connectées par des ressorts dans une structure de type maillage. Les forces appliquées sont souvent linéaires (suivant la loi de Hooke), mais peuvent aussi être représentées par des ressorts non-linéaires afin de modéliser des tissus plus complexes.
La loi de Hooke déclare que la force f exercée par un ressort hélicoïdal est directement proportionnelle à l’élongation. La constante de proportionnalité k s’appelle la constante de rigidité du ressort. L’élongation du ressort est la différence entre sa longueur réelle et sa longueur au repos. La force agit parallèlement à l’axe du ressort selon la fonction classique :
(4.9)
En considérant la deuxième loi de mouvement de Newton ainsi que la loi d’élasticité de Hooke pour un cas idéal en l’absence des forces d’amortissement (système non-amorti), la positionde la masse peut être décrite par l’équation suivante :
(4.10)
Dans la réalité, les oscillations libres n’existent pas car il y a toujours un amortissement au cours du temps. Ces forces d’amortissement s’opposent au mouvement et sont donc de signe opposé aux vecteurs vitesses. La force d’amortissement
a pour expression : (4.11)
est appelé coefficient d’amortissement visqueux. Ce type d’amortissement se produit à des vitesses faibles pour des surfaces glissantes lubrifiées (amortisseur hydraulique).
... ... mi k k ... ... k ki1 i2 ij in fi FIG. 4.2: Une masse
sous l’effet des forces de plusieurs ressorts.
Dans un modèle de plusieurs masses attachées par des ressorts (figure 4.2), l’équation 4.10 nous conduit à un système d’équations de deuxième ordre qui lie la position (
Ê ), l’accélération ( ¾ ¾ ) et la vitesse (
) aux forces dans les noeuds. Pour le i-ème nœud, on a alors :
(4.12)
représente la masse du i-ème élément,
le coefficient d’amortissement,
la force appliquée par tous les ressorts sur le noeud i, et
l’application d’une force externe.
est donnée par
(j pour tous les noeuds voisins de i)
(4.13) Où
est la distance entre les noeuds i et j ,
est la distance au repos entre les noeuds
i et j et
représente la constante de rigidité du ressort ij, et est liée à la relation contrainte-déformation du matériau.
Il est possible d’utiliser une constant
linéaire, mais elle peut aussi être approximée par un polynôme du second degré [Kuhn00] qui traduit les non-linéarités des tissus biologiques (figure 4.3) : (4.14)
où est un facteur d’échelle et !
les coefficients du polynôme.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 k dX E*x*(1+P1*x+P*x*x)
FIG. 4.3: Exemple de courbe typique de la rigidité [
] d’un ressort, avec " ,
,
.
Du fait de sa simplicité de réalisation et de son faible coût en temps de calcul, le mo-dèle masses-ressorts a été largement utilisé pour la simulation de déformations avec des paramètres de rigidité génériques selon les tissus impliqués [Kueh93] [Terz90] [Kuhn00].
Les premières approches pour représenter le comportement de la peau en utilisant des ressorts linéaires ont été réalisées par Platt et Badler [Plat81]. Il ne s’agit pas d’une approche de résolution dynamique, mais plutôt statique (calcul de positions d’équilibre). Le visage est modélisé par un ensemble de nœuds. A partir des forces appliquées sur certains points, la position finale totale puis l’expression faciale résultante est calculée. Cette approche a été
reprise par Waters [Wate87], qui a introduit des ressorts suivant les orientations réelles des muscles du visage. Ultérieurement, Terzopoulos [Terz90] a développé un modèle d’anima-tion faciale dans lequel la peau est connectée aux couches tissulaires internes grâce à trois maillages différents qui vont jusqu’à l’os. Ils permettent de simuler des expressions du vi-sage et les comportements des muscles, les trois couches ayant des constantes de rigidité des ressorts différentes.
Les propriétés élastiques des matériaux sont présentes dans les diverses constantes asso-ciées aux ressorts. Un des éléments critiques du modèle masses-ressorts comme de tous ces modèles est la difficulté de définir les paramètres des ressorts, car ils dépendent des para-mètres mécaniques des tissus. Le modèle masses-ressorts est moins précis que les éléments finis, et devient progressivement moins précis pour de larges déformations.
4.3.3.1 Modèles et simulateurs
Les équations différentielles qui gouvernent les déformations dans une méthode masses-ressorts ou éléments finis peuvent être résolues par des méthodes d’intégration numériques. Il s’agit de déterminer l’évolution du système entre un instantet un instant.
La méthode la plus simple d’intégration numérique est celle d’Euler-Newton. Pour le mo-dèle masses-ressorts par exemple, à chaque itération, l’accélération du noeud i à l’instant t (#
) est calculée, puis la vitesse et la position à l’instant(étant le temps d’intégra-tion)sont calculées par intégrations successives.
# $ (4.15) $ $ # (4.16) $ (4.17)
Ce processus se répète jusqu’ à ce que le déplacement (qui traduit l’énergie) de tous les noeuds soit inférieure à un seuil (position de repos). La rapidité de convergence dépend du pas d’intégration. Il doit être choisi selon la dynamique attendue (vitesse et accéléra-tion du système). Avec un pas grand, la soluaccéléra-tion est atteinte plus rapidement, mais des problèmes d’instabilité peuvent se présenter. Avec des constantes de rigidité k élevées, des forces grandes et par conséquent des accélérations élevées peuvent apparaître. Kühnapfel [Kuhn00] propose le choix d’undépendant de la rigidité et du facteur d’amortissement selon un critère de stabilité numérique :
% (4.18) Plus la rigidité du ressort est petite, plus le pas d’intégration peut être grand.
Un autre élément important du modèle est le facteur d’amortissement
. Trois types de réponse peuvent se présenter selon la valeur de
: i) non-amortie (
=0), ii) amortie (
petit) , iii) sur-amortie (
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 20 40 60 80 100 120 140 (a) (b) 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 (c)
FIG. 4.4: Résolution numérique d’un système de deux ressorts en interaction dont la dis-tance d’équilibre est de 0.5 mm. a) Système non amorti ( avec=1,5s), b) amorti ( avec
=1s), c) sur-amorti ( avec=1s).
La figure 4.5 montre un exemple de déformation à partir d’un modèle masses-ressorts sur-amorti.
FIG. 4.5: Déformations d’un tissu par un modèle masses-ressorts. Un élément du tissu est déplacé vers le haut.