2.4 Photomélange
2.4.2 Modélisation physique du photomélangeur
Pour modéliser le photomélangeur, on considère un circuit électrique équivalent qui permet de déterminer comment le rayonnement THz sera émis par l’antenne spirale.
Puissance optique incidente.
On considère tout d’abord deux ondes −→E1(−→r,t) et −E→2(−→r ,t) de pulsations res- pectives ω1et ω2.
−→
E1(−→r,t) = E1(cos(ω1t− k1.−→r .−→n)−→u (2.13) −→
E2(−→r,t) = E2(cos(ω2t− k2.−→r .−→n)−→u (2.14)
Les deux ondes sont spatialement superposées avec un coefficient m de recou- vrement qui peut aller de 0, lorsque les faisceaux ne sont pas superposés, à 1, quand les faisceaux se recouvrent parfaitement. Ces ondes sont alors envoyées en incidence normale sur un élément photomélangeur. La puissance instantanée des deux faisceaux superposés traversant une surface unitaire du photomélan- geur est ainsi donnée par la relation
P(−→r,t) = qε0 µ0[E 2 1(cos2(ω1t− k1.−→r.−→n) + E22(cos2(ω2t− k2.−→r .−→n)) +m ∗ E1E2(cos((ω1+ ω2)t + (k1+ k2)−→r.−→n)) +m ∗ E1E2(cos((ω1− ω2)t + (k1− k2)−→r .−→n))] (2.15)
Cette expression fait apparaître deux termes de battement aux pulsations somme et différence des pulsations des deux faisceaux.
Le photomélangeur, polarisé par une tension continue VB, se comporte comme
un photodétecteur. Il détecte la puissance de rayonnement liée à la superposi- tion spatiale des ondes incidentes (2.15). La puissance instantanée P(−→r,t) de l’équation (2.15) est intégrée pour avoir l’expression de la puissance effective- ment détectée par le photomélangeur [126].
En définissant P1= r ε0 µ0E 2 1, P2= q ε0 µ0E 2 2 et P0= P1+ P2
on obtient l’expression de la puissance suivante
P(t) = P0+ 2√mP1P2[cos(ωst) + cos(ωdt)] (2.16) où
ωd= ω1− ω2 et ωs= ω1+ ω2
sont les termes de battement de fréquences différence et somme des faisceaux incidents.
Le photomélangeur ayant un temps de réponse τ tels que 1
τ ' ωd
et 1 τ ωs
seul le terme de battement ωd sera effectivement détecté, ce qui réduit (2.16) à
P(ωd,t) = P0+ 2
√
mP1P2cos(ωdt) (2.17) Réponse du photomélangeur.
On considère maintenant les photons des deux faisceaux lasers superposés, d’éner- gie hν. Ils sont en incidence normale sur un photomélangeur d’épaisseur d et d’aire active A. Une partie de ceux-ci sont réfléchis par le substrat du photomé- langeur, d’indice nsc(pour l’AsGa, nsc= 3.6). Les autres sont transmis pour être
détectés. On peut alors définir un rendement η concernant le nombre de photons détectables par le photodétecteur
η = 1 − R (2.18) où R est le coefficient de réflexion du substrat (R ' 0.32 pour l’AsGa).
R=(nsc− 1)
2
(nsc+ 1)2
(2.19) Les photons transmis vont agir sur le photodétecteur en générant dans l’AsGa, des paires électron/trou (FIG. 2.18).
FIG. 2.18: Schéma de principe de la génération des porteurs dans le photomélan-
geur. Le rayonnement infrarouge d’énergie hν crée des porteurs de charge dans la surface active en AsGa BT qui s’orientent vers les électrodes polarisées avec une tension VB.
Les électrons ainsi créés pourront, soit se recombiner après une durée de vie τ, soit être balayés par la tension d’alimentation VBappliquée au photodétecteur. La
densité de ces paires électron/trou est dépendante de la puissance incidente [127] sur le détecteur. L’expression de cette densité mène à une équation différentielle du type. dn dt = η hνAdP(ωd,t)− n τ (2.20) La résolution de l’équation différentielle, en substituant (2.17) dans (2.20) amène à une expression du nombre de porteurs générés dans la surface active du photo- mélangeur [127]. n(ωd,t) =η(P1+ P2)τ hνAd 1 +2 √ mP1P2 P0 × ωdτsin(ωdt) + cos(ωdt) 1 + (ωdτ)2 (2.21)
Modélisation électronique.
On peut par la suite modéliser le photomélangeur par le circuit électronique de la figure (FIG. 2.19). Ce circuit modèle tient compte de l’antenne d’impédance RL, et aussi des électrodes de contact du photomélangeur représentées par une capacité C, et une résistance RS.
FIG. 2.19: Schéma électrique équivalent du photomélangeur chargé par une an-
tenne
L’expression du nombre de porteurs de charge (2.21), associée au modèle élec- trique précédent permet de traduire la conductance G(ωd,t)du photodétecteur
dépendante du temps en fonction de : µ, la mobilité effective des porteurs de charge, r la largeur de la zone active (dans notre cas 8 µm) et q la charge de l’électron .
G(ωd,t) =
qµd√A
r n(ωd,t) (2.22) Le circuit du photomélangeur est alimenté par une tension continue VB. En né-
gligeant Rs, et à partir de l’expression de l’impédance complexe du circuit [125],
la puissance qui se dissipe dans la résistance de l’antenne peut alors s’exprimer comme
Pantenne(ωd,t) = RLVB2 A hqµητ rhν i2 1 1 + (ωdRLC)2 × P0+ 2 √ mP1P2 1 + (ωdτ)2 (cos(ωdt) + ωdτ sin(ωdt)) 2 (2.23) L’équation (2.23) est constituée de deux termes. En effet une partie de la puis- sance dissipée par ce circuit du photomélangeur dans l’antenne correspond à la puissance dissipée par effet Joule dans le substrat. L’autre partie de cette puis- sance est la puissance rayonnée par l’antenne Pout à la fréquence différence des
deux faisceaux incidents. La puissance Joule représente la partie stationnaire de (2.23) , alors que Pout représente la partie fluctuant aux fréquences THz moyen-
née en temps [128]. Pjoule=hqµητ rhν i V2 B √ AP0 (2.24) Pout(ωd) = 2RLV 2 B A hqµητ rhν i2 mP1P2 [1 + (ωdτ)2][1 + (ωdRLC)2] (2.25) De façon concrète Pjoulene peut augmenter continûment sans une destruction de
l’élément photomélangeur. Il existe donc une valeur seuil Pmax
joule de la puissance
Joule qui conditionne la tension de polarisation du photomélangeur maximale VB, ainsi que les puissances de rayonnement incident P0 que l’on peut imposer. Cette valeur seuil est liée au temps de vie des porteurs dans l’AsGa [129]. A partir de celle-ci on peut exprimer la puissance maximale de rayonnement Térahertz pouvant être émis par l’antenne sans la détruire.
Poutmax(ωd) = 2 RLPmaxjoule √ A hqµη rhν imP1P2 P0 τ [1 + (ωdτ)2][1 + (ωdRLC)2] (2.26) On constate que (2.26) est dépendante de la différence de fréquences des fais- ceaux incidents ainsi que de la constante RLC de l’antenne et des temps de vie
des porteurs photo-créés [81]. A partir de ces expressions, il est aisé de tirer les conditions sur les différentes variables pour pouvoir rayonner des ondes au-delà du THz :
Il faut donc que l’on ait des temps de vie des électrons sub-picosecondes, pour pouvoir générer du rayonnement aux fréquences Térahertz.
Comme le montre la formule (2.26), les puissances de signal générées, ainsi que les fréquences de coupures des photomélangeurs, sont directement dépendantes des temps de vie des porteurs de charge photo-créés. Cette tendance est nette- ment visible sur le graphique (FIG. 2.20) où sont reportées les puissances de signal rayonnées par l’antenne à plusieurs fréquences.
FIG. 2.20: Simulation de la puissance maximale de signal rayonné en fonction
des temps de vie des porteurs dans le substrat AsGa du photomélangeur, à plu- sieurs fréquences d’émission. Plus la fréquence est élevée plus la puissance di- minue et plus le maximum de puissance est obtenu pour des temps de vie de porteur faibles.
Choix expérimental A l’heure actuelle, nous disposons de photomélangeurs comportant trois temps de vies de porteurs différents :
– 320 femtosecondes – 540 femtosecondes – 1,2 picosecondes
La simulation de la puissance rayonnée en fonction de la fréquence d’émission de chacun de ces types de photomélangeur montre bien que plus le temps de vie
des porteurs de charge est grand et plus la fréquence de coupure est faible (FIG. 2.21).
FIG. 2.21: Simulation des puissances rayonnées par les trois types de photo-
mélangeurs. Plus le temps de vie de porteur est grand et plus la puissance est importante à basse fréquence. Par contre la bande passante est plus restreinte. Dans l’application pour la spectroscopie nous avons privilégié l’utilisation du photomélangeur ayant la plus grande bande passante, soit celui ayant un temps de vie de porteur de 320 femtosecondes.