5 Modélisation des oscillations de Ca 2+

Neste capítulo, é apresentada a análise teórica e o desenvolvimento da atividade.

A análise teórica de cada questão foi dividida em análise matemática e a análise didática. A primeira contém a descrição da resolução de cada questão, e a análise didática traz as possíveis estratégias dos alunos para resolver a questão, além da análise de dificuldades que os alunos poderiam apresentar, feita a partir dos resultados das pesquisas já citadas. O objetivo da análise teórica foi subsidiar a coleta e a análise de dados, clarificando os pontos que deveriam ser observados.

Na análise, usaremos o termo variável didática que é entendido como escolha do professor cuja presença ou ausência podem modificar o resultado apresentado pelo aluno. Uma das variáveis didáticas neste experimento é o ambiente no qual se desenvolveu a tarefa (ambiente papel e lápis e geometria dinâmica Geogebra). Outras variáveis didáticas próprias de cada ambiente serão explicitadas na análise teórica dos mesmos.

4.1 A análise teórica da questão 1

A seguir, é apresentada a análise teórica da questão 1 cujo enunciado era:

É sempre possível construir uma circunferência tangenciando três lados de um quadrilátero convexo? Justifique sua resposta.

4.1.1 Análise matemática no ambiente papel e lápis

Estratégia de resolução

Com papel e lápis, esboçar e/ou construir um quadrilátero ABCD qualquer. Como a circunferência tangencia os três lados, o centro desta é equidistante dos lados. O ponto que possui a propriedade de ser equidistante dos três lados é a interseção das bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos, pois os pontos equidistantes dos lados de um ângulo pertencem à bissetriz deste ângulo. Mas é

preciso atentar para o fato de o ponto de tangência ter que pertencer aos lados do quadrilátero, e isto não ocorre sempre. Na Figura 12, temos o quadrilátero ABCD com a circunferência de centro O tangenciando três lados (AB, BC e AD). Na mesma figura, observamos, no quadrilátero ABCE, que a circunferência construída não tangencia o quadrilátero em três lados, pois o ponto de tangência T1 não pertence ao

lado AE.

O ponto de encontro das bissetrizes, que é o centro da circunferência solicitada, é sempre interno ao quadrilátero convexo. Portanto, é possível construir uma circunferência tangenciando três lados de um quadrilátero convexo, desde que os pontos de tangência pertençam aos lados deste quadrilátero. Ou, seja, é necessário identificar a condição de existência da circunferência procurada.

Conhecimentos matemáticos envolvidos

Os conhecimentos matemáticos envolvidos são quadrilátero convexo, bissetriz de ângulo, propriedade dos pontos da bissetriz de um ângulo, propriedade da reta tangente a uma circunferência. Têm-se, ainda, os conhecimentos procedimentais, como traçar uma bissetriz, determinar uma perpendicular a um segmento por um ponto fora deste, manipular compasso e régua.

4.1.2 Análise didática no ambiente papel e lápis

Se o aluno optar por desenhar o quadrilátero com o instrumental de desenho, e utilizando processos geométricos, precisará determinar o centro da circunferência que tangencia os três lados do quadrilátero. Para determinar a solução procurada, é preciso que o aluno varie o comprimento do lado do quadrilátero de modo a obter uma situação na qual o ponto de tangência não pertencerá a um dos lados. Ou seja, o aluno não pode satisfazer-se com a análise de uma única figura construída, mas deve buscar outras configurações para responder à questão colocada. Caso ele não modifique o comprimento dos lados, não chegará à solução correta, respondendo que sempre é possível construir uma circunferência tangenciando três lados de um quadrilátero. O fato de o aluno precisar modificar o comprimento de um dos lados do quadrilátero pode constituir um entrave para obter a resposta correta no ambiente papel e lápis.

Um outro obstáculo é o grau de precisão da figura construída, pois este depende da qualidade dos instrumentos de desenho, por exemplo, um compasso sem ajuste ou com ponta de grafite mal feita comprometem a construção do mais habilidoso desenhista. Depende também da familiarização com os instrumentos e das habilidades. Este aspecto está relacionado à problemática da precisão identificada por Parzysz (2001), segundo a qual aspectos relacionados à precisão de construção de uma figura influenciam na validação de uma conjectura. A problemática da precisão está relacionada à geometria G1; portanto, o aluno que utilize procedimentos de comparação e de medição para validar uma afirmação, estará no nível de desenvolvimento correspondente à geometria G1. E estes procedimentos podem conduzi-lo a uma solução errônea. O problema está na generalização a partir de uma única construção geométrica, sem sofrer o processo de abstração, que inclui a passagem do desenho para a figura nos termos de Laborde (1994). E a justificativa produzida será uma prova do tipo empirismo ingênuo.

Por outro lado, se o aluno realiza a construção geométrica descrita na análise matemática, isto significa que ele está usando a validação teórica; e, portanto, relacionado à problemática da dedução (PARZYSZ, 2001), neste caso representado

pela busca do contraexemplo. Podemos afirmar que este procedimento do aluno nos permite localizá-lo no nível de raciocínio geométrico G2.

Segundo o apresentado no capítulo I, os tipos de provas possíveis são o empirismo ingênuo, a experiência crucial, o exemplo genérico e a experiência mental (BALACHEFF, 1987). Pode ocorrer uma justificativa (empirismo ingênuo) baseada apenas na figura que o aluno construiu, por exemplo: o aluno faz uma única construção na qual a circunferência tangencia/não tangencia os três lados, e daí ele afirma que é possível/não é possível uma circunferência tangenciar três lados de um quadrilátero convexo. Nesta situação, provavelmente ele não utilizou o processo descrito, na análise matemática, pois se o tivesse utilizado, já teria uma justificativa (exemplo genérico). Se ele redige esta justificativa utilizando uma linguagem apropriada a uma demonstração matemática, então, podemos inferir que tal justificativa é uma prova do tipo experiência mental.

.Uma outra possibilidade é o aluno experimentar vários quadriláteros notáveis, tais como retângulo, quadrado, trapézio e losango, e tentar construir uma circunferência tangente aos três lados destes quadriláteros. Para fazer estas construções, ele não necessita do processo descrito na nossa análise matemática. Dependendo do resultado, ele pode inferir que é possível ou não uma circunferência tangenciar três lados de um quadrilátero, e daí, buscar um respaldo teórico para o observado em suas experimentações, inclusive, testando um quadrilátero qualquer. Este tipo de conduta desencadearia uma prova do tipo exemplo genérico. Caso o aluno não busque a teoria para explicar a sua observação, ele poderá justificar que é sempre possível uma circunferência tangenciar três lados de um quadrilátero porque ele constatou este fato em várias construções. Deste modo, teríamos um prova do tipo experiência crucial. Deste modo, seu nível de raciocínio geométrico seria G1.

Para produzir uma prova do tipo experiência mental, o aluno poderá apenas esboçar um quadrilátero qualquer, e considerando-o como uma figura genérica, estudar as possibilidades de solução, buscando sempre a validação teórica. Este procedimento coincide com o descrito por Parzysz para o nível de raciocínio geométrico G2.

4.1.3 Análise matemática no ambiente geometria dinâmica Geogebra

Se o aluno resolveu conforme previsto na análise teórica para o ambiente papel e lápis, ele usará o Geogebra apenas para visualizar e/ou confirmar o que respondeu anteriormente. Portanto, ele construirá no ambiente Geogebra um quadrilátero, utilizando a ferramenta polígono, ou segmento definido por dois pontos. Em seguida, traçará as bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos quaisquer com a ferramenta bissetriz e determinará o ponto de interseção das mesmas com a ferramenta interseção de dois objetos. Após, construirá uma reta perpendicular a um dos lados de um dos ângulos considerados com a ferramenta reta perpendicular, marcando a interseção desta reta com o lado citado. Este ponto é o ponto de tangência. Depois, será traçada a circunferência com centro na interseção das bissetrizes e passando pelo ponto de tangência, com a ferramenta círculo definido

pelo centro e um de seus pontos (Figura 13). A seguir, o aluno constatará que esta

circunferência tangencia, pelo menos, dois lados do quadrilátero, podendo tangenciar três lados conforme justificativa descrita na análise a priori desta questão, no ambiente papel e lápis.

Pelo fato de estar em um ambiente de geometria dinâmica, o aluno pode “arrastar” os vértices do quadrilátero, buscando generalizar o resultado obtido, validando ou não a sua hipótese sobre a existência da circunferência procurada. A não utilização das possibilidades trazidas por um ambiente de geometria dinâmica, pode significar que o aluno o utiliza apenas para maior precisão nos traçados, o que implica não evolução em relação aos níveis geométricos propostos por Parzysz e tipos de prova identificados por Balacheff.

Nesse caso, não validamos nossa hipótese sobre as implicações do uso de ambientes de geometria dinâmica na construção de argumentações e demonstrações. Do fato de que os alunos já haviam passado por outras disciplinas que usaram esse software, podemos inferir que isso não contribuiu para a apropriação das possibilidades de um ambiente de geometria dinâmica.

Caso não tenha conseguido, o uso do software poderá estimular o aluno na pesquisa por estratégias de resolução do problema.

Conhecimentos matemáticos envolvidos

Os conhecimentos matemáticos envolvidos são os mesmos relacionados no item correspondente para o ambiente papel e lápis.

4.1.4 Análise didática no ambiente de geometria dinâmica Geogebra

Caso o aluno tenha respondido a questão conforme exposto na análise teórica referente ao ambiente papel e lápis, poderá usar este ambiente para confirmar o seu resultado. Neste caso, ele pode estar alternando G1 e G2. Caso contrário, poderá utilizar o Geogebra para confirmar ou refutar as suas conjecturas elaboradas no ambiente papel e lápis, bem como enunciar outras, resultantes de suas observações das figuras em movimento do ambiente Geogebra. Procedendo deste modo, podemos inferir que o aluno se encontra em G1, pois valida as suas observações se apoiando nas construções por ele realizadas. A prova resultante desta experimentação será a experiência crucial, pois o aluno produz uma justificativa baseada nas muitas figuras resultantes da movimentação.

Porém, se após as observações das figuras em movimento, o aluno vislumbrar ideias para construir a justificativa, ele estará evoluindo para o nível G2, e a prova produzida poderá ser do tipo exemplo genérico ou experiência mental.

Na análise didática desta questão no ambiente papel e lápis, foi mencionado um obstáculo para alcançar a solução completa, este se refere ao fato de o aluno não variar o comprimento dos lados para concluir que os pontos de tangência têm que pertencer aos lados. Se o aluno explorar o caráter dinâmico das figuras construídas no software Geogebra, tal obstáculo será facilmente superado, uma vez que a movimentação da figura possibilitada pelo software permitiria ao aluno

observar que o ponto de tangência deve pertencer aos três lados. Este fato evidencia as limitações do ambiente papel e lápis para a investigação de configurações do desenho, cabendo ao aluno abstrair e visualizar situações distintas daquela esboçada e/ou construída por ele no papel.

Havemos de considerar, ainda, a possibilidade de o aluno não utilizar o recurso de movimentação do software, e justificar com base em apenas uma figura. Neste caso, ele também estaria em G1, e o tipo de prova que ele poderia produzir seria o empirismo ingênuo.

Pautados nessas colocações, nos permitimos inferir que as movimentações da figura realizadas pelo aluno, se eles as realizar, descartam a possibilidade de ele produzir uma prova do tipo empirismo ingênuo, pois, no mínimo, ele terá respaldado a sua conjectura em um conjunto suficientemente grande de observações, podendo construir provas do tipo experiência crucial ou exemplo genérico, ou mesmo experiência mental.

Ressaltamos que é maior o nível de abstração necessário ao aluno, no ambiente papel e lápis, para a resolução da questão, se comparado ao ambiente de geometria dinâmica. Pois, no primeiro, a visualização restrita reivindica do aluno colocar em ação a imaginação, ou seja, a abstração. O que não ocorre no segundo ambiente, porque a movimentação das figuras minimiza a necessidade de imaginar como as figuras poderiam ser, que relações poderiam existir. Por outro lado, se o ambiente de geometria dinâmica requer do aluno um nível de abstração menor, seja para a elaboração de configurações distintas de uma figura, seja para a construção de conjecturas, ele pode se constituir em um obstáculo ao processo de abstração necessário para a estruturação de uma demonstração.

4.2 Experimentação da questão 1 no ambiente papel e lápis

Neste item, são descritas a experimentação e a análise da questão 1, agrupadas por duplas.

4.2.1 Desenvolvimento das estratégias da dupla Rita/Guilherme

Eles iniciaram lendo, em silêncio, o enunciado da questão, e assim permaneceram quando começaram a desenhar. Guilherme fez alguns esboços à

mão livre (Figura 14), mas logo utilizou o instrumental de desenho, a saber, par de esquadros, régua graduada e compasso, e desenhou, sem utilizar processos geométricos, um quadrilátero qualquer com uma circunferência tangenciando, aparentemente, três lados deste quadrilátero (Figura 15). Tal circunferência foi construída escolhendo o centro por tentativa.

Simultaneamente, Rita começou a desenhar com o instrumental de desenho e utilizou processos geométricos para a construção do quadrado (Figura 16), não utilizou esboços. Os dois alunos não explicitaram o motivo pelo qual escolheram utilizar os instrumentais de desenho para esboçar ou para construir com processos geométricos.

Figura 14: Esboços à mão livre feitos por Guilherme

Apesar de estarem em dupla, observamos que eles pensavam individualmente sobre as questões, a partir das construções e/ou esboços que haviam feito, e trocavam ideias em seguida. Eles estavam empenhados na resolução. O tempo em que estavam imersos em seus pensamentos não superava cinco minutos, em média, de acordo com a minutagem que fizemos durante a sessão.

Após concluírem os desenhos citados anteriormente (Figuras 14, 15 e 16), iniciaram o primeiro diálogo (neste e nos seguintes, considere que R indica a fala de Rita, G a de Guilherme e Pesq. a da pesquisadora), apontando para os desenhos feitos por eles separadamente:

R: Três lados... Se for um quadrado dá.

Rita elaborou uma conjectura baseada na percepção de apenas um exemplo. Continua o diálogo:

G: Não são três lados consecutivos? R:Num quadrado vai tangenciar 4 lados.

G:Traçando a circunferência primeiro... Temos que fazer uma construção certa mesmo. ( Ele fala isso se referindo à

construção por processos geométricos).

R: Se tangencia quatro, obviamente tangenciou três. Tá

entendendo o que eu estou falando? Veja a pergunta. (Ela lê o

enunciado). Se tangenciou quatro, tangenciou três.

G: É, você tem razão, Mas a resposta tem que servir para qualquer quadrilátero convexo. No quadrado, tangencia. Mas a gente tem que construir qualquer quadrilátero e ver se tangencia.

R: Se fosse um triângulo, tinha como achar o baricentro, né? E fazer inscrito. Entendeu o que eu estou falando?

G: Mas, olha! Só tem que ver este ponto de tangência.

Rita faz o desenho com o triângulo (Figura 17).

G: Tem que encontrar um ponto equidistante de dois lados. ( Refere-se ao triângulo construído por Rita).

R:Por isso que eu estou pensando: Será que não tem nenhuma relação com o baricentro? Tangenciando dois lados, é certo que sim, porque aí a gente traçava a diagonal, então a gente formava dois triângulos. Com um triângulo, achava o baricentro e fazia a circunferência.

Guilherme concorda, balançando a cabeça.

R: Então, é sempre possível com dois lados. Agora em três lados, eu não sei.

G: A gente tem que achar...

R: Tem algum ponto no quadrilátero que a gente determina no quadrilátero que seria o centro?

G: A gente quer achar algum ponto aqui que seja equidistante de três lados. (Refere-se ao desenho de um quadrilátero

qualquer construído por ele na Figura 15).

Constatamos que Rita e Guilherme concluíram que, no quadrado, a circunferência tangenciaria os quatro lados, então tangenciaria três lados, respondendo a questão. Após analisar os desenhos produzidos por ele, Guilherme acha que é possível a circunferência tangenciar três lados de um quadrilátero.

Ao afirmar que é necessário utilizar processos geométricos para fazer os desenhos, Guilherme manifestou uma preocupação com o desenho sobre o qual ele vai raciocinar para encontrar a solução. Se estável, seria um comportamento típico de G2 controlando G1, pois Guilherme busca uma justificativa teórica para experimentá-la na prática.

Quando Guilherme diz que a resposta que eles estão procurando tem que servir para qualquer quadrilátero e não apenas para o quadrado, e por isso precisam construir um quadrilátero qualquer, ele demonstra um amadurecimento com relação à generalidade da resposta procurada. Este fato indica que este aluno tem percepção de que a verificação de um caso particular não é suficiente para garantir a generalidade da solução encontrada, o que nos permite afirmar que a prova que ele busca é do tipo experiência mental ou crucial, ou ele não se satisfaz com provas do tipo empirismo ingênuo. Rita busca pela resposta correta, mas não tem a generalidade da solução como primeiro propósito, características da prova do tipo empirismo ingênuo.

Podemos alegar com base nos dados analisados dessas questões, que Guilherme encontra-se no nível G2, pois este aluno utiliza o desenho para analisar o problema, mas sabe que ele não basta, que é preciso buscar justificativas. Rita encontra-se no nível G1, pois ela procura validar as suas conclusões utilizando a percepção dos desenhos construídos.

Observamos a imprecisão do traçado e o fato de que o triângulo esboçado, na Figura 16, é um triângulo escaleno28, mas tem a aparência de um triângulo eqüilátero. Esta aparência falsa fez com que a circunferência traçada com centro no baricentro do triângulo parecesse tangente aos lados do triângulo, o que pode ter contribuído para Rita achar que o baricentro era o centro do triângulo procurado e insistir nesta ideia. Mais um indício de que Rita se encontra em G1. Observamos assim que ela confunde os pontos notáveis do triângulo, pois partiu do traçado das mediatrizes.

Rita afirmou:

R: Se fosse equidistante dos vértices era fácil, ou não era?

Neste instante, nós resolvemos intervir porque observamos que os alunos estavam desanimados, como se tivessem chegado ao limite de todas as possibilidades. Nós, então, afirmamos que a ideia de pensar em um ponto equidistante de três lados é boa e que deviam investir na ideia de Rita que era pensar inicialmente em pontos equidistantes de dois lados.

Em seguida, Guilherme perguntou:

28 _{A pesquisadora observou Rita construir este triângulo. Daí a certeza de ele ser um triângulo} escaleno, apesar de não haver indicação nos diálogos e nem marcas indicativas na figura.

E se traçar uma bissetriz dos dois lados, todos os pontos da bissetriz serão equidistantes, não?

Guilherme traçou um ângulo e desenhou a sua bissetriz utilizando corretamente o processo geométrico (Figura 18), porém sem precisão no uso dos instrumentos.

O ângulo e a bissetriz deste, traçados por Guilherme, parecem funcionar como um apoio para o raciocínio dele, pois o aluno sentiu necessidade de construí- lo como que para concretizar a sua ideia. Este procedimento evidencia a necessidade de um registro – neste caso, um desenho – para que ele desenvolvesse o seu raciocínio, explicado pela teoria dos registros de representação semiótica de Duval (1993), segundo a qual o aluno necessita de uma representação do objeto matemático para apreendê-lo conceitualmente. Por outro lado, a utilização de um único registro pode conduzir a uma compreensão errônea do problema, conforme também alerta este autor. Foi o que ocorreu com Rita, pois ao desenhar um triângulo escaleno com aparência de equilátero e determinar o baricentro, devido à imprecisão de desenho, pareceu-lhe que a circunferência construída com centro no baricentro tangenciava os três lados do triângulo, mas esta é uma propriedade apenas dos triângulos equiláteros, no qual os quatro pontos notáveis coincidem.

Em seguida, registraram-se as falas:

R: É (Diz olhando o desenho de Guilherme). Entendi, então todos estes pontos vão ser equidistantes?

G: Agora pensando no isósceles. No encontro de duas bissetrizes...

R: Vamos traçar todas as bissetrizes? Nossa! Vai dar uma confusão!

Guilherme desenha uma poligonal aberta de três lados, as bissetrizes dos dois ângulos formados, a circunferência com centro na interseção das bissetrizes e raio aproximado, determinado pela distância do centro até um dos lados, escolhido