Chapitre IV : Simulations à l’aide du modèle hybride multichamp
3.2 Modélisation numérique
On simule l’oscillation bidimensionnelle d’une bulle de diamètre 2 cm dans un domaine de dimension 5 ×5 cm. On utilise différents maillages, de tailles respectives 45 × 45, 64 × 64, 91 × 91, 128 × 128 et 181 × 181 cellules. Le pas de temps est fixé pour chaque maillage, afin de conserver un nombre de Courant inférieur à 0.5, ce qui en pratique donne des valeurs respectives de 0.5, 0.1, 0.1, 0.05 et 0.01 ms pour les différents maillages.
3.3 Résultats
On simule des bulles oscillants pour les modes de perturbations n = 2 et n = 4, soit respectivement une excitation elliptique et carrée. Les simulations sont menées dans un domaine bidimensionnel de taille 5 × 5 cm2. La phase gaz a les propriétés de l’air (ρg = 1.29 kg · m−3 et µg = 10−5 kg · m−1 · s−1), la phase liquide a pour masse volumique ρl = 1000 kg · m−3 et pour viscosité µl = 10−4 kg · m−1· s−1, la tension de surface est fixée à 80 × 10−3 N · m−2.
On attend donc des oscillations avec une pulsation ω0 pour le mode 2 : ω0 = s (23− 2) × 80 × 10−3 (1000 + 1.29) × 0.013 = 21.895 s−1 (2.16) et pour le mode 4 : ω0 = s (43 − 4) × 80 × 10−3 (1000 + 1.29) × 0.013 = 69.24 s−1 (2.17) La pulsation des oscillations amorties observées en figures 2.22 et 2.23 sont ex-traites par transformée de Fourier. Elles sont comparées aux valeurs théoriques ω0 (2.15), et reportées en table 2.2 pour une déformation de mode 2 et en table 2.3
pour une déformation de mode 4.
Figure2.21 – Fraction volumique du gaz à l’état initial perturbé (ellipse) et après amortissement des oscillations au bout de 3 s.
Maillage Pulsation ω0 [s−1] Err. rel. sur ω0 [%] 45 × 45 19.75 9.8 64 × 64 21.54 1.6 91 × 91 21.54 1.6 128 × 128 21.53 1.0 181 × 181 21.21 3.1
Table2.2 – Pulsations calculées et erreurs relatives par rapport au résultat analytique sur l’oscillation d’une bulle 2D déformée par une perturbation de mode 2.
Figure2.22 – Amplitudes des oscillations de l’axe de la bulle pour le cas d’une pertur-bation initiale de mode 2 (à gauche), et spectre des pulsations obtenu par transformée de Fourier (FFT) des oscillations amorties (à droite).
Le résultat sur le maillage 45 × 45 n’est pas présenté pour la bulle initialement carrée car ce maillage, beaucoup trop grossier, ne permet pas de capter correctement les angles du carré et donc les oscillations.
Maillage Pulsation ω0 [s−1] Err. rel. sur ω0 [%]
64 × 64 53.86 22.2
91 × 91 62.83 9.2
128 × 128 66.33 4.1
181 × 181 66.42 4.0
Table2.3 – Pulsations calculées et erreurs relatives par rapport au résultat analytique sur l’oscillation d’une bulle 2D déformée par une perturbation de mode 4.
On mesure une erreur relative inférieure à 10 % sur la valeur de la pulsation et inférieure à 5 % sur la pression finale comparée à la valeur prédite par l’expression de Laplace (2.5). On remarque dans les table 2.2 et2.3 une absence de convergence en maillage pour la pulsation ω0.
Figure2.23 – Amplitudes des oscillations de l’axe de la bulle pour le cas d’une pertur-bation initiale de mode 4 (à gauche), et spectre des pulsations obtenu par transformée de Fourier (FFT) des oscillations amorties (à droite).
Pour démonstration de faisabilité, l’oscillation d’une bulle dans un domaine 3D est simulée, avec une perturbation initiale ellipsoïdale (mode 2). Le maillage est constitué de 50 × 50 × 50 cellules cubiques. La résolution de l’équation (2.11) en 3D pour une perturbation d’ordre 2 amène à une solution d’oscillations amorties dont la pulsation est de la forme :
ω20 = (n + 2)(n
3− n)σ ((n + 1)ρ1 + nρ2)R3
0
(2.18) Soit, avec les mêmes propriétés physique que pour le cas 2D présenté précédemment :
ω0 = s
4 × (23− 2) × 80 × 10−3
(3 × 1000 + 2 × 1.29) × 0.013 = 25.29 s−1 (2.19) Ce qui prévoit une période d’oscillation de 124 ms. La période visuellement présentée enfigure 2.24 de 150 ms est donc un résultat tout à fait acceptable.
Figure2.24 – Oscillation d’une bulle sphérique ayant subit une déformation d’ordre 2 (ellipsoïdale). L’intervalle de temps entre deux images est de 25 ms. La surface représentée est l’isosurface αcg= 0.5.
Figure2.25 – Bulle sphérique obtenue après amortissement des oscillations par les forces visqueuses (ici au bout de 1 s de temps physique).
On vérifie à l’aide de la figure 2.25 que la bulle tend à reprendre son aspect sphérique après amortissement des oscillations.
4 Conclusion
Dans ce chapitre, la méthode de localisation d’interface dédiée à la simulation des larges bulles déformées (ITM) a été vérifiée sur des cas analytiques. La convergence de l’étape de compression artificielle de l’interface a été testée dans un premier temps, montrant un comportement correct, en particulier dans le cas tri-dimensionnel qui est à terme celui qui nous intéresse le plus.
Ensuite, le modèle est testé sur des cas de bulles isolées dans un champ de gravité nulle. La simulation d’une bulle statique donne de bonnes prédictions des valeurs de pressions de Laplace, et les cas avec perturbation de la forme initiale de la bulle montrent de bons accords entre les fréquences d’oscillations théoriques et numériques. Le retour à l’équilibre de ces bulles perturbées est satisfaisant.
Chapitre
III
Modélisation d’interfaces localisées
-Montée de bulles
La validation du modèle sur des cas analytiques, présentée au chapitre précédent étant satisfaisante, le présent chapitre propose de comparer l’approche à interface localisée à des résultats expérimentaux. Dans un premier temps, des simulations de montées de bulles dans des fluides de diverses viscosités seront exposées. Ces premiers cas très classiques pour la validation de la modélisation d’interfaces nous permettront de comparer nos résultats à d’autres méthodes numériques.
Compte tenu de l’importance de la coalescence dans les transitions entre les différents régimes d’écoulements, la modélisation de la coalescence locale est ensuite étudiée. On abordera la modélisation de panaches de bulles turbulents avec des modèles deux-phases, deux-champs.
Enfin, bien qu’il n’y ait pas de comparaison expérimentale possible faute de don-nées, des simulations dans les conditions fluides de l’écoulement dans le générateur de vapeur sont réalisées, afin d’estimer la faisabilité numérique.
1 Benchmark de Hysing
Le benchmark de Hysing et al. [54, 96] consiste en deux études de montées de bulles. La première propose un rapport des viscosités de 10, un rapport des masses volumiques de 10 également et un coefficient de tension de surface de 24.5 N · m−2, tandis que la seconde des rapports respectifs de 100 et 1000 ainsi qu’un coefficient de tension de surface de 1.96 N ·m−2. La gravité est fixée à 0.98 m ·s−2 (soit le dixième de la gravité à la surface du globe terrestre). Ces propriétés sont récapitulées en
table 3.1, où les masses volumiques ρ sont exprimées en kg · m−3 et les viscosités µ en P a · s.
La géométrie ainsi que les conditions initiales, présentées enfigure 3.1, sont iden-tiques pour les deux cas. Le domaine de calcul est bidimensionnel. Ses dimensions sont 1 m de large et 2 m de haut. La bulle est initialement ronde, de diamètre 0.5 m, centrée sur la position (x = 0.5; y = 0.5). Les deux cas ont donc le même nombre de
Test Case ρ1 ρ2 µ1 µ2 g σ Re Eo ρ1/ρ2 µ1/µ2
1 1000 100 10 1 0.98 24.5 35 10 10 10
2 1000 1 10 0.1 0.98 1.96 35 125 1000 100
Table3.1 – Propriétés physiques et nombres adimensionnels définissant les cas du benchmark (source [54]).
Reynolds (35) mais des nombres d’Eötvos différents (respectivement 10 et 125), les formes de bulles attendues sont donc assez différentes.
Figure3.1 – Configuration initiale et conditions limites pour les cas tests du bench-mark (source [54].
Quatre maillages sont utilisés pour le benchmark, composés de 40 ×80, 80×160, 160 × 320 et 320 × 640 cellules, soit des nombres de cellules par diamètre de bulle valant respectivement 20, 40, 80 et 160. Les cellules sont cubiques. Les conditions aux limites sont des conditions de glissement pour les parois verticales et non glissantes pour les parois définissant le bas et le haut du domaine. Les deux plans parallèles à (Oxy) sont des symétries pour respecter la géométrie 2D avec une couche unique de cellule dans la direction z pour tous les maillages.
Il y a trois participants dans le rapport du benchmark. Les premiers utilisent le code TP2D (pour Transport Phenomena in 2D), qui est un code basé sur une discrétisation par éléments finis. La résolution de la pression et du champ de vitesse sont délocalisées avec une méthode de projection discrète. L’interface est suivie par
une méthode level-set associée à une étape de correction de masse pour assurer la conservation. Les seconds utilisent le code FreeLIFE (pour Free surface Library of Finite Element). Le code est basé sur un solveur pour écoulements incompres-sibles dédié aux problèmes à surfaces libres. L’interface est également suivie par une méthode level-set associée à une correction de masse. Enfin, le dernier code utilisé est MooNMD (pour Mathematics and object oriented Numerics in MagDeburg). C’est un code basé sur une description par éléments finis avec une approche ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian).
L’ascension des bulles est suivie sur un temps physique de 3 s. D’après les études expérimentales de Clift et al. [28] (Cf. figure 3.2), une bulle ayant les paramètres physiques du premier cas devrait être dans le régime ellipsoïdal (ellipsoidal regime). En supposant que ces conclusions sont valables pour une bulle 2D, on attend une bulle restant compacte durant son ascension, la tension de surface jouant un rôle important dans la forme terminale de la bulle.
Le second cas test est, toujours selon les résultats de Clift et al. [28], entre les régimes ellipsoïdal, skirted et dimpled ellipsoidal-cap. Un fractionnement de la bulle est donc possible dans ce cas.
Figure3.2 – Extrait de la cartographie des régimes de formes de bulles de Clift et al. (source [28]). Les deux cas test du benchmark sont positionnés (1 et 2 en bleu).
Afin d’obtenir une comparaison quantitative des résultats des différents codes, trois quantités sont mesurées sur la bulle en ascension : la circularité de la bulle, la position du centre de masse de la bulle et la vitesse du centre de masse de la bulle. La circularité de la bulle ξ est définie par le rapport entre le périmètre de la bulle ronde initiale et le périmètre de la bulle simulée. La position du centre de masse de
la bulle au cours de l’ascension de la bulle est évalué par moyenne de la position des cellules contenant la phase gaz. Avec le formalisme du modèle à deux fluides, cette moyenne est pondérée par la fraction volumique de la phase gazeuse :
xc = (xc, yc, zc) = R
αbxdΩ R
αbdΩ (3.1)
La vitesse d’ascension de la bulle est évaluée de façon similaire par moyenne de la vitesse de la phase gaz. Une variante revient à utiliser la vitesse d’ascension du centre de masse de la bulle U(xc).
Uc = R
αbUbdΩ R
αbdΩ (3.2)