Compression artificielle de l’interface

∇. ∇c k∇ck  ∇c dV ^(1.46)

où β_k est ici un facteur de pondération vérifiant ^P_kβ_k = 1. Bartosiewicz et al. [8] proposent deux modèles pour ce coefficient, suivant que l’on choisit une pondération basée sur la masse ou sur le volume :

Moyenne volumique β_k= αk

Moyenne massique βk= ^αkρk P αpρp

(1.47) Štrubelj [135] simule des cas où le rapport de masse volumique entre les phases est élevé, et où la tension de surface domine. Il établit que dans ce cas, l’utilisation de la moyenne volumique donne de meilleurs résultats, en notant toutefois que les écarts entre les deux types de moyennes sont minimes. Nous allons donc par la suite utiliser la moyenne volumique pour implémenter la tension de surface dans NEPTUNE_CFD.

3.3 Compression artificielle de l’interface

L’idée de compression artificielle a été introduit par Harten [47] pour le suivi d’ondes de choc en discrétisation par différences finies :

∂α

∂τ + ∇ · g(α) = ε∇ · (∇α) ^(1.48)

Le flux de compression g(α) introduit par Harten doit vérifier les conditions sui-vantes :

⊲ g(α) = 0 à droite et à gauche de l’interface ⊲ g(α) > 0 sur l’interface

Le flux proposé par Olsson et Kreiss [91], g(α) = α(1 − α)n remplit bien toutes ces conditions. L’étape de compression artificielle consiste donc à résoudre jusqu’à convergence l’équation suivante :

∂α

∂τ + ∇ · (α(1 − α)n) = ε∇ · (∇α) ^(1.49) On calcule dans un premier temps le vecteur interface n au pas de temps courant n (avant compression). Celui-ci est utilisé pour toute l’étape de compression, l’hy-pothèse étant que l’on cherche à comprimer l’interface sans pour autant modifier sa forme. La direction normale à l’interface est donc une constante de l’équation locale de compression artificielle :

n= ∇α k∇αk

n

(1.50) Deux schémas de résolution numérique sont testés. Le premier est un schéma de type upwind, proposé par Harten [47], tenant compte à la fois du sens du flux et du gradient (sgn est ici la fonction signe). Le second est le schéma centré classique. La résolution du système est effectuée de manière explicite :

αⁿ⁺¹_j = αⁿ_j − ¹₂ Gⁿ_j+1/2− Gⁿj−1/2
Schéma de Harten : Gⁿ_j+1/2= g(αⁿ_j) + g(αⁿ_j+1) − |g(αj+1ⁿ ) − g(αjⁿ)|sgn(αⁿj+1− αjⁿ) Schéma centré : Gⁿ_j+1/2= g(αⁿ_j) + g(αⁿ_j+1) (1.51)

On utilise ensuite la méthode du Jacobi pour l’inversion matricielle du système et le calcul de α dans le cas d’une résolution explicite. Les paramètres de l’équation (1.49) sont ε et ∆τ. La valeur de ε permet de jouer sur l’équilibre entre la partie compression et la partie diffusion de l’équation à convergence, c’est-à-dire lorsque ∂α/∂τ tend vers 0. C’est donc la valeur de ε qui contrôle l’épaisseur de l’interface à la fin de l’étape de compression artificielle. La valeur de ∆τ influe sur les nombres CFL et de Fourier de l’équation. Ces derniers doivent être petits (en l’occurence inférieurs à 0.5) pour assurer que l’on effectue une compression conservant une normale à l’interface n inchangée. On fixe les valeurs suivantes pour ε et ∆τ, correspondantes aux préconisations de Štrubelj [135] :

ε = ^∆x

2 et ∆τ = ^∆x

32 (1.52)

Pour une interface résolue, on obtient à convergence de l’étape de compression une interface d’une épaisseur de 2 cellules de chaque coté, soit 5 cellules en tout. Contrairement au critère de convergence utilisé par Štrubelj (1.53), on cherche en pratique à mesurer la variation d’une grandeur mesurant la quantité d’interface présente dans le domaine. L’étape de compression est répété jusqu’à ce que notre critère de convergence devienne inférieure à un seuil.

ncel

X

I

|δα^I| < seuil × ∆τ ^(1.53)

Le critère de convergence pour l’étape de compression artificielle basé sur le volume de la bulle n’est pas forcément pertinent compte tenu du fait que l’on ne modifie pas ici la forme de la bulle, mais la largeur de son interface. Pour une bulle qui se déforme fortement, la quantité de l’interface augmente sans pour autant que

son volume ne soit modifié. Il est jugé ici préférable d’avoir un critère de convergence basé sur la quantité d’interface, représentée par :

Z

Ω

α1α2dV (1.54)

Le critère suivant est utilisé, en prenant la quantité d’interface totale comme valeur de référence pour le critère de convergence :

ncel X I |δα^I2(1 − 2α^I2)|dΩ^I < seuil × ncel X I α^I₁α^I₂dΩ^I (1.55) L’étape de compression artificielle doit permettre de conserver une épaisseur d’interface constante au cours de la simulation, sans pour autant modifier la phy-sique. Pour éviter l’ajout de vitesses parasites (le transport des fractions volumiques n’étant pas repris au niveau des vitesses des champs), il faut que la correction reste petite devant le transport de l’étape physique (cycle α −P ). Ce qui implique d’avoir un nombre d’itérations de compression artificielle faible par pas de temps physique et donc un seuil de convergence assez élevé (en pratique on retiendra la valeur de 10⁻³).

Modification de l’étape de compression Sato & Niceno [107] montrent que l’expression proposée par Olsson & Kreiss [91] pour la compression artificielle de l’interface, déforme cette dernière dans le cas où la compression est itérée un trop grand nombre de fois. Leurs travaux présentent une expression tenant compte de la vitesse locale de l’interface, permettant de quantifier la compression à appliquer en estimant un indice de diffusion local :

∂α

∂τ + β∇ · (α(1 − α)n) = βε∇ · (∇α) ^(1.56) Avec β un coefficient local compris entre 0 et 1, permettant de contrôler l’effet de compression. L’indice de diffusion local i_{D = ∇(u · n) · n est utilisé pour la définition} de β : β =            β_min i_D ≤ 0 1 − βmin isat D iD + βmin 0 < iD < isat D 1 iD > isat D (1.57)

Reste alors à renseigner les paramètres β_min et isat

D (respectivement 0.01 et 2.0 d’après Sato & Niceno). Cette approche montre une limite de l’étape de compression artificielle qui ne doit pas devenir un terme dominant par rapport au déplacement de l’interface par l’étape physique d’advection-diffusion. L’application du modèle de Sato & Niceno est principalement le suivi du départ d’ébullition, donc des bulles sphériques. Il ne nous semble pas que cette solution, basée sur une diminution de la compression soit la meilleure méthode pour les bulles déformées. Si l’étape de

compression pose des problèmes, c’est le signe d’une mauvaise discrétisation du problème, mal résolu par l’échelle spatiale ou temporelle de la simulation.

L’exemple suivant illustre cet effet. L’ascension d’une bulle 2D est modélisée avec une approche sans compression de l’interface, la compression de Olsson & Kreiss avec un seuil de convergence faible (donc potentiellement beaucoup d’itérations de compression), et la compression proposée par Sato & Niceno. Au bout de 0.5 s d’ascension, les bulles avec compression de l’interface ont atteint une forme finale. Les trois formes obtenues sont comparées enfigure 1.1.

Figure1.1 – Observation de la forme d’une bulle avec des modèles sans compression, avec la compression artificielle de l’interface de Olsson & Kreiss et avec la modification de Sato & Niceno. La "jupe" des différentes bulles est entourée en blanc.

On constate que la modélisation avec une compression artificielle importante présente une forme presque anguleuse de la "jupe" de la bulle, tandis que pour les cas sans compression et avec la modification de Sato & Niceno, on observe une part de fragmentation à cet endroit. Il nous paraît alors plus judicieux de parler de sous-résolution de l’interface, et d’adapter le modèle complet de localisation de l’interface plutôt que la seule étape de compression artificielle. C’est ce que nous allons maintenant aborder.