Modélisation mécanique classique du récupérateur

Cette première modélisation a pour objectif de connaître les excitations mécaniques nécessaires pour exciter le Terfenol-D dans sa plage d'opération linéaire, et de calculer l'amplitude de la force que doit transmettre le pot vibrant. Cette modélisation intègre les composantes suivantes :

- la masse suspendue M ;

- la masse équivalente du boitier Meq qui est égale à Mcmivercie + -Mbomer [30] ;

- la masse de la base MbaSe qui est égale à la masse du piston du pot vibrant MpiSton

additionnée à celle du fond du boitier M fond ; - la raideur kr d'un barreau de Terfenol-D ;

- le coefficient d'amortissement CT d'un barreau de Terfenol-D ; - la raideur k0 du boitier ;

- le coefficient d'amortissement Q, du boitier.

La figure 3.6 montre (a) le schéma du générateur, (b) son modèle discret sous forme de masses, raideurs et amortissements et (c) les diagrammes des corps libres correspon-

dants. Terfenol-D •Cb'kb XA Meq Couvercle k^x-w) kjCx-y)! Tcj(x-y) M

lt

c^x-w) cb kj^y-w)! Ic^y-w) - kT(y-w)T c^y-w) Piston F o n t l Af . _. du boitier piston M fond (a) ^(x-w) w Mbase (b) (c)

FIGURE 3.6 - (a) Schéma du récupérateur, (b) modèle discret et (c) diagramme des

corps libres

En appliquant la seconde loi de Newton à chaque masse on obtient les équations suivantes : My = kT( x - y ) + cT (x - y) - kT (y - w) + cT (y - w) Meqx = - kT (x - y) - cT (x - y) - kb (x - w) - cb (x - w) MbaaeW = F + cb (x - w) + kb (x - w) + kT (t/ - w) + cT (y - w) (3.5) (3.6) (3.7) où x représente le déplacement du boitier, y le déplacement de la masse suspendue et w le déplacement de la base. Le coefficient d'amortissement cb du boitier est écrit à

la manière d'un amortissement structural, soit :

Cb kbn

où 77 est le taux d'amortissement structural qui est typiquement de 0.013 pour l'acier [29], u représente la pulsation et kb la raideur du boitier présentée au tableau 3.1

et calculée à la section A.l de l'annexe A.

Pour le Terfenol­D, Kellogg [14] affirme que le taux d'amortissement £r est de 0.04 pour une précontrainte de ­25.3 M P a et une excitation magnétique de 16.1 kA ■ m­ 1.

Cette valeur de taux d'amortissement est la seule valeur disponible dans la littérature pour une configuration s'approchant du cas étudié ici. Par conséquent, même si le niveau de précontrainte de notre système est différent (pour rappel : ­14 M P a ) nous utiliserons tout de même cette valeur. Le coefficient d'amortissement CT du Terfenol­D est donc défini par :

cT = 2iT\ZkTM (3.9)

où £r est le taux d'amortissement du Terfenol­D, M la masse suspendue et kr la raideur du barreau magnétostrictif calculée à l'équation 3.1.

Afin de trouver la réponse en fréquence du système, on impose une excitation harmo­ nique complexe à la base, soit F ( u ) . En supposant des réponses harmoniques complexes, les équations 3.5, 3.6 et 3.7 deviennent :

(2kT ­ Mu2 + 2icTu) Y = (kT + icTu) X + (kT + icTu) W (3.10)

[kT + kb­ Me qu2 + i(cT + q,) u] X = (kT + icTu) Y + (kb + icbu) W (3.11)

[kT + kb­ MteseUJ2 + i(cT + cb) u ] W = (kT + icTuj) Y + (kb + icbu) X + F (3.12)

où X , Y et W sont des amplitudes complexes contenant les informations d'ampli­ tudes et de phases.

Comme expliqué à la section 3.2 de ce chapitre, on souhaite que le boitier ait une déformation minime à la fréquence de résonance du système interne, soit 1108 Hz. Pour cette fréquence, on désire alors que le déplacement X du boitier soit le même que le déplacement W de la base, ceci afin d'avoir une déformation du boitier proche de 0. On définit alors le rapport Ç comme suit :

Q = § (3.13) La figure 3.7 présente le rapport d'amplitude et la phase de la réponse fréquentielle

complexe Ç entre le déplacement X du boitier et le déplacement W de la base. On y distingue deux pics de rapport d'amplitude, le premier à une fréquence de 1108 Hz et le second à 5640 Hz. Le rapport d'amplitude du premier pic est de 1.16 m­m~l. Ce rapport

est proche de 1, le déplacement X du boitier est ainsi presque égal au déplacement W de la base, l'influence du boitier est par conséquent faible pour la fréquence de résonance de 1108 Hz.

On désire aussi connaître l'évolution de la réponse fréquentielle du déplacement Y de la masse suspendue par rapport au déplacement W de la base afin d'obtenir le facteur d'amplification entre ces deux déplacements dû à la résonance à 1108 Hz. On définit le rapport % entre le déplacement de la masse suspendue et celui de la base :

H = £ (3.14) La figure 3.8 illustre l'évolution du rapport d'amplitude et de la phase de la réponse

complexe % entre le déplacement de la masse Y et celui de la base W en fonction de la fréquence. On y distingue aussi les deux fréquences de résonance présentes à la figure 3.7. Le rapport d'amplitude le plus élevée se produit à une fréquence de 1108 Hz, soit la fréquence de résonance prévue en début de chapitre. À cette fréquence, l'amplitude du déplacement de la masse suspendue est environ neuf fois celle imprimée à la base du boitier par le pot vibrant.

2 3 5, x 10 1, x 10 Fréquence (Hz) 5, x IO3 1, x IO4

"S-l

•2-

>•""

5, x 10 1, x 10 5, x IO3 1, x IO4 Fréquence (Hz)

FIGURE 3.7 - Rapport d'amplitude et phase de la réponse fréquentielle complexe G X

0,001 -i T r 5, x 10 1, x 10 Fréquence (Hz) 5, x 10 3 1, x IO4 5, x IO2 1, x IO3 3 4 5, x 10 1, x 10 Fréquence (Hz)

F I G U R E 3.8 - Rapport d'amplitude et phase de la réponse fréquentielle complexe H. Y_

On souhaite aussi connaître les réponses des elongations des barreaux magnétostric- tifs, soit Y — X et Y — W, en fonction du déplacement W de la base afin de rendre compte de l'évolution fréquentielle du comportement des barreaux de Terfenol-D. On définit alors les deux réponses fréquentielles suivantes :

z = Y-w- (3 1 5)

- Y - W

J = ^ r - (3-16) La figure 3.9 illustre le rapport d'amplitude et la phase de la réponse fréquentielle

complexe I entre l'élongation Y — X du barreau magnétostrictif supérieur et le dépla- cement W de la base.

La figure 3.10 illustre le rapport d'amplitude et la phase de la réponse fréquen- tielle complexe J entre l'élongation Y — W du barreau magnétostrictif inférieur et le déplacement W de la base.

Grâce aux courbes des rapports d'amplitudes des figures 3.9 et 3.10, on peut remar- quer que les rapports entre les elongations des barreaux magnétostrictifs et le déplace- ment de la base sont les mêmes à 1108 Hz, soit 9.1 m • m- 1. Le fait que les elongations

soient les mêmes montre que le comportement des deux barreaux est symétrique. On remarque que l'élongation maximale Y — X du barreau magnétostrictif supé- rieur a lieu lorsque le générateur est excité à la seconde fréquence de résonance, soit 5640 Hz. On peut expliquer cela par le fait que le déplacement X est maximum à la seconde fréquence de résonance (voir figure 3.7). Ainsi, il apparait normal que l'élonga- tion du barreau magnétostrictif supérieur soit directement influencée par ce maximum d'amplitude, ce qui n'est pas le cas du barreau magnétostrictif inférieur qui n'est pas directement lié au déplacement X du boitier.

501 u "O 5 3 o cx C M 0,5 0,1

Jl

A

_{/ \} y T I I 1 1 5, x 102 1, x IO3 5, x 103 1, x IO4 Fréquence (Hz) 3 - 2 - ^ i - ft g, »

L

CL, — 1 - - i . ' - 3 - i ■ i 5, x 102 1, x IO3 Fréquence (Hz) 5, x 103 1, x 104

FIGURE 3.9 ­ R a p p o r t d'amplitude et phase de la réponse fréquentielle complexe J Y ­ X

5, x IO2 1, x IO3 Fréquence (Hz) 3 4 5, x 10 1, x 10 5, x IO2 1, x IO3 Fréquence (Hz) 5, x IO 3 1, x IO4

FIGURE 3.10 - Rapport d'amplitude et phase de la réponse fréquentielle complexe

r

_y____

La zone comportementale décrite au chapitre 2 (voir tableau 2.2) prévoit une elon- gation de 8 pm pour chaque barreau de Terfenol-D, on a alors Y — X = 8 • IO- 6 m

( = Y — W par symétrie des elongations à 1108 Hz, voir figures 3.9 et 3.10). On résout alors le système composé des équations 3.10, 3.11 et 3.12 en y ajoutant cette équation et pour la fréquence de résonance de 1108 Hz.

On accède alors aux amplitudes des déplacements, vitesses et accélérations de chaque masse ainsi qu'à la force F que doit développer le pot pour atteindre l'élongation pré- vue pour la résonance du système à 1108 Hz. Les différentes valeurs numériques des excitations sont résumées dans le tableau 3.3. Ainsi, une elongation des barreaux de Terfenol-D de 8 pm à 1108 Hz aboutit en une vitesse de 56.7 mm • s- 1 de la masse

suspendue et 6.2 mm • s- 1 pour la base du boitier. La force que doit développer le pot

vibrant pour exciter le générateur dans cette configuration est de 338 N. TABLE 3.3 Valeurs numériques des excitations calculées à 1108 Hz

Excitation Symbole Valeur numérique

Elongation du Terfenol Z 8 pm Déplacement du boitier X 0.95 pm Déplacement de la masse Y 8.15 pm Déplacement de la base W 0.89 pm Vitesse du boitier X 6.6 mm • s- 1 Vitesse de la masse Y 56.7 mm • s- 1 Vitesse de la base W 6.2 mm • s '1

Force du pot vibrant F 338 A

L'approche de Newton a permis de vérifier que l'influence du boitier est faible à la fréquence de résonance du système interne, soit 1108 Hz. Le calcul d'épaisseur de la paroi du boitier réalisé à la section A.l de l'annexe A est par conséquent validé. La modélisation classique a aussi montré que les elongations des deux barreaux de Terfenol- D sont les-mêmes que celles prévues par la zone comportementale étudiée à la section 2.3 du chapitre précédent, soit 8 pe. Enfin, l'approche de Newton a permis de calculer la force que doit développer le pot vibrant pour atteindre ces niveaux d'excitations lors de l'étude expérimentale, cette force est de 338 N. Le pot vibrant du laboratoire fournit une force maximale de 450 N, il pourra ainsi exciter suffisamment le récupérateur d'énergie.

Dans le document Récupération d'énergie et magnétostriction : contexte vibratoire (Page 55-64)