Modélisation discrète d’un milieu continu

3.3.2.1 Domaine élastique

Les poutres 3D cohésives sont utilisées afin de traduire un comportement continu élastique du matériau : module d’Young EM, module de cisaillement GMet coefficient de

PoissonνMmacroscopiques sont pris en compte. Une étape de calibration nous permet

d’obtenir les paramètres microscopiques du modèle. D’après les équations (3.5), (3.6), (3.7) et (3.8), le nombre de paramètre des poutres 3D peut se réduire à 3 : le module de Young microscopique E_µ, le rayon adimensionné r_µ (défini par 3.9) et le coefficient de Poisson microscopiqueν_µ. r_µ= rpout r e (r1+ r2)/2 (3.9) avec : — r_µle rayon adimensionné — rpout r ele rayon de la poutre

— r1et r2le rayon des deux éléments discrets reliés par la poutre

ANDRÉ [2012] a montré l’influence de chaque paramètre sur le comportement macroscopique. Le coefficient de Poisson microscopiqueν_µ a une influence négligeable (les modes de déformation sollicitant le module de cisaillement : la torsion et le cisaillement sont négligeables devant les déformations de traction, compression et flexion). Sa valeur est fixée à 0,3. Le module de Young macroscopique EM est relié

au module de Young microscopique E_µ et au rayon adimensionné r_µ, figure 3.12a et

3.13a. Le coefficient de Poisson macroscopique νM est relié principalement au rayon

adimensionné, figure3.12bet3.13b.

(a) Évolution de EMen fonction de Eµ (b) Évolution deνMen fonction de Eµ

FIGURE 3.12 – Influence du module de Young macroscopique E_µ sur les paramètres macroscopiques EMetµMANDRÉ[2012]

La procédure de calibration consiste à effectuer des essais de sollicitations mécaniques simples (traction ou compression) sur un grand nombre d’éprouvettes numériques pour trouver les paramètres microscopiques. Elle se résume en trois étapes : 1. Étudier la convergence du modèle : la géométrie d’éprouvette choisie, plusieurs raffinements sont effectués (nombre total d’éléments) afin de s’assurer de la précision du modèle.

2. À partir de sollicitations simples, trouver le rayon adimensionné r_µqui nous donne le coefficient de Poisson macroscopique νM recherché. Le rayon adimensionné

est calculé à partir de la mesure de la section moyenne de l’éprouvette lors de la traction.

3. Trouver le module de Young microscopique E_µ pour obtenir le module de Young macroscopique EMdu matériau considéré.

(a) Évolution de EMen fonction de rµ (b) Évolution deνMen fonction de rµ

FIGURE 3.13 – Influence du rayon adimensionné microscopique r_µ sur les paramètres macroscopiques EMetµMANDRÉ[2012]

3.3.2.2 Critères de rupture

La rupture au sein d’un modèle par éléments discrets est prise en compte en cassant les liens entre chaque élément suivant un critère. Les éléments ne sont plus liés et sont libres de s’écarter, créant ainsi la fissure. Il est alors possible de refermer naturellement la fissure en activant les contacts comme on peut le voir sur la figure3.14.

FIGURE3.14 – Principe de renfermement d’une fissure en éléments discretsANDRÉ[2012]

Les critères de rupture peuvent être appliqués sur une déformation seuilCARMONA

et collab.[2008] ou une contrainte seuilPOTYONDY et CUNDALL [2004]. Dans le cas des poutres, il est nécessaire de prendre en compte les différentes sollicitations. Le modèle de rupture basé sur la contrainte de RankineσRfait intervenir la contrainte normaleσmaxet

la contrainte de cisaillement maximaleτmax:

σR= 1 2(σmax+ q σ2 max+ 4τ2max) (3.10)

Ce critère donne des résultats satisfaisants dans le cas d’essais de traction ou de torsion mais ne parvient pas à modéliser correctement la rupture de matériaux fragiles

en compression. Comme on peut le voir sur la figure3.17a,JEBAHI[2013] montre que les

chemins de fissuration ne correspondent pas à ceux observés expérimentalement. C’est dans ce cadre qu’un critère de rupture basé sur un tenseur des contraintes équivalentes de Cauchy (ou tenseur viriel) a été développé. La contrainte n’est plus calculée sur les poutres mais sur les éléments par l’équation suivante :

¯ σi= 1 2Ωi (1 2 X j ri j⊗ fi j+ fi j⊗ ri j) (3.11) où :

— ⊗ est le produit tensoriel de deux vecteurs.

— ¯σi est la contrainte équivalente de Cauchy de l’élément i .

— Ωi est le volume d’influence de l’élément i (il prend en compte le taux de

compaction du domaine).

— fi j est la force exercée sur l’élément i par la poutre reliant cet élément i avec un

deuxième élément j .

— ri jest le vecteur position relatif aux centres des deux éléments i et j dans le repère

global .

Le tenseur des contraintes peut être diagonalisé afin de déterminer les 3 contraintes principales : [σ] =   σ11 σ12 σ13 σ21 σ22 σ23 σ31 σ32 σ33   BG =   σI 0 0 0 σII 0 0 0 σIII   BG (3.12)

Deux critères de rupture, basés sur le tenseur des contraintes de Cauchy peuvent être définis : le critère en contrainte hydrostatique (3.13) et le critère de contrainte principale (3.14). Les critères imposent une rupture locale en traction, les seuils de rupture sont donc positifs :

σhydrostatic=

1

3trace([σ]) (3.13)

σprincipal stress= max(|σI,σII,σIII|) (3.14)

FIGURE 3.15 – Modélisation de la rupture à l’aide du tenseur viriel : les éléments en rouge ont atteint leur limite en contrainte, leurs poutres sont désactivées

Lorsque la contrainte atteint la valeur seuil sur l’élément considéré, il rompt. Toutes les poutres liées à cet élément sont désactivées et ne transmettent plus d’effort comme on

peut le voir sur le schéma3.16. L’élément rompu est maintenu dans la simulation, il n’y donc pas de perte de masse et d’énergie cinétique. Il peut entrer en contact avec le reste des éléments, il devient un fragment issu de la rupture. L’énergie élastique contenue dans les poutres désactivées n’est pas restituée sous forme d’énergie cinétique ou d’effort sur les autres éléments, elle constitue une énergie de rupture, irréversible.

Les résultats obtenus sont en accord avec les données expérimentales, comme le montreJEBAHI[2013] sur la figure3.17bpour la silice. Le faciès de rupture, ici un cône

de rupture orienté à 45° par rapport à la surface où a lieu l’indentation, est correctement prédit par le critère hydrostatique issu du tenseur viriel.

Toutefois, la valeur du critère ne correspond pas forcément à la valeur mesurée expérimentalement et une étape de calibration reste nécessaire.

(a) Critère de contrainte sur les poutres

(b) Critère de contrainte hydrostatique

FIGURE 3.16 – Illustration d’un essai d’indentation de silice suivant deux modèles de rupture

JEBAHI[2013]