5.2.1 Exemple d’application : colonne de sphères creuses . . . 120 5.2.2 Limites . . . 122 5.3 Vers un modèle macroscopique. . . 123
5.3.1 Méthodologie . . . 123 5.3.2 Sollicitations dans un assemblage de sphères creuses . . . 124 5.3.3 Essais numériques et expérimentaux . . . 129 5.4 Conclusion . . . 133
5.1 Introduction
Les sphères creuses ATECA étudiées dans ces travaux de recherche peuvent être utilisées en grand nombre dans le cas du bouclier de choc à l’oiseau. Le modèle numérique DEM associé aux essais expérimentaux sur une sphère creuse permet d’étudier l’influence de la vitesse de sollicitation (d’un régime quasi-statique à dynamique à 175 m.s−1) et des paramètres géométriques (épaisseur des sphères creuses). Ce modèle ne prend cependant pas en compte l’arrangement entre les sphères dans un amas, le frottement entre les sphères, les contacts multiples ou le rôle des débris (fragments de sphères) dans la reprise des efforts.
Le développement d’un modèle appelé macroscopique, prenant en compte plusieurs sphères creuses doit être envisagé. Deux possibilités sont offertes et dépendent du nombre de sphères creuses que l’on souhaite modéliser. Dans le cas d’un nombre réduit de sphères creuses, un modèle micro-macro suffit, voir partie5.2. Il consiste simplement à introduire plusieurs sphères creuses DEM développées précédemment, dans un même calcul. Lorsque le nombre de sphères creuses est trop important, plusieurs centaines ou milliers, l’implantation d’un nouveau modèle, macroscopique, devient obligatoire. L’idée est ici de représenter chaque sphère creuse par un seul élément discret (voir partie5.3).
5.2 Modèle micro-macro
5.2.1 Exemple d’application : colonne de sphères creuses
Dans le cas du modèle micro-macro, il est possible de s’intéresser à un arrangement de sphères creuses en colonne. Ceci pourrait être comparable à la configuration de type sphères creuses intégrées dans un nid d’abeilles. Les sphères creuses ont pour rôle d’augmenter l’énergie absorbée de la structure initiale. Ce type de solution a déjà été étudiée dans le cas de tubes (AHMADet THAMBIRATNAM[2009];HARTE et collab.[2000];
KAVI et collab.[2006]) ou de nida (WANGet collab.[1994]) remplis de mousse. Le cas de
sphères métalliques intégrées dans un tube métallique et soumises à une compression quasi-statique a été récemment traité par LUO et collab. [2015]. Les sphères creuses présentent l’intérêt de pouvoir être facilement insérées dans une structure creuse.
Des essais expérimentaux ont été effectués sur ce type de structure et ont été présentés dans le deuxième chapitre. Cette possibilité est présentée sur la figure 5.1, la cellule est modélisée par une paroi cylindrique rigide (non visible sur la figure).
(a) Avant compression (b) Après compression
(jusqu’à densification)
FIGURE5.1 – Modélisation micro-macro de la compression de 7 sphères creuses (rt = 0, 3) dans une cellule cylindrique
Les premiers calculs sont réalisés sur des sphères creuses de 40 mm de diamètre extérieur et d’épaisseur 5,2 mm (soit un rapport rt d’environ 0,3). Cette géométrie permet
faibles temps de calculs. La cellule a un diamètre de 44 mm (lors de la fabrication de ce type de structure, le diamètre des cellules est légèrement supérieure au diamètre des sphères afin de faciliter leur incorporation). Les essais numériques sont réalisés à une vitesse faible afin de limiter les effets dynamiques. Pour ces premiers résultats, un modèle de rupture non dépendant de la vitesse de sollicitation est utilisé.
(a) Courbe force - déformation longitudinale
(b) Énergie dissipée moyenne par sphère
FIGURE5.2 – Étude de l’influence du nombre de sphères creuses (rt= 0, 3) lors de la compression dans une cellule cylindrique
Cette modélisation n’a pour l’instant pas été validée expérimentalement mais semble cohérente. En effet, le modèle présente peu de nouveautés et il est possible de s’appuyer sur les résultats précédemment validés sur une sphère creuse. Lors des essais réalisés sur un coupon de bouclier de nid d’abeilles remplis de sphères creuses, on compte une dizaine de sphères dans l’épaisseur. On observe sur la figure 5.2, l’influence du nombre de sphères sur la force de compression et sur l’énergie dissipée. Plusieurs essais sont réalisés avec le même nombre de sphère mais avec un arrangement des éléments au sein de chaque sphère différent afin de mesurer une dispersion des résultats. La courbe5.2adéfinie la force en fonction de la ”déformation longitudinale”. Le cas d’une seule sphère se démarque des autres résultats par une force en compression lors de la phase de plateau et de densification plus importante. Il ne semble pas y avoir de grandes différences lorsque le calcul est effectué avec un nombre de sphères variant de 2 à 10. L’énergie dissipée par sphère (élastique, rupture, frottement, cinétique) à 50 % de déformation, jusqu’à densification est plus élevée pour un faible nombre de sphères (1, 2 et 3) mais semble se stabiliser entre 4 et 10 sphères (figure5.2b). La rupture des sphères creuses dans la cellule est progressive : les sphères se fissurent en deux (similaire à ce qui est observé en compression uni-axiale sur une sphère creuse) les unes à la suite des autres. Les sphères creuses s’indentent (figure5.3b) puis on observe une multi fissuration des principaux fragments avant la densification. L’indentation progressive des sphères (nombre de sphères > 4) demande une force moins importante que la rupture des parois d’une ou de deux sphères en compression uni-axiale confinée.
Il est donc possible de montrer que 4 à 5 sphères suffisent pour reproduire le comportement mécanique d’écrasement d’une multitude de sphères creuses dans une cellule. On propose de valider cette affirmation sur des sphères creuses de type B. Les sphères de diamètre extérieur 31,7 mm et d’épaisseur 1,2 mm (rt= 0, 08) sont incorporées
dans une cellule cylindrique de 36 mm de diamètre, figure5.3. La figure5.4présente les résultats des courbes force - déformation et l’énergie dissipée par sphères des différents
(a) Avant compression (b) À 18 mm de compression (30 % de déformation longitudinale)
FIGURE5.3 – Modélisation micro-macro de la compression de 2 sphères creuses de type B (rt = 0, 08) dans une cellule cylindrique
arrangements. Ces résultats confirment ce qui a été trouvé précédemment, à partir de 4 sphères creuses dans l’assemblage, le comportement mécanique et l’énergie dissipée par sphère semble converger.
(a) Courbe force - déformation longitudinale
(b) Énergie dissipée moyenne par sphère
FIGURE5.4 – Étude de l’influence du nombre de sphères creuses de type B (rt = 0, 08) lors de la compression dans une cellule cylindrique
5.2.2 Limites
Des travaux numériques DEM ont été menés en suivant la même méthodologie sur des matériaux granulaires (cailloux, grains de sable). 400 CHENG et collab. [2003];
ROBERTSON et BOLTON [2001] à 1000 WANG et YAN[2011] grains composés eux mêmes
d’une cinquantaine d’éléments discrets ont été intégrés. Si 50 éléments suffisent à modéliser un grain de sable (massif et de forme irrégulière), il n’en n’est pas de même pour les sphères creuses. Avec un nombre d’éléments discrets variant de 10 000 à 80 000, les ressources informatiques disponibles ne sont pas suffisantes pour réaliser des calculs contenant plus d’une dizaine de sphères creuses. Il n’est donc pas possible d’atteindre un nombre suffisant de sphères permettant de représenter un volume élémentaire d’un arrangement aléatoire compact (une centaine de sphères au moins). De plus, si l’on souhaite par exemple modéliser un bouclier composé uniquement de sphères creuses,
le nombre total de sphères creuses est bien plus important. Pour un bouclier de 1 m de côtés et 0,1 m d’épaisseur (ordre de grandeur du bouclier actuel), un remplissage compact (63 %) conduit à un nombre de sphères creuses d’environ 4400, 120 000 et 960 000 respectivement pour des sphères creuses de 30, 10 et 5 mm de diamètre. L’objectif de la partie suivante est de proposer une méthodologie conduisant à la modélisation d’un grand nombre de sphères creuses.