Dans les parties précédentes, nous avons discuté de la modélisation de la structure et de son fonctionnement mécanique. Il nous reste à définir le choix des modèles constitutifs pour les matériaux concernant nos applications à l’étude de la vulnérabilité sismique des structures en béton armé, explicités dans cette partie.
1.4.1 Choix d’un modèle constitutif pour le béton
Le comportement non linéaire du matériau béton est couramment décrit par des modèles basés sur la mécanique de l’endommagement et la plasticité ou sur la mécanique de la rupture. Un modèle basé sur la théorie de l’endommagement est choisi pour ces travaux, pour représenter le comportement non linéaire du béton à travers la dégradation du module d’Young. Les défor-mations de cisaillement doivent être prises en compte dans le calcul de l’endommagement, pour bénéficier de l’enrichissement en gauchissement. Le modèle représentant le matériau béton doit donc permettre de calculer la contrainte normale et les contraintes de cisaillement à partir des déformations duales, en tenant compte de l’endommagement du matériau. On choisit de plus un modèle isotrope pour la simplicité, la rapidité et la robustesse du calcul.
Modèle de Mazars
Le modèle de Mazars [1986] est un modèle de comportement 3D endommageable isotrope. La loi de comportement est donnée par l’équation 1.44, où D est la variable d’endommagement, et
1.4. Modélisation des matériaux pour des applications béton armé
Λ0 est la raideur initiale, correspondant à un état de matériau non endommagé. Basé sur un critère d’endommagement en déformations, le modèle de Mazars est bien adapté à la formulation des éléments multifibres en déplacements. L’évolution de l’endommagement est en effet pilotée par une déformation équivalente, définie par les parties positives des déformations principales. Dans une formulation en déplacements, le modèle matériau s’écrit donc explicitement, ce qui facilite la résolution.
σ = (1 − D) Λ0 : (1.44)
Le modèle de Mazars est un modèle robuste qui donne de très bons résultats, et est donc très utilisé pour des applications où le chargement est monotone. Mais il ne fonctionne pas sous chargement cyclique alterné car il ne tient pas compte de l’effet de refermeture des fissures sous inversion de la sollicitation.
Mu modèle
Le Mu modèle [Mazars et al., 2014] est basé sur le modèle de Mazars [1986], avec prise en compte des effets unilatéraux. La loi constitutive du Mu modèle est donnée par l’équation 1.45, où Λ0est toujours la raideur matérielle initiale, correspondant à un état de matériau non endom-magé. Dµ n’est plus ici la variable interne, mais représente la part activée de l’endommagement. Cette variable scalaire prend une valeur comprise entre 0 et 1 en fonction de l’état d’endomma-gement sur le chemin de chard’endomma-gement.
σ = (1 − Dµ) Λ0 : (1.45)
Pour décrire le comportement unilatéral du béton, les modes d’endommagement correspon-dant à un état de traction et de compression sont distingués. Deux déformations équivalentes sont définies (équation 1.46), pour décrire l’état de déformation local. εµt est la déformation équivalente d’extension et εµc la déformation équivalente de contraction. Dans l’équation 1.46, Iε et Jεreprésentent respectivement le premier et le deuxième invariant du tenseur des déforma-tions, et ν est le coefficient de Poisson. Deux seuils d’endommagement εµt0 et εµc0 sont définis en fonction des déformations équivalentes. Deux variables internes Yµt et Yµcleur sont associées, données par l’équation 1.47. L’équation 1.48. définit les surfaces de charge correspondantes.
εµt = Iε 2 (1 − 2ν)+ √ Jε 2 (1 + ν) ; εµc = Iε 5 (1 − 2ν)+ 6√Jε 5 (1 + ν) (1.46) Yµt = maxεµt0, max t (εµt) ; Yµc= maxεµc0, max t (εµc) (1.47) fµt= εµt− Yµt ≤ 0 ; fµc= εµc− Yµc ≤ 0 (1.48) L’endommagement est donc associé à ces deux surfaces de charge, combinées à travers la va-riable Yµ (équation 1.50). La variable d’endommagement n’est plus monotone, ce qui est assez commode pour suivre l’évolution des zones endommagées ou non au sein de la structure (Mazars et al.[2014] et [Mazars et Grange, 2015]). La nouvelle variable thermodynamique est Yµ. L’évolu-tion de l’endommagement est décrite par l’équaL’évolu-tion 1.49. Les paramètres A et B y gouvernent la forme de la courbe de comportement après initiation de l’endommagement. Yµ, A et B dépendent du scénario de chargement à travers le facteur de triaxialité r, fonction des contraintes effectives principales. r varie entre 0 et 1, prenant la valeur 0 en compression pure et 1 en traction pure. At et Bt (respectivement Ac et Bc) peuvent être identifiés par des essais de traction uniaxiale (respectivement de compression uniaxiale).
État de l’art de la modélisation numérique des structures par éléments finis multifibres Dµ= 1 −(1 − A) Yµ0 Yµ − A exp −B Yµ− Yµ0 (1.49) Yµ= rYµt+ (1 − r) Yµc (1.50) A = fA(r,At,Ac) ; B = fB(r,Bt,Bc) (1.51) La figure 1.5(a) décrit le comportement uniaxial du Mu modèle en traction-compression. On observe la reprise de rigidité au changement de sens de sollicitation du matériau. La réponse du matériau observée sur la figure 1.5(b)), extraite de [Mazars et al., 2014] donne de plus de meilleurs résultats en cisaillement et en bi-compression que le modèle de Mazars original. Le Mu modèle est donc un choix de modèle pertinent pour représenter le comportement du béton sous sollicitation monotone comme cyclique, ce qui nous sera nécessaire lors de la modélisation de la réponse sismique de structures en béton armé.
-8 -6 -4 -2 0 2 ǫ xx ×10-3 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 σ xx ×107 0 A B E C D F G (a) −1.5 −1 −0.5 0 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 2/fc 1 /fc Exp. data Failure surf. Init. damage (b)
Figure 1.5 – 1.5(a) : Chargement en traction-compression pour le Mu modèle. Le chemin de chargement représenté suit le schéma suivant O-A-B : chargement en traction, B-O : décharge, O-C-D : chargement en compression, D-O : décharge, O-E : re-chargement en traction puis E-O décharge, et enfin O-F-G re-chargement en compression. 1.5(b) : Surface seuil d’endommagement initiale et surface de charge du Mu modèle dans le plan σ3 = 0, figure extraite de Mazars et al. [2014].
Malgré ses atouts, on note quelques limites au modèle, à considérer lors de l’interprétation des résultats de nos études. Le Mu modèle ne permet pas de modéliser de déformations anélas-tiques du matériau, comme on peut l’observer sur la figure 1.5(a). Lors d’un calcul sismique de structure, ces déformations proviennent toutefois essentiellement de la plasticité des armatures. Des études complémentaires ont de plus montré que l’effet unilatéral n’était pas pris en compte lors de sollicitations cycliques de cisaillement pur. Malgré cette caractéristique, qui représente un inconvénient pour nos applications, le modèle a fait ses preuves pour des applications sous sollicitations multiaxiales [Mazars et al., 2014; Mazars et Grange, 2015].
1.4.2 Choix d’un modèle constitutif pour l’acier
Le modèle de comportement pour l’acier peut être uniaxial, mais doit représenter le compor-tement cyclique du matériau. Le modèle de Menegotto et Pinto [1973] modélise l’acier comme élasto-plastique, avec écrouissage cinématique. Le modèle de Menegotto et Pinto [1973] a fait ses