Démarche de modélisation de la section de la Tour Perret

Pour l’étude numérique par modélisation multifibre menée en 2011 par Omar [2011] et Grange [2011], la section de la Tour Perret était modélisée par 8 T disjoints, c’est-à-dire non reliés par un matériau bien qu’appartenant à la même section monolithique, représentant les 8 poteaux. La section se comportait comme une section de poutre, avec des points d’intégration judicieusement placés au niveaux des T. Pour appliquer le modèle avec gauchissement, une première question se pose : celle du gauchissement d’une section discontinue. Une étude de gauchissement sur un cas-test académique d’une section carrée discontinue est donc réalisée dans un premier temps.

On teste le calcul du gauchissement sur une section carrée disjointe, et sur une section dont les deux parties rigides sont liées par un matériau à très faible rigidité (représentant de l’air). La section carrée finement maillée du chapitre 2 est prise comme référence. Dans le premier cas (section disjointe), deux portions de section composée d’un matériau de rigidité E = 30 GPa sont séparées par un vide. Dans le deuxième cas (section solidaire), deux tiers de section de rigidité E = 30 GPa sont liés par un matériau central de rigidité E = 30 × 10−11GPa. Les deux modèles de section étudiés sont représentés sur la figure 3.16. Pour calculer numériquement le gauchissement d’un domaine 2D, le gauchissement d’un point doit être bloqué. La position de ce point bloqué n’a pas d’influence sur le résultat, car ce sont les gradients de la fonction de gauchissement qui interviennent ensuite dans le modèle multifibre.

Les résultats de ce test sont représentés sur les figures 3.17 à 3.18. La figure 3.17 présente les profils de gauchissement pour les deux sections. La figure 3.18 représente les écarts de gradient de la fonction de gauchissement entre les deux modèles. Les indicateurs d’écart utilisés sont définis par la différence normalisée des quantités concernant la section discontinue par rapport à la section continue.

Applications structurelles de l’élément enrichi du gauchissement de torsion × y z • • 0.3m 0.1m 0.1m 0.1m E = 30 GPa E = 30 GPa (a) × y z • 0.3m 0.3m E = 30 GPa E = 30 × 10−11GPa E = 30 GPa (b)

Figure 3.16 – Cas-tests pour le gauchissement d’une section discontinue : 3.16(a) Modèle de section discontinue ; 3.16(b) Modèle de section continue avec rigidité très faible au centre. Les points • représentent les conditions aux limites en gauchissement bloqué.

(a) (b)

Figure 3.17 – Profils de gauchissement des sections présentées sur la figure 3.16 : 3.17(a) section discontinue, 3.17(b) section continue.

L’observation des figures 3.17 et 3.18 suggère que la présence du matériau au centre de la section, même de faible rigidité matérielle, contraint le gauchissement de la section. D’autres cas-tests ont été effectués, qui montrent qu’il n’y a pas d’influence de la rigidité du matériau central sur les écarts en gradient de la fonction de gauchissement entre la section discontinue et la section solidaire, dès lors que cette rigidité reste négligeable devant celle du matériau. Une vérification par d’autres cas-tests confirme qu’il n’y a pas non plus d’influence de la position des conditions aux limites pour la section discontinue sur le résultat. La présence ou non d’un matériau "fictif" au centre de la section, même sans aucune résistance mécanique, conditionne le gauchissement de la section.

La question se pose alors de la modélisation de la section de la Tour Perret. Doit-on représenter chaque poteau de manière disjointe (donc avec un gauchissement indépendant), ou liés par un matériau sans rigidité pour avoir un gauchissement global de la section de la tour ? Étant donnés

3.2. Analyse modale de la Tour Perret avec gauchissement en torsion

(a) (b)

Figure 3.18 – Ecarts en gradient de la fonction de gauchissement (3.18(a) : gradient selon y et 3.18(b) : gradient selon z) entre les deux modèles présentés sur la figure 3.16.

les autres éléments structuraux et non structuraux de la tour : contreventements annulaires et claustras, il parait plus pertinent de modéliser les poteaux comme liés. Les poteaux ne pourraient en effet pas être individuellement soumis à une sollicitation de torsion qui, si elle avait lieu, s’appliquerait à l’ensemble de la tour.

L’espace entre les "T" de la section est représenté dans un premier temps par un matériau de rigidité 1010 fois moindre que celle du béton des poteaux, afin de lier l’ensemble de la section pour le gauchissement. Le maillage de la section proposée est représenté sur la figure 3.19. Les plateformes sont modélisées dans les éléments 17, 19 et 22 par des sections pleines. Le premier mode obtenu par le modèle avec gauchissement était un mode de torsion, avec une fréquence de 0,34Hz. L’absence de la modélisation des contreventements donne une structure beaucoup trop souple en torsion, par rapport à ce qu’elle est en réalité.

Figure 3.19 – Premier maillage proposé pour la section de la Tour Perret

La modélisation de la section de la Tour Perret est donc changée, pour prendre en compte un contreventement de manière homogénéisée le long de la tour, représenté par un mur fin reliant les 8 "T". L’épaisseur de ce mur est fixée à 1/3 de l’épaisseur de la semelle du "T", de manière arbitraire mais réaliste. Ce mur représente entre autres les claustras, dont le rôle mécanique sur les modes propres de flexion a déjà été mis en évidence par Grange [2011]. La figure 3.20

Applications structurelles de l’élément enrichi du gauchissement de torsion

représente le nouveau maillage proposé. Les mêmes paramètres sont considérés pour le matériau de contreventement (E = 31 GPa, ν = 0,17), afin d’obtenir une première fréquence propre en flexion avec le modèle sans gauchissement de l’ordre de celle mesurée in situ. Les résultats de l’analyse modale obtenus avec ce nouveau modèle de section sont explicités ci-après.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5