Figure 4.14 – Carte d’erreur entre les déplacements de gauchissement obtenues par le calcul poutre et le calcul 3D, pour une poutre sollicitée en torsion et effort tranchant.
de Timoshenko sur lequel est basé l’enrichissement ne donne pas la solution exacte pour une poutre en flexion ; approximation qui peut expliquer l’écart sur les amplitudes du déplacement de gauchissement.
4.5 Conclusions sur la formulation couplée
Ce chapitre présente la formulation d’un élément multifibre de Timoshenko avec fonctions de formes linéaires enrichi du gauchissement de la section lié au cisaillement, provenant d’une sollicitation de torsion ou d’effort tranchant. Les degrés de liberté de gauchissement sont calculés aux nœuds de l’élément poutre, simultanément au calcul des degrés de liberté globaux.
Grâce au calcul simultané des déplacements et rotations aux nœuds de l’élément poutre et des déplacements de gauchissement de la section, la formulation permet de coupler l’apparition et l’évolution des non-linéarités matérielles avec l’évolution de la cinématique au sein de la poutre. La discrétisation de la section comporte une répartition homogène d’éléments car les zones d’en-dommagement maximal ne sont pas connues a priori. Les éléments choisis pour le développement de la formulation sont des éléments à fonctions d’interpolation linéaires, pour la simplicité de l’im-plémentation. Pour améliorer l’efficacité du calcul, une formulation avec éléments quadratiques dans la section pourrait être à considérer.
Les cas-tests présentés dans ce chapitre montrent que le modèle est capable de reproduire le gauchissement élastique d’une section, que ce soit sous l’effet d’une sollicitation de torsion, d’effort tranchant ou des deux sollicitations conjuguées. Des applications structurelles basées sur des essais expérimentaux sont présentées au chapitre suivant pour tester la formulation dans le domaine non linéaire, et évaluer l’influence de la prise en compte du gauchissement sur le comportement d’une structure.
Chapitre 5
Applications structurelles de l’élément
enrichi du gauchissement complet
Introduction
Après validation de l’élément avec gauchissement sous sollicitations couplées sur des applica-tions linéaires présentées au chapitre précédent, des applicaapplica-tions structurelles non linéaires de la formulation sont proposées dans ce chapitre. Dans un premier temps, des tests de poutres en torsion monotone sont effectués avec le nouvel élément, afin de comparer les résultats des simulations numériques avec ceux obtenus avec la première étape d’enrichissement développée au chapitre 2. Ces cas-test permettent de finaliser la validation de la formulation complète de l’élément avec gauchissement, proposée au chapitre 4, dans le domaine non linéaire. Dans un deuxième temps, la formulation est appliquée à la simulation de la structure CAMUS, testée sur la table sismique du CEA [CEA, 1998], et sollicitée principalement en flexion. Les calculs dynamiques temporels non linéaires effectués permettent d’évaluer l’effet du gauchissement sur le comportement d’une structure complète.
5.1 Chargement en torsion monotone
Cette partie présente les résultats numériques de poutres testées en torsion pure, sous char-gement monotone, avec différentes formes de section. Les cas-tests simulés ici sont identiques à ceux présentés au chapitre 3, mais le modèle multifibre avec gauchissement utilisé est à présent celui développé au chapitre 4, pour lequel le calcul du gauchissement s’effectue simultanément au calcul des déplacements aux nœuds de la poutre. L’objectif de ces calculs est de confronter les résultats obtenus par la formulation avec gauchissement de torsion et d’effort tranchant sur un calcul structurel non linéaire avec les résultats obtenus par le modèle avec gauchissement de torsion, afin de tester les performances du nouvel élément. Enfin, la dépendance au pas de chargement du comportement moment-rotation numérique est étudiée, pour vérifier l’améliora-tion apportée par la formulal’améliora-tion totalement implicite par rapport aux résultats présentés dans la partie 3.1.5.
5.1.1 Caractéristiques des cas-test
Les cas d’étude réalisés dans cette partie sont ceux présentés au chapitre 3, partie 3.1. Les prin-cipales caractéristiques des essais numériques sont succinctement rappelées ici. Quatre poutres, de longueur L = 1,30 m sont testées en torsion monotone, par l’application d’une rotation de 0,03rad en 50 pas de chargement. Ces poutres présentent respectivement les sections R, Ls, Ts, et T, maillées comme représenté figure 5.1 par des éléments triangulaires à fonctions d’interpo-lations linéaires. Le matériau béton est modélisé par le Mu modèle, dont les paramètres sont donnés dans le tableau 3.4.
Applications structurelles de l’élément enrichi du gauchissement complet 0,2 0,1 R 0,15 0,05 0,05 0,15 Ls 0,2 0,05 Ts 0,3 0,1 T
Figure 5.1 – Dimensions (en m) et maillage des sections retenues pour l’étude
Les résultats du nouveau modèle avec gauchissement sont comparés aux résultats du modèle avec gauchissement de torsion obtenus au chapitre 3. Pour cela, la distribution aléatoire du module d’Young dans les sections est enregistrée sur chaque cas-test avec l’ancienne formulation, et appliquée au modèle numérique pour le calcul avec la nouvelle formulation. Les deux modèles sont donc rigoureusement identiques, à l’exception du calcul du gauchissement effectué par les éléments multifibres.
5.1.2 Comparaison des deux formulations avec gauchissement
La figure 5.2 présente les courbes moment-rotation résultant des calculs avec gauchissement de torsion calculé d’après les deux formulations pour les quatre formes de sections testées. La courbe moment-rotation obtenue par la nouvelle formulation présente systématiquement un mo-ment de torsion légèremo-ment plus important dans la partie pré-pic, et une branche descendante correspondant à une rotation moins importante. Ces résultats sont liés à la différence entre les deux formulations de gauchissement : la formulation précédente calcule le profil de gauchissement à partir des propriétés matérielles du pas de temps convergé précédent, alors que la nouvelle for-mulation permet le calcul du gauchissement de manière implicite par l’équilibre actualisé de la section. D’autre part, la nouvelle formulation est implémentée avec 3 points d’intégration par élément dans la section, contre 1 seul point pour la formulation précédente. La figure 5.3 super-pose la courbe obtenue avec la nouvelle formulation pour la section rectangulaire avec 50 pas de chargement et les courbes moment-rotation obtenues avec l’ancienne formulation pour diffé-rents pas de chargement (présentées sur la figure 3.14). Cette figure permet d’observer la part de différence entre les deux formulations provenant du caractère explicite/implicite du calcul du gauchissement, et la différence provenant de l’intégration numérique sur la section. Les courbes de l’ancienne formulation se rapprochent de la courbe de la nouvelle formulation lorsque le pas de chargement est raffiné, mais un écart subsiste encore dû à la différence dans l’implémentation. Les profils de gauchissement élastiques obtenus pour les deux formulations au premier pas de chargement sont identiques, comme il a été montré au chapitre 4, partie 4.4.1.
5.1.3 Influence du pas de chargement
Des calculs multifibres avec l’élément enrichi du gauchissement complet sont réalisés ici avec 25, 50, 100 et 200 pas de chargement, afin d’observer la dépendance du résultat en torsion au pas de chargement. Le modèle numérique est, comme au chapitre 3, basé sur le cas-test de la poutre à section rectangulaire, maillée par 4 éléments poutre multifibre avec gauchissement, et de section maillée par 64 éléments triangulaires. Les paramètres matériau du Mu modèle sont conservés, et une distribution aléatoire du module d’Young identique est appliquée pour chaque calcul. La figure 5.4 présente les résultats des simulations pour les différents pas de chargement. Les courbes de la figure 5.4 confirment qu’il n’y a pas de dépendance du comportement structu-rel avec gauchissement au pas de chargement ajoutée par l’utilisation des propriétés actualisées du matériau pour le calcul des déformations de gauchissement sur la section, grâce à la for-mulation complètement implicite du calcul du gauchissement. La seule dépendance au pas de
5.1. Chargement en torsion monotone 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 θ x/L [rad/m] 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Mx [Nm] nouvelle formulation ancienne formulation (a) 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 θ x/L [rad/m] 0 500 1000 1500 2000 2500 Mx [Nm] nouvelle formulation ancienne formulation (b) 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 θ x/L [rad/m] 0 500 1000 1500 2000 2500 Mx [Nm] nouvelle formulation ancienne formulation (c) 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 θ x/L [rad/m] 0 500 1000 1500 2000 2500 Mx [Nm] nouvelle formulation ancienne formulation (d)
Figure 5.2 – Comparaison des courbes moment-rotation obtenues 5.2(a) section R ; 5.2(b) sec-tion Ls ; 5.2(c) secsec-tion Ts ; 5.2(d) secsec-tion T.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 θ/L [rad/m] 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 M [Nm]
ancienne formulation; 25 pas ancienne formulation; 50 pas ancienne formulation; 100 pas ancienne formulation; 200 pas nouvelle formulation; 50 pas
Figure 5.3 – Comparaison des courbes moment-rotation pour la section rectangulaire issues de la formulation du gauchissement de torsion (chapitre 2) pour des pas de chargement de plus en plus fins, avec la solution obtenue par la formulation complète implicite du gauchissement (pour 50 pas de chargement).
Applications structurelles de l’élément enrichi du gauchissement complet 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 θ/L [rad/m] 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 M [Nm] 25 pas 50 pas 100 pas 200 pas
Figure 5.4 – Étude de l’influence du pas de chargement sur la réponse structurelle en torsion, pour la formulation implicite du gauchissement.
chargement observée est liée à la discrétisation temporelle de la réponse non linéaire de la poutre qui s’endommage.
5.1.4 Évaluation du temps de calcul
La nouvelle formulation, pour laquelle les degrés de liberté de gauchissement sont calculés à chaque itération de manière implicite, est plus gourmande en calculs que la première formulation, pour laquelle le profil de gauchissement était calculé à chaque pas. Pour évaluer la demande supplémentaire en temps de calcul de la formulation implicite, les temps de calcul nécessaires à l’obtention du comportement de la poutre rectangulaire en torsion pour les deux formulations et avec différents pas de chargement sont présentés dans le tableau 5.11.
Ancienne formulation Ancienne formulation Nouvelle formulation Nouvelle formulation
50 pas 200 pas 50 pas 25 pas
347s 957s 1323s 783s
Table 5.1 – Comparaison des temps de calcul nécessaires pour l’obtention de la solution de la poutre en torsion, pour la première formulation du gauchissement et la nouvelle formulation, et pour différents pas de chargement.
Pour obtenir des résultats moment-rotation comparables, d’après la figure 5.3, il est nécessaire de discrétiser la rotation appliquée en 200 pas de chargement avec la première formulation. La nouvelle formulation requiert alors 38% de temps de calcul en plus pour 50 pas de chargement, mais 18% de temps de calcul en moins si l’on opte pour une solution à 25 pas de chargement, qui permet d’obtenir une courbe de comportement pré-pic acceptable. Le temps de calcul supplé-mentaire nécessaire au calcul implicite du gauchissement est donc compensé par la possibilité de choisir un pas de chargement plus large pour la même précision dans la réponse de la structure. 1. NB : Les calculs avec différents pas de chargement, dont les temps sont présentés ici ont été effectués sur une machine différente de celle des calculs du tableau 3.7, ce qui explique que les temps ne soient pas comparables avec ceux du chapitre 3. Le temps de calcul pour la première formulation, avec 50 pas de chargement est donc donné dans le tableau 5.1 pour référence.