Modélisation d'un détecteur pixelisé

Nous nous intéressons maintenant à la détection en nombre de charges par pixels. Il faut alors prendre en compte les eets de la pixélisation, de la collection de charges secondaires et du bruit de lecture.

3.4.1 Pixelisation

Pour un détecteur pixelisé, l'information n'est plus la position des photo-électrons in-cidents mais la charge accumulée dans chaque pixel. Chaque pixel est supposé identique et carré de côté L. La taille de la matrice carrée contenant K pixels étudiée dépend de L. K est sélectionné an que la PSF du détecteur soit complètement échantillonnée spatialement par la matrice.

La diaphonie entre les pixels est négligée an de supposer les pixels indépendants. L'information de Fisher totale est la somme de l'information de tous les pixels :

I = K X k=1 I_k (3.18)

3.4.2 Collection de charges

Les pixels accumulent les charges secondaires générées par les photons. La position du photon sur le détecteur suit la même distribution que l'Eq. 3.13. L'ecacité de collection de charge η_C a la même inuence que l'ecacité quantique sur le signal :

µ_r = µ_s× η_E× η_C (3.19)

Si l'électron peut diuser dans la couche épitaxiale avant d'être collecté par un pixel, deux situations se présentent :

1. Il y a une équivalence 1 photon = 1 électron secondaire. Dans ce cas la modélisation précédente est utilisée en modiant la PSF du détecteur pour inclure la PSF de diusion :

σ²_t = σ_a²+ σ_c² (3.20)

2. Un photon crée plusieurs électrons secondaires. Dans ce cas les électrons secondaires ne peuvent pas être traités de manière indépendante. Il faut utiliser une autre ap-proche qui sera explicitée dans la partie 3.4.4.

Dans le premier cas, pour trouver la probabilité que es électrons secondaires soient accumulés par le pixel k, il faut calculer deux distributions intermédiaires.

• La première est la probabilité qu'un électron secondaire soit dans la zone sensible du pixel. Cette probabilité qk dépend de la position de la source, des PSF successives et des limites du pixel k. Elle est donnée par :

q_k(x_s, y_s, σ_t) = Z Z

k

P^s(x, y; θ)dxdy (3.21)

• La seconde est la probabilité que es électrons secondaires issus des ep photons émis par la source soient collectés dans le pixel. La probabilité précédente qkest implé-mentée dans une loi binomiale pour obtenir la distribution de probabilité :

P_k^f(e_s; e_p, θ) =e_p e_s



La probabilité Pq

k d'obtenir es électrons secondaires dans le pixel k provenant de la source est issue du produit de convolution de la distribution Pf

k donnée par l'Eq.3.22avec celle du signal de la source Po donnée par l'Eq. 3.10. Le nombre de photons incidents étant discret, la convolution est limitée à une somme sur le nombre de photons ep :

P_k^q(e_s; θ) = ∞ X ep=0 P_k^f(e_s; e_p, θ)P^o(e_p) (3.23) = ∞ X ep=0 e_p e_s  Z Z k 1 2πσ2 t e⁻ (x−xs)2+(y−ys)2 2σ2t dxdy es ×  1 − Z Z k 1 2πσ2 t e⁻ (x−xs)2+(y−ys)2 2σ2t dxdy ep−es µnr r ^e−µr n_r! (3.24)

Pour prendre en compte le courant d'obscurité ainsi que le bruit de fond, il faut consi-dérer que le nombre d'électrons secondaires es peut venir soit de la source soit du bruit. Il faut donc faire la convolution de ces deux probabilités pour chaque e_s, soit :

P_k^q(e_s; θ) = es X en=0 ∞ X ep=0 P_k^f(e_s− e_n; e_p, θ)P^o(e_p; µ_r) ! × P^o(e_n; µ_b) (3.25)

3.4.3 Bruit de lecture

Le bruit de lecture modélise l'erreur sur le nombre d'électrons secondaires mesurés er

par rapport au nombre de charges collectées e_s dans le pixel k. Le bruit est modélisé par une distribution gaussienne Pn et dépend de l'écart-type σn donné en électrons :

Pⁿ(e_r; e_s, θ) = N (e_r; e_s, σ_n) (3.26) Finalement, la probabilité Pl

k que erélectrons soient lus pour le pixel k est la convolution du bruit de lecture avec la distribution Pq

k donnée par l'Eq. 3.23. Elle s'écrit : P_k^l(e_r) =

∞

X

es=0

Pⁿ(e_r; e_s, θ)P_k^q(e_s; θ) (3.27)

3.4.4 Amplication des électrons secondaires

Pour limiter l'inuence du bruit de lecture, une amplication des électrons secondaires est nécessaire. Elle peut avoir lieu avant l'arrivée sur les pixels dans le cas de l'ebCMOS (partie 1.3) ou juste avant la lecture des pixels dans le cas de l'emCCD (partie 1.2). Amplication par pixel

L'amplication des électrons secondaires par un registre de lecture est modélisée en utilisant la distribution du gain. Elle donne la probabilité d'obtenir ea électrons après amplication en fonction du nombre d'électrons secondaires es présents à l'entrée du registre. Le gain emCCD comporte deux composantes intéressantes :

1. Le nombre d'électrons secondaires avant la lecture est amplié, apportant une amé-lioration du rapport signal sur bruit.

2. Le processus de multiplication est stochastique.

Une amplication parfaite de valeur g est modélisée an de distinguer l'inuence du gain indépendamment du caractère stochastique. Le caractère stochastique sera introduit ensuite en utilisant la distribution du gain de l'emCCD.

Gain parfait par pixel

Pour un gain non stochastique g xe, la distribution de sortie Pg

k est semblable à l'Eq. 3.27. Il faut seulement multiplier le nombre d'électrons secondaires en sortie par g.

P_k^g(e_r) =

∞

X

es=0

Pⁿ(e_r; g × e_s, θ)P_k^q(e_s; θ) (3.28)

Amplication stochastique emCCD

Dans le cas de l'amplication stochastique, le gain est modélisé selon [4] : P^D(e_a; e_s, θ) = ^e es−1 a (e_s− 1)!ges exp  −^ea g  , e_a ≥ e_s (3.29) La distribution Pr

k nale du nombre d'électrons lus est semblable à l'Eq. 3.27 dans laquelle l'Eq. 3.26 est convoluée à l'Eq. 3.29 du gain :

P_k^r(e_r) = ∞ X ea=0 Pⁿ(e_r; e_a, θ) ∞ X es=0 P^D(e_a; e_s, θ)P_k^q(e_s; θ) (3.30)

Amplication par photo-cathode

L'amplication du signal par l'ebCMOS se fait par accélération du photo-électron par un champ électrique. Elle permet la génération d'un grand nombre d'électrons secondaires dans la couche épitaxiale (sensible). Les électrons secondaires ne sont plus indépendants, il faut donc les traiter de manière diérente.

Les photons issus de la source sont supposés indépendants. Nous nous intéressons tout d'abord au cas d'un photon unique. Le cas de plusieurs photons incidents sera obtenu par convolution de la distribution d'un photon.

La position d'impact du photo-électron sur la matrice de pixels suit la distribution Ps

donnée par l'Eq. 3.13 avec :

σ²_t = σ_a² + σ_b² (3.31)

L'impact du photo-électron accéléré dans la couche épitaxiale du CMOS crée n_p paires électrons-trous dans le silicium. Ces électrons diusent selon une gaussienne d'écart-type σ_c avant d'être collectés par les pixels.

Pour un photo-électron impactant la couche épitaxiale à la position (x_p, y_p), il faut calculer la probabilité que le pixel k reçoive es des np électrons secondaires disponibles. Cette distribution Ps donnée par l'Eq. 3.32 est calculée selon la même distribution qk

donnée par l'Eq. 3.21 avec les paramètres liés à la diusion et à la position du photo-électron, qk(x_p, y_p, σ_c). P_k^p(e_s, x_p, y_p, θ) =n_p e_s  q^es k (x_p, y_p, σ_c)(1 − q_k(x_p, y_p, σ_c))ⁿp−es (3.32)

Pour calculer la distribution nale Pc

k, il faut alors prendre toutes les positions possibles du photo-électron pondérées par leur probabilité :

P_k^c(e_s; e_p= 1, θ) = Z Z

det

dx_pdy_pP^s(x, y; θ)P_k^p(e_s, x_p, y_p, θ) (3.33) Pour prendre en compte la rétrodiusion, il faut convoluer le gain np par l'équation modélisant la distribution de probabilité de rétrodiusion du photo-électron r(q) donnée par l'Eq. 1.23 de la partie 1.3.3.

Cas de plusieurs photo-électrons incidents Dans le cas de ep photo-électrons, la distribution Pc

k de l'Eq. 3.33 est convoluée ep fois avec elle-même. Pour chaque valeur esd'électrons collectés par le pixel k toutes les origines possibles de ces électrons sont alors prises en compte. Cette distribution est donnée par :

P_k^c(e_s; e_p, θ) = P_k^c(e_s; e_p= 1, θ) ⊗ · · · ⊗ | {z }

ep−1

P_k^c(e_s; e_p= 1, θ) (3.34)

Lecture des pixels de l'ebCMOS

Comme pour les autres détecteurs, il faut convoluer la distribution Pc

k donnée par l'Eq. 3.34 à celles du bruit de lecture et du signal de la source. La résultante est la distribution Pe

k du nombre de charges er lues à la sortie du pixel k, soit : P_k^e(e_r; θ) = ∞ X es=0 Pⁿ(e_r; e_s, θ) ∞ X ep=0 P_k^c(e_s; e_p, θ)P^o(e_p) (3.35)