Modélisation des conditions aux limites

4.2.4. Modélisation des conditions aux limites

Malgré l’apparente simplicité du problème de définition et d’application des CLs, l’information fournie par les interfaces comportementales de RV n’est pas toujours convenable car :

• certaines interfaces motrices technologiquement ne sont pas capables de produire les données dont on a besoin pour la définition des CLs,

• il est difficile de traduire l’action d’un être humain sur la pièce flexible, par exemple, la main représentée par un ensemble d’efforts adéquats, appliqués à la pièce et simulant ainsi une action d’un opérateur.

Le premier problème est caractéristique pour certaines interfaces motrices de contrôle en effort et en position. Les interfaces de contrôle en effort fournissent une information géométrique qui est la position d’un objet virtuel dans l’espace et, moins souvent, son orientation. Cette information est nécessaire pour déterminer par exemple la position d’une main virtuelle dont le repère est attaché à une des extrémités du tube virtuel flexible à manipuler. Ceci permet à son tour de définir une trajectoire d’A/D souhaitée. Cependant, l’information d’entrée définissant les CLs géométriques en terme de positions courantes de l’extrémité manipulée de la poutre flexible doit être précise, car le modèle géométriquement non-linéaire de poutres flexibles est sensible aux CLs géométriques difficilement réalisables en réalité. Toutefois, la définition des déplacements imposés (par exemple, la trajectoire d’A/D) lors d’une manipulation virtuelle de pièces flexibles ne signifie pas que l’orientation de la main de l’opérateur n’influe pas sur le résultat d’évaluation de la déformation de la pièce flexible. Par ailleurs, un exemple caractéristique du fait que les déplacements angulaires jouent un rôle important dans une telle modélisation mécanique est une évaluation de la déformation de pièces flexibles de type poutres flexibles soumises à des grands déplacements. Par exemple, l’orientation de la main tenant une extrémité d’une poutre flexible à manipuler définit les angles de rotation de la section extrême, associée au point d’application des efforts. Ces angles déterminent les directions d’application des forces et caractérisent les valeurs des moments de flexion et de torsion appliqués. Donc, les CLs en termes des déplacements angulaires doivent être également prises en compte lors d’une manipulation virtuelle de poutre flexible. Malheureusement, certaines interfaces de localisation spatiale, comme des systèmes optiques utilisant les LEDs, ne permettent pas de fournir directement une information concernant l’orientation d’une section manipulée d’un objet virtuel à caractère flexible. Ainsi, trois modes de définition des CLs angulaires sont distingués en fonction des caractéristiques technologiques de l’interface considérée :

• l’utilisation des interfaces motrices de RV capables de mesurer directement et en temps réel une information exacte concernant les CLs angulaires,

• le calcul exact/approximatif des angles de rotation de la section manipulée (CLs) en temps réel à partir des positions de la main mesurées par une interface de RV donnée,

• la détermination des angles de rotation constants/variables, imposés par l’opérateur avant une manipulation virtuelle, si l’interface motrice utilisée ne permet pas d’évaluer l’orientation de la section manipulée de la pièce virtuelle flexible.

En ce qui concerne l’utilisation des interfaces haptiques à retour d’effort pour le contrôle en position, certains de ces dispositifs ne permettent pas non plus de proposer toute la gamme des efforts que l’on peut développer physiquement lors d’une manipulation de pièce flexible réelle à cause de ses limites technologiques (incapacité à développer des moments, voir la section 2.2) et économique (coût de l’interface). En effet, il ne faut pas oublier que les opérations réelles d’A/D et de maintenance de pièces flexibles supposent également le développement de forces de flexion et de traction/compression ainsi que de moments de flexion et de torsion. Ainsi, il est nécessaire de prendre en compte ce fait en

Chapitre 4. Modèle mécanique de pièces flexibles de type « poutres flexibles »

choisissant une interface correspondante. Notamment, il est souhaitable d’employer des dispositifs munis d’un capteur d’efforts et permettant de mesurer l’orientation de la main. L’information concernant les forces développés réellement par l’utilisateur ainsi que les déplacements angulaires de la main permettent de déduire la direction et la valeur des forces à appliquer à la pièce virtuelle flexible afin de pouvoir générer une déformation de cette pièce de façon cohérente. La Figure 4.3 montre des exemples d’application des efforts de type :

• efforts-suiveurs qui suivent la trajectoire d’A/D avec une modification continue de sa direction d’application. Par exemple, l’angle entre la direction d’une force Q appliquée à l’extrémité d’une poutre flexible et sa ligne moyenne peut être conservé pour simplifier cette configuration (Figure 4.3a),

• efforts conservatifs qui maintiennent leur direction d’application suivant une direction d, (Figure 4.3b).

Un autre point important est la traduction d’une action de l’opérateur manipulant la pièce virtuelle en information d’entrée compatible et adéquate en ce qui concerne la représentation de la main par un ensemble d’efforts « équivalents », i.e. les efforts permettant de décrire de façon réaliste l’action de l’utilisateur. Ce problème devient très important dans le cas d’un contrôle en effort, i.e. les CLs géométriques sont fournies par une interface motrice de RV. Dans ce cas, une réponse du système mécanique dans l’espace des efforts peut être déterminée de façon conventionnelle : une modélisation des efforts à développer représentant l’action à réaliser afin d’assurer une trajectoire d’A/D prescrite et leur calcul par le modèle mécanique sont nécessaires. Cette modélisation doit être la plus adéquate possible par rapport à l’application réelle des efforts (leur nature, direction d’application,…) simulant la main de l’opérateur lors des opérations d’A/D ou de maintenance. Une telle réponse mécanique est équivalente à un chargement particulier à effectuer durant la manipulation d’une poutre flexible et représente en effet beaucoup de cas de charge possibles. Cependant, cette diversité peut être fortement limitée en considérant les sollicitations les plus appropriées pour les opérations d’A/D et en tenant compte de la forme de composants flexibles. Ainsi, une réponse en termes d’efforts à appliquer (CLs mécaniques) est modélisée par des efforts-suiveurs dans le cas de simulation dans l’espace des configurations, car ce type d’efforts est le plus approprié pour la manipulation d’A/D de pièces flexibles modélisées par une poutre flexible soumise à des grands déplacements (Figure 4.3c). Par ailleurs, il est également possible de modéliser les CLs mécaniques par des efforts-suiveurs lors de la simulation d’une pièce flexible dans l’espace des efforts (Figure 4.3a). Il est nécessaire de noter que des problèmes de stabilité ne sont pas considérés dans ce mémoire.

M M Q Q form e déformée finale form e n aturelle initiale M M Q Q point à atteindre trajectoire d’A /D imposée form e déformée finale

form e natu relle initiale M M Q Q form e déformée finale form e naturelle initiale _d ( a ) ( b ) ( c )

Figure 4.3. Exemples de simulation des CLs pour des opérations d’A/D :

( a ) application d’efforts-suiveurs, ( b) application d’efforts conservatifs selon la direction d, ( c) définition de la trajectoire d’A/D imposée pour l’évaluation des efforts-suiveurs.

A part de la modélisation des CLs géométriques et mécaniques, il convient de faire un certain nombre d’hypothèses simplificatrices en ce qui concerne la façon dont ces CLs sont appliquées et leurs impacts éventuels sur la simplification du modèle de comportement. Ainsi, compte tenu des cas de manipulation d’A/D de poutres flexibles considérés précédemment, les hypothèses supplémentaires utilisées pour modéliser l’application des CLs sont :

• l’encastrement d’une des extrémités de la poutre flexible. Cette CL peut paraître une restriction forte, mais compte tenu de la technologie de réalisation de la liaison entre la pièce flexible et son environnement extérieur rigide, nous pouvons nous contenter d’une telle modélisation de liaison. La même modélisation peut être utilisée lorsqu’il s’agit d’une manipulation à deux mains (Figure 4.2a) ; cependant, une telle modélisation s’avère très approximative car cela suppose un serrage fort de la pièce flexible,

• les efforts appliqués à la pièce flexible sont ponctuels,

• la section d’application des efforts ne se déforme pas et reste quasi-plane lors du chargement : absence de phénomènes de flambement de la section,

• les efforts extérieurs sont ramenés à la ligne moyenne de la poutre flexible alors qu’en réalité, ils sont appliqués à la surface extérieure de la pièce manipulée,

• le principe de Saint-Venant est applicable : des efforts locaux différents, mais statiquement équivalents, provoquent le même état de contrainte dans la poutre flexible si les contraintes locales dans la zone d’application de ces efforts ne sont pas prises en compte. La solution obtenue en terme de déformation de la structure est valable loin de la zone d’application des efforts extérieurs.

Il convient également de noter qu’au cours d’une manipulation virtuelle, la pièce flexible peut rencontrer un obstacle sur sa trajectoire. Lorsque la pièce manipulée rentre en collision, la configuration correspondante suppose principalement deux cas de CLs supplémentaires à prendre en considération :

• la détermination d’efforts de contact et la prise en compte de cette charge complémentaire lors de la simulation dans l’espace des efforts,

• l’intégration du (des) point(s) de contact comme des CLs géométriques complémentaires (déplacements imposés) dans le cas de simulation dans l’espace des configurations.

Toutefois, uniquement le cas de manipulation d’une poutre flexible dans son espace des configurations libres sera traité dans ce mémoire. Ceci signifie qu’aucune déformation supplémentaire, due aux contacts avec les obstacles présents dans l’espace de travail de la pièce flexible, n’est considérée, même si le modèle proposé est directement compatible avec une telle configuration.

4.3. Partie géométrique du modèle : non-linéarité géométrique

4.3.1. Généralités

La partie géométrique du modèle ne contient que les termes géométriques nécessaires pour reconstruire une forme déformée d’une poutre flexible 3D sollicitée au cours d’une manipulation quelconque. Afin de caractériser cette déformation, deux repères orthonormés ont couramment utilisés dans la mécanique des poutres : un repère global de référence

s

{O,ir

,ir

,ir

}

, définissant une position absolue de la poutre, et un repère local mobile

{O

,er

,er

,er

}

, lié à un point courant de la ligne moyenne de la poutre (Figure 4.4).

Vu que les déplacements produits par la poutre au cours de sa manipulation sont grands (non-linéaires), il est commode d’exprimer les coordonnées de la poutre flexible déformée (ou plutôt les coordonnées de la ligne moyenne) dans le repère global, lié par exemple à l’extrémité encastrée de la poutre, à l’aide d’une représentation paramétrique. En effet, on va chercher à déterminer les coordonnées (x, y, z) d’un centre de gravité O_k de la section courante S_k, k ∈ [1, m] de la poutre flexible en fonction d’un paramètre s ∈ [0, l] qui est l’abscisse curviligne, avec l – longueur de la poutre, m – nombre de points représentant la ligne moyenne de la poutre déformée dans l’espace 3D.

Il est également à noter que le repère local mobile (ou simplement, repère local) n’est pas celui de Frenet, couramment utilisé dans la géométrie différentielle [Laroze 1988], [Struik 1988]. En effet,

Chapitre 4. Modèle mécanique de pièces flexibles de type « poutres flexibles »

le repère de Frenet caractérise la géométrie d’une courbe 3D sans tenir compte d’un effet de torsion mécanique dans la section de la poutre, i.e. rotations des sections, au cours de la déformation. La particularité du repère local introduit dans [Svetlitsky/1 1987], [Svetlitsky 2000] est que ce repère est lié non seulement à la ligne moyenne de la poutre, mais aussi à la section courante Sk. Ainsi, lors de la torsion mécanique de la poutre, le repère local effectue des rotations correspondantes, car la section Sk tourne d’un certain angle.

x O z y 1 ir 3 i r 30 er 20 er 10 er 1 er 2 er 3 er 2 ir Ok Ok0 Sk forme naturelle initiale forme déformée trajectoire d’A/D r r0 u Om 1 j r 2 j r 3 j r

Figure 4.4. Définition des différents repères associés à la poutre flexible.