Modélisation

Dans notre modèle de perturbations, nous distinguons deux contributions au signal mesuré par le détecteur :

ˆ la première correspond à la rétroréexion du faisceau d'illumination active par la scène. Il s'agit du signal utile, qui suit une loi de probabilité de Poisson.

ˆ la seconde correspond à tous les autres phénomènes présents même en l'absence d'illumi- nation active. Il peut s'agir de l'émissivité propre des matériaux (lorsque l'on travaille dans l'infrarouge entre 5 µm et 10 µm), de l'illumination ambiante rétrodiusée par la scène, du courant d'obscurité du détecteur... Dans tous les cas, il s'agit d'une contribution passive qui suit, elle aussi, une loi de probabilité de Poisson, si nous supposons que toutes ces sources sont indépendantes.

Comme pour l'étude précédente, ce modèle n'a pas été étudié dans la littérature, alors qu'il peut être adapté à l'imagerie infrarouge, où le bruit du fond est un problème récurrent [56], aux systèmes à faibles ux où le courant d'obscurité n'est plus négligeable par rapport au signal, ou bien dans tous les systèmes d'imagerie dans lesquels une contribution passive est présente.

Figure 2.8  Représentation des diérentes contributions au signal mesuré, dans un système d'imagerie OSC actif.

Considérons deux échantillons homogènes X = {Xi, i ∈ [1, N ]} et Y = {Yi, i ∈ [1, N ]}

détecteur vaut mX+ gX dans l'échantillon X et mY + gY dans l'échantillon Y, où mX, mY sont

les paramètres d'intérêt que nous cherchons à estimer et gX, gY sont les contributions passives

dans chacun des canaux, provenant de K sources distinctes et indépendantes :

gX = K X k=1 gk_X gY = K X k=1 gk_Y

Dans un premier temps nous considérons que les contributions passives sont identiques dans les deux échantillons (gX = gY = g), ce qui est le cas dans de nombreuses situations. En eet, le

courant d'obscurité par exemple, est dû à la génération aléatoire d'électrons dans le détecteur en absence d'illumination. Il suit une loi de Poisson [57] et est identique pour les deux canaux, étant donné que les images sont acquises sur le même détecteur.

De plus la scène est souvent illuminée par la lumière ambiante (soleil, source lumineuse...). D'une manière générale, dans une scène naturelle, cette illumination passive peut être considérée totalement dépolarisée. Si nous faisons l'hypothèse d'observer des matériaux purement dépola- risants, leurs matrices de Mueller sont diagonales et ne présentent pas de polarisance [5] : la lumière rétro-rééchie par ces matériaux restera totalement dépolarisée : gk

X = gYk. Nous avons

mené une expérience, en faisant l'acquisition d'une scène éclairée avec un faisceau totalement dépolarisé, en conguration monostatique. Nous avons mesuré la valeur de gX et gY pour dif-

férents matériaux : les résultats sont présentés dans le tableau 2.2 et nous voyons que l'OSC ne dépasse pas 0,02 en valeur absolue. L'hypothèse gk

X = gYk est donc vériée. La très faible

polarisation résiduelle peut être due à une faible polarisance du matériau ou à l'orientation de ce dernier. Matériau gX gY OSCg papier blanc 395 409 0,02 teon 1063 1069 -0,03 peinture grise 1095 1140 -0,02 métal 1072 1062 0,01

Tableau 2.2  Lumière rétro-rééchie (en niveau de gris) par diérents maté- riaux lorsqu'ils sont illuminés avec un faisceau totalement dépolarisé en congura- tion monostatique. Nous présentons la valeur de chaque canal gX et gY ainsi que

OSCg=(g_(gX_X−g_+gYY₎) qui représente l'OSC de la contribution passive.

Nous pouvons donc donner l'expression de la loi de probabilité d'un élément de l'échantillon : le nombre de photoélectrons mesurés est une variable aléatoire dont la densité de probabilité suit une loi de Poisson :

PUi(n) = exp [−(mU+ g)]

(mU + g)n

2.3.2 Borne de Cramer-Rao

L'objectif de cette partie est de déterminer la précision maximale que nous pouvons espérer sur l'estimation des paramètres I et P . Comme dans les parties précédentes, nous commençons par déterminer la log-vraisemblance :

`(I, P ) = N X i=1 log PXi(Xi) + N X i=1 log PYi(Yi) (2.32) = −N (I + 2g) + SXlog · I 2 (1 + P ) + g ¸ + SY log · I 2 (1 − P ) + g ¸ + A où A =PN

i=1[− log(Xi!) − log(Yi!)] ne dépend pas des paramètres d'intérêt I et P . Nous dé-

nissons SX =

P_N

i=1Xi et SY =

P_N

i=1Yi. Nous calculons ensuite la matrice de Fisher :

I = N (I + 2g)2_{− (IP )}2 " I(1 − P2) + 2g(1 + P2) 2gIP 2gIP I2_{(I + 2g)} # , _(2.33)

En prenant l'inverse de cette matrice nous obtenons :

J = I−1 = 1 N " I + 2g −2gP /I −2gP /I (1 − P2)/I + 2g(1 + P2)/I2 # . (2.34)

Nous pouvons en déduire les bornes de Cramer-Rao sur I et P , qui sont données par les éléments diagonaux de la matrice J : BCRI(g) = BCRdsI + BCRaddI avec BCRds_I = I N (2.35) et BCRadd_I = 2g N (2.36)

La borne de Cramer-Rao sur I peut se décomposer en un terme dépendant du signal utile (BCRds

I ) et un terme additif (BCRaddI ). En eet, quand la contribution passive est nulle, c'est-

à-dire g = 0, alors BCRadd

I = 0 et par conséquent BCRI(g) = BCRIds = I/N. Cette borne

correspond à la variance d'estimation classique obtenue sur les images d'intensité en présence de bruit de photons uniquement.

La matrice J, nous donne également la borne de Cramer-Rao sur le paramètre P qui peut s'exprimer sous la forme suivante :

BCR_P(g) = BCRds_P + BCRadd_P avec BCRds_P = (1 − P2)

N I (2.37)

et BCRadd_P = 2g(1 + P2)

N I2 . (2.38)

L'expression de la BCRP se décompose elle aussi en deux termes : le premier BCRdsP dépend du

signal utile uniquement (c'est-à-dire de I et P ) et le second est un terme additif BCRadd

la contribution passive est nulle (g = 0) on remarque que BCRP(0) = BCRPds= (1 − P2)/(N I).

Il a été montré dans [51] que cette expression est la borne de Cramer-Rao sur P en présence de bruit de photons uniquement. Quant au terme additif, BCRadd

P , on remarque que son expression

est identique à celle de la borne de Cramer-Rao en présence de bruit additif gaussien (voir Eq. 2.18) avec une variance σ2 _{égale à g.}

Nous notons également que la BCR sur I est indépendante de la valeur du paramètre d'OSC

P_{, alors que la BCR sur P dépend de cette valeur. Plus précisément, BCR}ds

P décroît avec P

et est nulle lorsque le signal rétrodiusé est totalement polarisé. Cela s'explique facilement : lorsque P = 1 alors my = 0et le bruit a une variance nulle puisqu'il s'agit du bruit de photons

uniquement. En revanche le terme BCRadd

P augmente avec P et n'est jamais nul. En eet, étant

donné que ce terme est indépendant de la puissance du signal utile, il est toujours présent, même quand le signal est nul.