Comparaison de l'inuence de la contribution dépendant du signal et de

la contribution additive.

Dans cette partie nous allons étudier l'inuence de la contribution passive sur la précision d'estimation des paramètres d'intérêt. Commençons par l'estimation du paramètre d'intensité

I. Nous voyons clairement dans l'équation 2.36 que la variance d'estimation augmente avec la valeur de g. Pour l'illustrer nous avons représenté dans la gure 2.9 le rapport :

ρI(g) = BCR_BCRI(g)

I(0) = 1 + 2

g

I (2.39)

qui représente le rapport entre la BCRI pour une valeur de g donnée et la BCRI en l'absence

de contribution passive (g = 0). Nous voyons que ρI(g)croît linéairement avec g/I qui peut être

considéré comme le rapport signal sur bruit associé à la contribution passive. Procédons de la même manière pour le paramètre P en calculant le rapport :

ρP(g) = BCR_BCRP(g) P(0) = 1 + 2 µ 1 + P2 1 − P2 ¶ g I (2.40)

que nous avons également représenté sur la gure 2.9. Nous remarquons que ρP(g) croît aussi

linéairement avec g/I, mais la pente dépend de la valeur de l'OSC. En eet, la pente tend vers +∞ lorsque la valeur vraie de P tend vers 1. Il apparaît clairement que l'inuence de la contribution passive est plus importante sur l'estimation de P que sur celle de I, et cela est d'autant plus vrai que le signal rétro-rééchi est polarisé.

Pour essayer de mieux comprendre cet eet, adoptons un autre point de vue. Considérons que la contribution passive est xée (valeur de g xée), et déterminons "les intensités seuil" qui correspondent au cas où la BCRds _{et BCR}add_{sont égales, pour l'estimation de I d'une part, et}

l'estimation de P d'autre part. Ces intensités seuil correspondent à l'intersection des courbes ρI,

respectivement ρP, avec la droite ρ = 2. Commençons par l'estimation de l'intensité : l'intensité

seuil correspond au cas où BCRds

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 g/I ρ P=0.8 P=0.5 P=0.2 ρ_I ρ_P

Figure 2.9 Rapports ρI(g)et ρP(g)en fonction de la quantité g/I pour diérentes

valeurs de l'OSC, P.

Cette valeur ne dépend pas de la valeur de l'OSC. Lorsque I < II

c, le bruit de Poisson additif

est prédominant alors que lorsque I > II

c le bruit prédominant est le bruit de photons asso-

cié au signal utile. Intéressons-nous à présent à l'estimation du paramètre P . L'intensité seuil correspond au cas où BCRds

P = BCRaddP , ce qui conduit à :

I_cP = 2g 1 + P2 1 − P2.

Contrairement au cas précédent, cette valeur d'intensité seuil dépend de la valeur de P . Nous avons représenté sur la gure 2.10 l'évolution du rapport IP

c /IcI en fonction de P . Lorsque le

signal rétro-rééchi est totalement dépolarisé IP

c /IcI = 1. En revanche, lorsque P tend vers 1,

le rapport tend vers +∞ : en eet, lorsque le signal rétro-rééchi est partiellement polarisé, IP c

peut être beaucoup plus grand que II

c. Par exemple, si P = 0, 9 alors IcP = 9, 5 IcI. Cela signie

que pour être limité par le bruit de Poisson dépendant du signal pour l'estimation de P , il faut une illumination active 9,5 fois plus intense que pour l'estimation de I. En d'autres termes, dès que le signal rétro-rééchi est polarisé, nous devons tenir compte du bruit de Poisson additif pour l'estimation de P , même s'il peut être négligé pour l'estimation de I.

Figure de mérite

Pour visualiser l'inuence des diérentes sources de bruit, nous pouvons tracer les gures de mérites. Nous représentons la variance du bruit (sur I et P ) en fonction de la valeur moyenne du signal utile. Pour l'estimation de l'intensité I, nous avons :

log₁₀[BCRI] = log10 h

BCRds_I + BCRadd_I i

.

En dessous de l'intensité de seuil (I < II

c), nous pouvons négliger le terme dépendant du signal

et obtenir : log₁₀[BCR_I] ' log₁₀ h BCRadd_I i = − log₁₀[2g] − log₁₀[N ],

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 100 101 102 P I P c /I I c

Figure 2.10  Rapport des intensités seuil IP

c /IcI en fonction de la valeur vraie de

l'OSC P

c'est-à-dire une valeur constante. Au-dessus de l'intensité seuil (I > II

c), nous pouvons négliger

le terme additif et obtenir :

log₁₀[BCRI] ' log10 h

BCRds_I

i

= log₁₀[I] − log₁₀[N ],

c'est-à-dire une droite avec une pente de 1 dB par décade. Cela correspond à la gure de mérite classique de l'estimation de l'intensité [57]. Nous la représentons sur la gure 2.11 pour un échantillon de taille N = 1. Augmenter la taille de l'échantillon revient à translater verticalement la courbe de la quantité − log10[N ].

100 101 102 103 100 101 102 103 B C RI I (photoelectrons)

Figure 2.11 Précision d'estimation du paramètre I en fonction de sa vraie valeur

I, avec une contribution passive g = 10 photoélectrons. En trait plein : BCRI, en

trait pointillé : BCRadd

I et BCRdsI . Le cercle représente l'intensité seuil (IcI). Considérons à présent l'estimation du paramètre d'OSC. Nous avons :

log₁₀(BCR_P) = log₁₀ h

BCRds_P + BCR_Padd i

En dessous de l'intensité de seuil, (I < IP

c ), nous pouvons négliger le terme dépendant du signal

et obtenir :

log₁₀[BCRP] ' log10 h

BCRadd_P

i

= −2 log₁₀[I] − log₁₀[1 + P2] − log₁₀[2g] − log₁₀[N ], c'est-à-dire une droite de pente 2dB par décade. Au dessus de l'intensité de seuil nous négligeons le terme additif pour obtenir :

log₁₀[BCRP] ' log10 h

BCRds_P

i

= − log₁₀[I] − log₁₀[1 − P2] − log₁₀[N ],

ce qui correspond à une droite de pente 1 dB par décade. Dans la gure 2.12 nous représentons la gure de mérite pour N = 1 et pour deux valeurs diérentes de l'OSC P . Nous pouvons voir que de plus grandes valeurs de P conduisent à un décalage signicatif de l'intensité seuil.

100 101 102 103 10−4 10−2 100 B C RP I (photoelectrons) 100 101 102 103 10−4 10−2 100 B C RP I (photoelectrons) (a) (b)

Figure 2.12  Précision d'estimation du paramètre d'OSC P en fonction de l'in- tensité I, avec une contribution passive g = 10 photons. En trait plein : BCRI, en

pointillés : BCRadd

P et BCRdsP. Le cercle représente l'intensité seuil (IcP). Les simu-

lations ont été réalisées avec deux valeurs du paramètre d'OSC : (a) P = 0 et (b)

P = 0, 9.

Cela illustre que l'inuence du bruit associé à la contribution passive dépend de la valeur du paramètre d'OSC que l'on cherche à estimer.

2.3.4 Discussion

Dans cette partie, nous avons modélisé le bruit de détecteur comme faisant partie d'un ensemble plus général de sources de bruit que nous avons appelé contribution passive. Cette contribution est prédominante à faible ux. Lorsque l'intensité d'illumination est plus impor- tante, le bruit de photons associé devient majoritaire. Nous avons montré que l'intensité seuil de la transition entre ces deux régimes n'était pas la même pour l'estimation de l'intensité et celle de l'OSC. Notre approche a cependant deux limites : nous avons supposé que la contribution passive était connue a priori et qu'elle était dépolarisée. Dans la suite de ce chapitre nous allons améliorer le modèle de perturbations.

2.4

Prise en compte de la polarisation partielle de la contribution