Modélisation avec des éléments finis spéciaux

Des efforts ont été faits afin de réduire les temps de calcul.

10.2.2.1 Modèles en deux dimensions

Différentes approches ont été développées.

Citons tout d’abord les travaux de Rao et al (Rao and et S. Yadagiri, 1982) qui ont développé un modèle spécial, en état plan de déformations, avec des éléments isoparamétriques à six noeuds pour la couche de colle. Ces derniers (ressorts en traction, compression, cisaillement) sont compatibles avec les éléments à huit noeuds qui constituent le substrat. Seulement, ce modèle est limité à des cas de géométrie et de chargement simples et ne prend pas en compte le comportement non linéaire des matériaux.

D’autres auteurs ((Carpenter and Barsoum, 1989), (Amijima and Fujii, 1987), (Lin and Lin, 1993))ont utilisé des éléments poutres pour modéliser le substrat et des éléments plaque par exemple pour la colle. Les noeuds de l’adhésif coïncident entre ceux du substrat grâce à des conditions de compatibilité en déplacement.

Seulement, ces modèles en deux dimensions sont rapidement limités à des géométries simples et sont restreints au cas bidimensionnel. De plus les non linéarités matérielles ne sont pas prises en compte.

10.2.2.2 Modèles en trois dimensions

(Taylor, 1996) a utilisé des éléments similaires à ceux de (Amijima and Fujii, 1987). Il a montré que le calcul en trois dimensions permettait de rendre compte de façon plus précise du comportement d’un assemblage simple recouvrement. (Dillard et al., 2001) a comparé les résultats d’un calcul éléments finis en deux et trois dimensions d’un essai à simple recouvrement, basé sur l’utilisation d’éléments coques pour le substrat et solides pour l’adhésif. Le modèle en trois dimensions est plus intéressant car il peut être étendu à des structures à géométries plus complexes. Les noeuds dans le demi plan du substrat sont liés à ceux de l’adhésif de façon à assurer continuité des déplacements à l’interface qui est maintenue grâce à des fonctions d’interpolation quadratiques dans le plan des éléments parallèles au plan moyen du substrat (Cf. figures 10.3 et 10.2). Les non linéarités matérielles peuvent être prises en compte.

Ces modèles ont donc l’avantage de pouvoir simuler le comportement de structures à géométrie plus complexes, en prenant en compte les non linéarités matérielles mais du fait des éléments coques et ou

Figure 10.2 – Configuration des éléments finis du modèle 3D (Dillard et al., 2001)

Figure 10.3 – Element fini 3D de l’adhésif (Dillard et al., 2001)

poutres ils sont restreints au cas de structures fines.

Les éléments d’interface peuvent être une option intéressante, afin d’éviter des calculs en grand dé-placement, particulièrement si l’épaisseur du substrat est importante (au moins le double) au regard de celle de l’adhésif. Les éléments continus sont remplacés par des éléments d’interface ou éléments joints. L’épaisseur de ces éléments est considérée comme étant nulle. Un des principaux avantage est que l’on peut facilement combiner ces éléments avec d’autres car ils utilisent les mêmes variables nodales que les éléments continus. La couche d’adhésif est modélisée par une surface qui est définie par la normale entre deux substrats. Pour les éléments joints, les grandeurs caractéristiques sont les composantes du vecteur contrainte local interagissant à l’interface. La loi constitutive est une relation entre ce vecteur contrainte local et le saut en déplacement du joint (le déplacement relatif entre les substrats).

Contrairement aux éléments continus pour lesquels on utilise la relation contrainte-déformations, c’est la relation portant sur les déplacements relatifs qui les gouverne. Il s’agit en fait de la différence entre les champs de déplacement de chacune des faces (haut et bas). Les contraintes à l’interface sont obtenues grâce au déplacement relatif et à la matrice de rigidité de cette zone. (équation 10.1). Ces paramètres sont la rigidité normale kn, tangentielle kt et de cisaillement ks et doivent être déterminés précisément.

σ = D · δ avec D = ⎡ ⎣ k_s 0 0 0 kt 0 0 0 kn ⎤ ⎦ (10.1)

Creac’Hcadec (Creac hcadec, 2008) a comparé les résultats numériques en utilisant des éléments d’interface avec un calcul effectué avec des éléments massifs. La structure étudiée est celle présentée sur la figure 10.4. Sous l’hypothèse d’un comportement élastique, la comparaison entre le modèle 2D avec éléments d’interface avec un modèle en 2 et 3 dimensions avec des éléments massifs, des contraintes normales et de cisaillement, au milieu du joint de colle montre la pertinence du modèle. Les résultats sont très précis, même au niveau des becs où il y a concentration de contraintes comme le montre la figure 10.5.

Cependant, ces éléments ne permettent pas d’étudier l’influence des singularités de contraintes, dans le cas où des effets de bords sont importants par exemple et la géométrie de la structure modélisée est simple ce qui explique la validité du modèle en état plan de contraintes.

Castagnetti et al (Castagnetti and Dragoni, 2009) ont développé trois modèles d’interface en deux et trois dimensions. Le plus intéressant est le dernier pour lequel le substrat est modélisé par une poutre en deux dimensions, et une coque en trois dimensions. L’adhésif est constitué d’éléments massiques : briques quadratiques. Le maillage de liaison correspond à l’application de contraintes internes entre

10.2. Modélisation par éléments finis 89

Figure 10.4 – Géométrie de l’assemblage collé et géométrie des substrats (Creac hcadec, 2008)

Figure 10.5 – Distribution des contraintes normales et tangentielles le long du segment [AB] calculées aux points d’intégration (Creac hcadec, 2008)

les éléments coques et briques. Le nombre de degrés de liberté est 150 fois plus faible qu’avec un modèle classique massique. Les résultats ont été comparés à ce modèle et à la solution analytique de (Goland and Reissner, 1944) ; ils sont très proches. Pourtant, ce modèle est restreint au cas de matériaux à comportement linéaire et au cas des structures minces. (De Moura et al., 2002) ont étudié le comportement élastique et non linéaire de joints collés simple et double recouvrement. Le modèle effectué sur ABAQUS est constitué d’éléments solides pour le substrat et l’adhésif et d’éléments joints pour l’interface qui sont compatibles. Ainsi, l’état de contraintes et de déformations dans cette zone peut être déterminé. De plus, les résultats dans le domaine élastique montrent la nature tridimensionnelle des contraintes de cisaillement à travers l’épaisseur. La rupture du joint de colle a pu être prédite par un calcul non linéaire supplémentaire.

Kim et al (Kim and Nguyen, 2009) ont étudié la connexion mécanique de cisaillement entre deux substrats par le biais d’un essai push-out. Ils ont utilisé un modèle élément finis sur ABAQUS en trois dimensions, avec prise en compte des non linéarités matérielles. Béton et acier sont modélisés par des éléments briques à 8 noeuds et 3 degrés de liberté par noeud (C3D8R). La couche cohésive est faible : elle est de l’ordre de 0.5 mm d’épaisseur et est modélisée par des éléments cohésifs (éléments joints de type COH3D8) à 8 noeuds. Les noeuds sur la surface du béton autour des connecteurs sont attachés aux noeuds de ces derniers par les contraintes internes (voir figure 10.6). Le maillage est plus serré autour de la région autour de l’interface (éléments 3 mm) et plus relâché ailleurs (25 mm).

10.2.2.3 Stratégie de maillage

Il apparaît intéressant pour la suite de ce travail de réfléchir à une stratégie de maillage. En d’autres termes, peut-on automatiser le processus de construction de ce dernier, avec une géométrie qui peut varier ?

Dans la littérature, les dispositions qui ont été formulées sont les suivantes :

– Il a été montré que les contraintes sont importantes autour du joint collé. Il est donc établi que le maillage dans cette zone doit être le plus fin possible.

– Comme dans tout calcul éléments finis, la zone de chargement et celle où les conditions aux limites sont imposées est une zone où le maillage est là aussi raffiné afin de limiter au maximum la formation de gradients de contraintes.

– Un maillage en trois dimensions apporte une meilleur précision des résultats, par contre il nécessite des capacités mémoires considérables.

En fait, nous n’avons pas trouvé de stratégie clairement définie pouvant être directement appliquée dans le cas de la modélisation d’essais Push Out. Il semble que le maillage dépendant avant tout de la géométrie se fait au cas par cas et que la symétrie peut être retenue.

10.2. Modélisation par éléments finis 91

10.3 Synthèse

De nombreux auteurs ont traité le problème de la modélisation d’un joint collé. La modélisation par éléments finis est retenue. Elle permet de modéliser un grand nombre de structures, avec des géométries quelconques, en prenant en compte le comportement non linéaire des matériaux de façon précise. Cepen-dant, beaucoup de modèles portent sur la simulation de structures minces, pour lesquels des éléments coques, plaques ou poutres sont utilisés. Dans le cas du push out, nous ne pouvons faire cette hypothèse et utiliserons des éléments massiques.

Du fait des faibles dimensions du joint de colle l’utilisation d’éléments d’interface apparaît comme étant une solution intéressante, celle-ci permettant de limiter le nombre de degrés de liberté du modèle, les paramètres étant alimentés avec la loi effort-déplacement. La place mémoire d’un calcul élément fini est une limite importante notamment dans le cas de la prise en compte des non linéarités matérielles et/ou géométriques.

Dans la suite de ce travail, du fait des caractéristiques géométriques d’un essai Push-out, nous n’uti-liserons que des éléments finis volumiques pour mailler les substrats (dallette béton et profilé acier) en prenant en compte leur comportement non linéaire. L’essai sera maillé en deux ou trois dimensions et l’adhésif sera maillé avec des éléments massifs ou joints. Une étude numérique préliminaire nous permettra de déterminer l’hypothèse la plus adaptée (éléments joints ou pas, calcul en deux ou trois dimensions).

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Modélisation(s) effectuée(s) : essais Push

Out

Sommaire

11.1 Introduction . . . . 94 11.2 Pré-simulations élastiques . . . . 94 11.2.1 Maillage de l’essai Push Out . . . . 94 11.2.2 Comparaison des résultats . . . . 97 11.3 Simulations dans le domaine non linéaire . . . 100 11.3.1 Modèle numérique retenu . . . 100 11.3.2 Comparaison des résultats numériques et expérimentaux pour l’ensemble des

corps d’épreuve . . . 104 11.3.3 Analyse des contraintes et de l’endommagement . . . 113 11.3.4 Synthèse des résultats . . . 116 11.4 Analyse paramétrique : influence des données de calcul . . . 122 11.4.1 Influence de la longueur de collage sur les résultats . . . 122 11.4.2 Influence des dimensions du bloc de béton . . . 123 11.4.3 Influence des caractéristiques matérielles sur les résultats . . . 124 11.4.4 Influence des caractéristiques géométriques sur les résultats . . . 134 11.5 Simulation numérique d’autres essais issus de la littérature . . . 140 11.5.1 Les éprouvettes testées par (Si Larbi et al., 2007) . . . 140 11.5.2 Les éprouvettes testées par (Berthet et al., 2011) . . . 142

11.1 Introduction

Nous avons vu dans le chapitre précédent que la modélisation par éléments finis d’un essai de joint collé nécessitait un maillage fin au niveau de la zone d’interface afin de rendre compte le plus précisé-ment possible des effets de bords aux extrémités du joint collé. Différents maillages seront étudiés. De plus, les essais sur les push-out ont montré une rupture fragile dans le béton pour des déformations dans le béton et l’acier qui sont relativement faibles. La non linéarité ne proviendrait donc que de la fissuration. Nous vérifierons si la prise en compte du comportement non linéaire du béton est effec-tivement nécessaire. Nous avons répertorié différents modèles reposant sur la mécanique des milieux continus, mieux adaptés à notre problème. Ceux implantés dans le logiciel utilisé (Cast-3M) seront étudiés.

Les différents push-out testés expérimentalement seront simulés dans le domaine non linéaire. Nous comparerons les résultats numériques à ceux issus des essais, afin de valider le modèle utilisé.

Enfin, une analyse paramétrique des résultats sera aussi effectuée. Le modèle sera confronté à d’autres essais sur béton haute performance issus de la littérature.

Toutes les simulations sont effectuées sur le logiciel aux éléments finis CAST-3M, développé par le CEA à Saclay.