La modélisation en éléments finis

La modélisation en éléments finis est une méthode de simulation qui est très employée, par exemple, dans le domaine de la mécanique pour le calcul des déformations de structures complexes. Cette méthode à été des lors employée pour la modélisation et la simulation des microsystèmes du fait de sa capacité à simuler des systèmes en 3 dimensions dans différents domaines d’énergies, que ce soit la mécanique, la thermique, l’électrostatique, l’électromagnétisme, la mécanique des fluides, etc. La simulation par éléments finis permet également de simuler des phénomènes couplés, qui sont très fréquents dans le domaine des capteurs (transduction d’un domaine d’énergie vers un autre). C'est par exemple les effets thermoélectriques, électromécanique ou électroacoustique.

5.2.1.1 Principe

Le principe de l’analyse en éléments finis est de rechercher une solution approchée de la solution exacte de la distribution d’une grandeur physique sur un domaine. Pour cela le domaine est divisé en sous domaines que l’on appelle éléments. Les éléments sont des ensembles de points appelés nœuds qui contiennent une représentation mathématique des échanges d’énergie et une fonction d’interpolation du champ à l’intérieur de l’élément et entre ses nœuds. Le champ global calculé est alors déterminé par un nombre fini de valeurs du champ sur les nœuds. Les inconnues, en chacun des nœuds sont appelées variables nodales ou degrés de liberté.

Une analyse en éléments finis comporte les étapes suivantes :

• Choix du domaine d’énergie et des degrés de liberté.

• Discrétisation (maillage) du domaine en éléments et en nœuds.

• Calcul des matrices et des vecteurs associés à chaque élément.

• Assemblage des matrices et des vecteurs de chaque élément pour construire le système d’équations global.

• Incorporation des conditions aux limites et des charges dans le système d’équations global.

• Résolution des équations globales pour extraire les valeurs des degrés de liberté à chaque nœud.

• Calcul des grandeurs associées aux degrés de libertés (contraintes, courants, flux de chaleur etc…).

5.2.1.2 Les éléments

Les éléments dans l’analyse en éléments finis sont les briques élémentaires dont le maillage va représenter le système géométrique à simuler. Les éléments sont donc des primitives géométriques comportant plusieurs nœuds. La Figure 72 représente des exemples d’éléments 2D ou 3D.

noeuds

Figure 72 : Exemples d’éléments assemblés en primitives géométriques.

Au niveau mathématique, les éléments doivent représenter le domaine d’énergie qui correspond à l’analyse souhaitée (thermique, mécanique, etc…) et donc comporter le système d’équation adéquat.

(eq.14)

[ ]m{ }U^ +[ ]c{ }U^ +[ ]k { } { }U = F

Ou {U} est le vecteur des déplacements nodaux, {F} le vecteur des charges (forces et encastrements), [m] la matrice de masse, [c] la matrice d’amortissement et [k] la matrice de rigidité. Le vecteur {U} comportera dans un cas à 3 dimensions jusqu'à 6 degrés de liberté, les déplacements en x, y et z et les rotations autour des axes x, y et z.

En analyse thermique le système d'équations s'écrit :

(eq.15)

[ ]c{ }φ^ +[ ]k { } { }φ = F

Ou {φ} est le vecteur des températures aux nœuds, {F} le vecteur des charges (chaleur et isothermes), [c] est la matrice des capacités thermiques et [k] est la matrice des conductances thermiques. La température étant un scalaire il n’y a qu’un seul degré de liberté.

5.2.1.3 Formulation des matrices structurelles.

La fonction d’interpolation est la relation mathématique qui exprime les variations des degrés de libertés entre chaque nœud d’un élément. Dans la plupart des cas la fonction de forme est une fonction linéaire, mais elle peut également être une fonction polynomiale (dans les éléments dits complexes). La formulation des matrices des éléments se fait à partir de la fonction d’interpolation de l’élément et des lois physiques du domaine d’énergie, c’est par exemple la loi de Hooke pour les problèmes d’élasticité mécanique ou la loi de Fourier du transfert de chaleur. Une fois les matrices établies le système d’équation à résoudre est de la forme :

(eq.16) Π=Λ-W

Où Π est l’énergie potentielle, Λ est l’énergie interne de déformation et W est l’énergie externe provenant des charges.

5.2.1.4 Le maillage

Le maillage consiste à discrétiser un domaine géométrique en un ensemble d’éléments géométriques primitifs. La Figure 73 montre différentes solutions de maillage appliquées à une structure en 3 dimensions, la figure (a) représente un maillage avec des éléments cubiques alors que le maillage des figures (b,c,d) a été réalisé avec des tétraèdres. On note qu’il est possible d’ajuster la densité d’éléments de manière uniforme (b) et (d) et non uniforme (c) de manière à augmenter la précision des calculs dans des zones sensibles. Le problème le plus fréquent dans le maillage géométrique est la concomitance des nœuds qui doit assurer la continuité du matériau.

5.2.1.5 Analyse structurelle

L'analyse structurelle est utilisée pour simuler les déformations et les contraintes de structures géométriques soumises à des charges. L'algorithme de résolution va alors chercher la solution pour laquelle l'énergie interne de déformation est égale au travail des forces externes. La Figure 74 montre une analyse structurelle en régime permanent d'une poutre soumise à une force à son extrémité. La figure représente la déformée de la poutre par rapport à sa forme initiale.

Figure 74 : Analyse structurelle de la déformation d'une poutre soumise à un encastrement à sa base et à l'application d'une force verticale à son extrémité.

5.2.1.6 Analyse couplée

L’analyse de champs couplée permet de simuler un système dans plusieurs domaines d’énergie couplés par des facteurs de jauge. Cette fonction est très intéressante pour les microsystèmes puisque les capteurs sont des systèmes permettant d’opérer la transduction d'un signal entre plusieurs domaines d’énergie, le dernier domaine étant presque tout le temps le domaine électrique. La simulation couplée peut alors s’opérer directement, c’est le cas des analyses électrothermiques ou thermo-mécaniques ou avec des techniques itératives pour les cas électrostatique-mécanique.

5.2.1.7 Analyse modale

L’analyse modale est une technique de résolution qui permet d’extraire les fréquences des modes de résonance mécanique. Lorsqu’un système mécanique est excité sur un de ses modes de résonance il va absorber un maximum de l’énergie d’excitation et offrir la plus grande déformation. L’analyse en éléments finis permet d’extraire facilement ces fréquences par des méthodes d’analyse harmonique. La Figure 76 montre les quatre premiers modes de résonance d’un micro-filtre capacitif dont on peut voir une image MEB sur la Figure 75. Le filtre est composé de deux électrodes fixes surmontée d’une structure en H suspendue. Lorsque la structure est excitée de manière électrostatique par une électrode, elle va entrer en résonance et la capacité variable formée par la structure mobile et la seconde électrode fixe va pouvoir fournir un signal électrique. La fréquence du signal électrique transmis sera alors déterminée par la fréquence de résonance mécanique de la structure.

Electrodes fixes

Structure résonante

Figure 75 Image MEB d’un filtre micro-électromécanique.

On remarque sur la Figure 76 les quatre premiers modes de résonance. Le premier mode correspond à un mouvement vertical en phase des deux plaques, le second mode correspond à un mouvement en opposition de phase quant aux suivants, beaucoup plus éloignés en fréquence, ils correspondent à des modes de résonance plus complexe.

(a) (b)

(c) (d)

Figure 76 : Analyse en éléments finis des modes de résonance d’un filtre micro-électromécanique, les quatre premiers modes sont représentés.

5.2.1.8 Analyse transitoire

différence de potentiel aux bornes de la résistance de chauffe et le résultat est la distribution de température à la surface du microsystème au cours du temps.

Figure 77 : Analyse électrothermique transitoire d’une poutre suspendue contenant une thermopile et une résistance chauffante à l’extrémité. L’analyse montre l’évolution de la distribution de température

à la surface de la micropoutre.