Chapitre I. Etude Bibliographique
I.3. Modélisation
I.3.1. Modèles de l’arc sous vide en régime diffus
I.3.1.1. Modèles magnétohydrodynamiques
La totalité des modèles MHD utilisés pour simuler la région d’écoulement hydrodynamique
s’appuie sur une description bi-fluide du plasma (ions et électrons) et utilise les équations de
conservation de matière, de quantité de mouvement et d’énergie établies par Braginskii [104].
Le système des équations MHD est généralement transformé en effectuant une réduction
magnétohydrodynamique (qui consiste à sommer les équations de transport de quantité de
mouvement associées aux ions et aux électrons), en négligeant le terme d’inertie dans
l’équation relative aux électrons. Cette dernière hypothèse permet également de réécrire
l’équation de conservation de la quantité de mouvement électronique sous la forme d’une loi
d’Ohm généralisée du plasma.
Le premier modèle présenté dans le Tableau I-3 a été développé à l’Université de Tel-Aviv
[68]. Il s’agit d’un modèle 2D-axisymétrique et en régime quasi-stationnaire, qui prend en
compte l’effet d’un AMF. La position de la frontière libre du plasma est calculée par le
modèle. S’il représente une avancée importante dans le domaine de la modélisation de l’arc
diffus, ce modèle contient encore nombre d’approximations, notamment le fait de considérer
les ions et les électrons comme isothermes et de négliger l’effet du champ magnétique induit.
Plus récemment, sur la base de ce modèle, les auteurs se sont intéressés au cas d’un arc diffus
colonnaire, en étudiant la stabilité d’un jet de plasma émis par un spot cathodique éloigné de
la colonne de plasma centrale [74].
Le second modèle présenté dans le Tableau I-3 [86] a été développé pour décrire le
comportement d’un arc sous vide dans un procédé de refusion métallurgique. Il s’agit à
nouveau d’un modèle 2D-axisymétrique en régime quasi-stationnaire. Le modèle inclut les
équations de conservation de l’énergie des ions et des électrons. Toutefois, la vitesse des
électrons est supposée proportionnelle à celle des ions. Par ailleurs, ce modèle ne prend pas en
compte les effets de l’induction magnétique propre du plasma.
La quasi-totalité des modèles, qui ont été développés par la suite, s’inspirent des travaux de
Schade et Shmelev [58]. Ces auteurs ont proposé en 2003 un modèle 2D-axisymétrique en
régime transitoire, qui intègre le calcul des températures électronique et ionique et rend
compte des effets de l’induction magnétique propre du plasma et d’un AMF externe.
Concernant le champ magnétique propre du plasma, sa composante azimutale est obtenue à
l’aide de l’équation d’induction magnétique, tandis que ses composantes radiale et axiale sont
obtenues par l’intermédiaire du potentiel vecteur magnétique azimutal. Le modèle de Schade
et Shmelev tient compte de la magnétisation des électrons et fait intervenir un terme de
transfert radiatif. Enfin, à la différence des modèles précédents, ce modèle est capable de
traiter non seulement le régime diffus supersonique mais aussi le régime diffus subsonique.
La Figure I-21 illustre un exemple de résultats de ce modèle montrant l’onde de choc formée
lors de la transition entre ces deux régimes.
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Figure I-21 : Carte de la pression ionique faisant apparaître une onde de choc, calculée pour un arc de 7,5kA contrôlé par un AMF de 5mT/kA [58].
Les travaux de Londer et Ul’yanov concernent eux aussi à la fois les régimes diffus
supersonique et diffus subsonique. Ces auteurs ont développé plusieurs modèles fondés sur
une géométrie 1D ou 2D axisymétrique en considérant ou non les variations des températures
électronique et ionique [89]. La principale particularité du modèle 2D est de proposer une
reformulation mathématique des équations de la MHD suivant une approche lagrangienne.
Cette reformulation a permis à ces auteurs de mettre en évidence l’existence de singularités
dans leur système d’équations, permettant d’établir la vitesse critique de transition entre les
régimes supersonique et subsonique [91].
Depuis plus d’une décennie, plusieurs modèles successifs ont été proposés par Wang et al. à
l’Université de Xi’an pour décrire la région d’écoulement hydrodynamique de l’arc. Tous
leurs travaux ont été développés à partir du logiciel ANSYS Fluent. Wang et al. ont d’abord
présenté en 2005 une modélisation 2D axisymétrique traitant du régime diffus supersonique,
étendue par la suite en 2007 au régime diffus subsonique. Leur modèle intègre les équations
de conservation d’énergie des ions et des électrons. La frontière latérale du plasma est traitée
comme une frontière libre mobile. A noter que contrairement au modèle de Schade et
Shmelev [58], Wang et al. ont choisi dans cette première version de leur modèle de calculer la
composante axiale du champ magnétique induit à l’aide de la loi de Biot et Savart et de
négliger la composante radiale du champ magnétique induit. Ce modèle 2D a été utilisé pour
étudier l’effet sur la constriction du courant à l’anode de différents profils radiaux (uniforme
ou non uniforme) de l’intensité de l’AMF. Certains des résultats de cette étude ont été
présentés dans le paragraphe I.2.1.2.3. En 2012, une version 3D du modèle a été publiée [94],
qui a été utilisée pour étudier le comportement d’un arc sous vide soumis à un profil d’AMF
réaliste produit par des contacts commerciaux [95].
Un modèle 3D, développé à l’intérieur du logiciel ANSYS CFX, avait déjà été présenté en
2008 par Hartmann et al. de la société Siemens [97]. Ce modèle dans ses développements les
plus récents a été utilisé pour simuler le comportement de l’arc pour de très grande distance
inter-électrodes (40mm) soumis à un profil radial d’AMF non uniforme [21]. Les transferts
radiatifs sont pris en compte à l’aide d’un modèle de rayonnement de type P1.
Le modèle présenté par Jadidian en 2009 [99] a été développé à l’aide du logiciel COMSOL
Multiphysics. C’est un modèle 2D-axisymétrique non stationnaire utilisant comme variables
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principales le potentiel électrique et le potentiel vecteur magnétique pour modéliser les
phénomènes électromagnétiques. Ce modèle se distingue par le domaine de calcul considéré.
Il ne simule pas uniquement le plasma à l’intérieur de l’espace inter-électrodes, mais
l’ensemble d’une ampoule à vide (Figure I-22), incluant les contacts ainsi qu’une bobine
chargée de générer un AMF très intense (jusqu’à ~10T). Cette bobine est susceptible en outre
d’être la source d’un plasma secondaire.
Figure I-22: Schéma du domaine de calcul considéré dans le modèle de Jadidian [99].
En 2010, Langlois a développé sous le logiciel ANSYS Fluent un modèle 2D axisymétrique
qui s’apparente à celui de Wang et al. [69]. Cependant, à la différence de ce dernier modèle,
le travail de Langlois tient compte de la composante radiale du champ magnétique induit. Par
ailleurs, s’inspirant de l’approche suivie par Londer et Ul’yanov [91], Langlois calcule le
champ magnétique induit dans le plan (r,z) à l’aide d’une formulation analytique de la loi de
Biot et Savart s’appuyant sur des intégrales elliptiques.
En 2014, Xiang et al. [101] ont présenté à l’aide du logiciel COMSOL Multiphysics un
modèle 2D axisymétrique en régime quasi-stationnaire, ayant pour principale spécificité
d’inclure un modèle de turbulence k-ε, qui selon les auteurs est indispensable lorsque le
régime d’écoulement des ions est supersonique.
Enfin, très récemment en utilisant un modèle similaire à la version 2D-axisymétrique du
modèle de Wang et al. [69] mais ne prenant en compte que la composante azimutale du
champ magnétique induit et considérant la frontière latérale du plasma fixe, Han et al. [103]
ont simulé l’écoulement du plasma d’arc pour de grandes distances inter-électrodes
(comprises entre 10mm et 50mm). Certains des résultats obtenus par ces auteurs sont
présentés sur la Figure I-23. Cette figure permet d’observer que la constriction du courant à
l’anode augmente avec la longueur d’arc.
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Figure I-23 : Profil radial de la densité de courant sur la frontière anodique calculé pour plusieurs distances inter-électrodes pour un arc d’intensité 15kA contrôlé par un AMF de 60mT entre deux
contacts de 30mm de diamètre [103].