3.3 Phénomènes d’adoucissement et de localisation
3.3.2 Les modèles locaux
α) Modèle visco-plastique avec effet retard
Dans ce type de modèle, on introduit un terme de viscosité pour régulariser la solution EF [Needlman, 1988; Marcin et al., 2010]. On considère que l’endommagement ne peut pas croître de façon instantanée, il s’agit là d’une régularisation visqueuse. Cette méthode est particulièrement délicate à utiliser car elle induit généralement une dépendance de la résistance à la vitesse de chargement.
β) Modèle d’interface avec des éléments de type « joint »
Dans cette approche les éléments finis (triangulaires) sont séparés par des éléments « joints » de très faibles épaisseurs. Les joints en contact entre les éléments finis constituent la zone d’interface permettant la localisation des fissures [Rossi and Richer, 1987]. Par sa formulation en déplacement, ce modèle présente l’avantage de ne pas nécessiter de régularisation. Par contre, il présente l’inconvénient de doubler le nombre de nœuds (pour traiter les contacts). De plus, il nécessite deux lois de comportement (une pour l’élément fini, l’autre pour l’interface) et reste difficile à mettre en œuvre pour des calculs tridimensionnels en raison des intersections entre les joints.
γ) Modèle d’Hillerborg et al. [1976]
La méthode dite d’Hillerborg et al. [1976] par son caractère local est la plus simple à implanter. De plus, elle permet de considérer plusieurs fissures localisées en un même point (croisement de fissures). D’après [Sellier and Bary, 2002; Sellier et al., 2013a], elle facilite nettement le traitement de l’anisotropie (voir également Meschke et al. [1998]). Lorsque la contrainte de traction maximale est atteinte dans un élément fini, la fissuration de traction se localise et la phase adoucissante du comportement démarre. La dissipation d’énergie a lieu dans l’élément fini le plus chargé. L’énergie dissipée est proportionnelle à la taille de l’élément et doit être égale à l’énergie de fissuration par unité de surface Gt
f. La taille de l’élément fini est par conséquent reliée à l’énergie de fissuration qui est donnée par la relation suivante :
Gt
f = A(σ,ε)ℓI (I.60) Où,
– A(σ,ε) représente l’aire sous la courbe de contrainte-déformation. – ℓI la taille de l’élément fini dans la direction principale de traction. δ) Modèle d’endommagement de [Sellier et al., 2013a]
On présente ici le modèle local d’endommagement anisotrope de [Sellier et al., 2013a] développé au LMDC. Ce modèle sera utilisé au cours de la thèse avec couplage fort à la théorie de la poro-mécanique. Il permet de modéliser divers aspects liés au comportement du béton tels que :
la dissymétrie des résistances en traction et compression,
les boucles d’hystérésis au cours des cycles d’ouverture et de refermeture de la fissure, le phénomène unilatéral...
Ce modèle se trouve également adapté pour traiter d’autres type de matériaux telles que la maçonnerie [Stablon, 2011] ou encore l’argilite [Rahal et al.,2013].
∗ Comportement en traction
En phase pré-pic, l’endommagement est faible et diffus. Dans cette phase, le modèle mécanique s’appuie sur la solution du problème d’homogénéisation car les fissures ne sont pas encore localisées. Une fois que le pic est franchi, en raison du comportement adoucissant du matériau, une fissure apparaît dans la zone de faiblesse ou la plus chargée. L’endommagement devient localisé, cela se traduit par la formation d’une macro-fissure localisée. Cette loi de comportement intègre les deux types d’endommagement (diffus et localisé) qui correspondent au franchissement du critère de Rankine. Elle présente l’avantage de passer d’une zone avec fissuration diffuse à une zone avec fissuration localisée sans remaillage ni enrichissement de la formulation.
La figure I.10 représente un élément fini présentant deux fissures orientées localisées, le Volume Élémentaire Représentatif de cet élément est endommagé par de la micro-fissuration diffuse également orientée.
1 1 2 2 3 Oriented micro-cracking
Oriented localized crack
Orthotropic localized crack Representative Elementary Volume Orthotropic micro-cracking Finite element
Figure I.10 – Représentation idéalisée d’un VER endommagé par de la micro-fissuration diffuse
[Sellier et al.,2013a].
L’endommagement diffus pré-pic de ce modèle est donné par : dtI = 1 − exp −m1t σe R I σt u !!mt (I.61) Avec, e σR
I qui représente la contrainte de Rankine dans la direction principale. σt
u et mt sont des paramètres du modèle, ils sont choisis de façon à ce que la loi de comportement passe par le point (εpic,t, Rt)
Lorsque la contrainte de traction maximale est atteinte dans l’élément, la fissuration de traction se localise et la phase adoucissante du comportement démarre. La dissipation d’énergie a lieu dans l’élément fini le plus chargé ou le plus faible. L’énergie dissipée est proportionnelle à la taille de l’élément et doit être égale à l’énergie de fissuration par unité de surface Gt f. Gtf = (Rt)2 2E + εt I Z εpic,t E(1 − dt I)εIdεI ℓI (I.62) Où, εt
I représente la déformation de rupture dans la direction principale et dépend de la taille de l’élément fini dans cette direction. En phase post-pic, les paramètres de la loi d’endommagement s’ajustent automatiquement à la taille de la maille dans la direction principale.
∗ Comportement en compression
En compression l’évolution de l’endommagement s’appuie sur un critère de comsion cisaillement. Ce critère rend compte de l’augmentation de la résistance avec la pres-sion de confinement. Le critère de Drucker-Prager permet de traiter ces deux aspects du comportement. Contrairement à la traction, les fissures de compression ne présentent pas d’orientation aussi marquée. Les observations expérimentales montrent que les éprou-vettes sont parfois « broyées ». La résistance de la zone toute entière est atténuée quelle que soit la direction de sollicitation. L’endommagement de compression est par conséquent modélisé de façon isotrope.
Comme pour la traction, l’endommagement diffus pré-pic s’appuie sur la théorie de l’ho-mogénéisation. Bien que celui-ci soit isotrope, il est évalué dans la direction principale de compression pour des raisons énergétiques.
dc = 1 − exp −m1c σe DP σc u !!mc (I.63) Avec, e
σDP qui représente la contrainte équivalente de Drucker-Prager. σc
u et mc sont des paramètres du modèle, ils sont choisis de façon à ce que la loi de comportement passe par le point (εpic,c, Rc)
Tout comme pour la traction, une fois que le pic de compression est franchi, la localisation débute dans la direction principale de compression.
La figure I.11 représente une courbe de contrainte-déformation simulée avec le modèle de [Sellier et al., 2013a] sous chargement cyclique. L’endommagement diffus pré-pic de compression ainsi que la dissymétrie des résistances en traction et compression y sont illustrés.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 x 10−3 −30 −27 −24 −21 −18 −15 −12 −9 −6 −3 0 3 εzz σzz (MPa) Localisation de la fissure par compression Critère de Drucker−Prager Endommagement diffus de compression Restitution de la raideur Localisation de la fissure par traction Critère de Rankine
Figure I.11 – Comportement du modèle de [Sellier et al., 2013a] sous chargement cyclique uniaxial : courbe de contrainte-déformation.
∗ Lois constitutives
Le modèle proposé par [Sellier et al., 2013a] permet de traiter l’effet unilatéral sans affecter les variables d’endommagement. Quand de la compression est appliquée sur le matériau après un chargement de traction (ayant franchi le pic), une contrainte de com-pression se développe parallèlement sur les bords de la fissureσef (elle est nulle en phase de propagation). Cette contrainte est intégrée à la loi de comportement présentée ci-dessous :
σ′ = (I − Dc)I− Dt e σ z }| { C0 : εe+ (I − Dc) Dt e σf=eσ−eσpl z }| { C0 :ε− εf (I.64) La contrainte principale dans la fissureσeIf dépend de l’ouverture de fissure wI. La fonction choisie permet de traiter l’évolution de cette contrainte avec la refermeture de la fissure.
e σIf = −Rt wref wI+ αwref ! × inf s wmax I εt IℓI ,1 ! (I.65) Avec, wmax
I est l’ouverture de fissure maximale du matériau lors de son histoire de chargement. wref est l’ouverture de fissure de référence. Ce paramètre correspond à l’ouverture de la
fissure pour σeIf = −Rt
Le coefficient α est choisi proche de zéro de façon à éviter la division par zéro si la compression est trop importante.
Le tenseur des contraintes plastiquesσepl est choisi de sorte queσef reste dans son domaine de validité en utilisant la méthode du retour radial.
Lorsque la fissure se referme sous l’action de la contrainte normale, les rugosités s’en-chevêtrent et permettent de faire transiter une contrainte de cisaillement. Celles-ci sont modélisées suivant le critère de Mohr-Coulomb où l’angle de friction interne φ permet de gérer l’intensité du frottement.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10−3 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 εzz σ zz (MPa) Franchissement du critère de refermeture de fissure Critère de refermeture non franchi Restitution de la raideur par chargement de compression sur les bords de la fissure
Boucles d’hystérésis (1−dt
I)E 0
Figure I.12 – Simulation d’une courbe de contrainte-déformation sous chargements cycliques avec le modèle de [Sellier et al.,2013a].
On représente sur la figureI.12, la réponse du modèle sous plusieurs cycles de chargement. Deux aspects importants du modèle y sont illustrés : la restitution de la raideur qui correspond au franchissement du critère de refermeture de fissure ainsi que les boucles d’hystérésis au cours des différents cycles, qui correspondent au refranchissement du critère de Rankine.
∗ Estimation de l’ouverture de fissure
Le modèle présenté permet d’accéder à l’ouverture de la fissure. En effet, il donne l’ou-verture des fissures localisées mais aussi leurs orientations. Il s’agit d’une approximation de l’ouverture et de son orientation, car la procédure numérique repose sur l’idéalisation du système de fissures en un « rotating crack » orthotrope.
Si un élément fini est soumis à une déformation mécanique supérieure ou égale à εt I
dans une direction principale de traction, alors cet élément fini est totalement déchargé dans cette direction. Par conséquent, le déplacement au bord de l’élément correspond à l’ouverture de fissure et sa densité de fissuration tend vers 1. Il est alors admis que l’ouverture de fissure dans la direction principale vérifie la condition suivante :
dt
La fonction choisie par [Sellier et al.,2012b] prend en compte cette condition. Elle permet d’accéder à l’ouverture de fissure depuis l’amorçage de la fissuration, celle-ci utilise la densité de fissuration dans la direction principale dt
I, pondérée par l’endommagement au pic de traction dpic,t :
wI = hσeIi+ ℓI E * dt I− dpic,t 1 − dpic,t + + (I.67) Dans ces conditions, seuls les contraintes effectives positives hσeIi+ ainsi que les endom-magements supérieurs à la valeur au pic peuvent ouvrir une fissure.
D’autres formulations comparables sont possibles afin d’obtenir une estimation de l’ou-verture de fissure [Matallah et al., 2010]. Elle peut également être estimée à partir de la déformation équivalente non locale du modèle de Mazars [Dufour et al., 2008].