Les modèles continus

Ce modèle correspond à la première approche où la perméabilité est représentée en fonction de l’endommagement. L’endommagement et la perméabilité sont supposés iso-tropes. La formulation de [Bourdarot, 1991] (cité par [Bary, 1996]) est donnée par la fonction suivante :

k = k0 kU

k0

!D

(I.88) Où, k0 est la perméabilité du matériau sain et kU est la perméabilité « ultime » du matériau totalement désagrégé. Cependant, l’auteur donne très peu d’information sur la façon de déterminer kU, ce qui rend son application très délicate.

Modèle de [Bary, 1996; Bary et al., 2000]

En s’inspirant des travaux de [Bourdarot, 1991], [Bary,1996] propose un modèle dans lequel la variation de perméabilité dans le plan est associée à une extension dans une direction perpendiculaire à ce dernier (car les ouvertures de fissures se font dans les di-rections d’extensions). Cela se traduit par un tenseur de perméabilité anisotrope qui est donné par la forme suivante :

k =     k₁(D+ 2, D₃⁺) 0 0 0 k2(D+ 1, D₃⁺) 0 0 k3(D+ 2, D₃⁺)     (I.89) Où, les D+

i sont les variables d’endommagement associées aux déformations d’extension dans la direction i.

Quand les deux directions perpendiculaires à la direction j sont soumises à de l’endom-magement, la valeur de la perméabilité dans la direction j est donnée par :

kj = α exp  β^X i6=j (D+ i )γ   (I.90)

Où, α, β et γ sont des paramètres matériaux. Dans son travail destiné aux barrages en béton, les paramètres du modèle prennent les valeurs suivantes : α = 8.10−8, β = 9, 43 et γ = 0, 859.

Le modèle (I.90) tel que présenté n’est valable que pour des chargements monotones, la refermeture de fissure n’affecte pas la perméabilité. Pour prendre en compte la diminution de la perméabilité avec la refermeture de la fissure, [Bary, 1996] introduit le terme Ri. Ainsi, si Ri = 0 on est en présence d’une fissure totalement ouverte et si Ri = 1 la fissure est totalement fermée (dans le plan perpendiculaire à la direction i).

La nouvelle expression de la perméabilité est alors, kj = 8.10−8exp  9, 43^X i6=j (1 − 0, 909Ri)0,756(D+ i )0,859   (I.91)

La figureI.52illustre la façon dont est construit le tenseur de perméabilité pour ce modèle (dans le cas de 2 fissures).

1 2

k₃ = α exp^β(D⁺₁)γ+ β(D₂⁺)γ

Figure I.52 – Illustration du principe de construction du tenseur de perméabilité pour le modèle de [Bary,1996].

Modèle de [Picandet, 2001; Picandet et al., 2001]

[Picandet et al., 2001] réalisent une étude sur trois types de béton : béton ordinaire, béton haute performance et béton haute performance renforcé par des fibres d’acier. La perméabilité au gaz est mesurée et l’endommagement est obtenu à partir de mesures par ultrasons. Les mesures sont réalisées avant et après chargement afin d’obtenir les modules élastiques initiaux et finaux.

Une fonction exponentielle est proposée pour exprimer la relation entre la perméabilité et l’endommagement :

k = k0exp^(αD)β

(I.92) Ici, α et β sont des coefficients de calage, fixés respectivement à 11,3 et 1,64 pour refléter au mieux le comportement des 3 bétons testés.

La fonction (I.92) est présentée sur la courbe I.53. Elle n’est valable que pour de faibles valeurs d’endommagement (comprises entre 0 et 0.15) qui correspondent à de la fissuration diffuse pré-pic. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 10⁰ 10¹ Endommagement dynamique k^D /k⁰ Exp. BO Exp. BHP Exp. BHPF Modèle de Picandet

Figure I.53 – Rapport des perméabilités sur échantillon endommagé et échantillon sain en fonction de l’endommagement dynamique [Picandet,2001].

Modèle de [Souley et al., 2001]

[Souley et al., 2001] proposent un modèle de perméabilité isotrope pour le compor-tement des granites. Dans cette approche, l’évolution de la perméabilité est donnée en fonction du rayon de la micro-fissure a.

Dans ce modèle un seuil de percolation ℓrat est introduit. Il s’apparente à une condition de création de connexions entre les micro-cavités.

L’expression générale du modèle est la suivante :

log ^k k0 ! = C ^a3 a³₀ − ℓ³rat ! si, ^a a0 ≥ ℓrat k = k0 si, ^a a₀ ^{< ℓrat} (I.93)

Où, a0 est le rayon initial.

Modèle de [Gawin et al., 2002, 2003]

Le modèle de [Gawin et al., 2002] correspond à une fonction logarithmique de l’en-dommagement mécanique, elle n’est valable que lorsque D ∈ [0, 2 − 0, 8]. Son expression est donnée par :

k= k0



10ADD

Ce modèle est enrichi par [Gawin et al.,2003] pour prendre en compte l’effet concomitant des endommagements thermique et mécanique. La relation suivante est alors proposée :

k= k₀f(T ) ^pg

p0

!A_p

10ADD

(I.95) La fonction f(T ) dépend du type de béton, sa forme générale est la suivante :

f(T ) = 10A2

T(T −T0)2+A1

T(T −T0) (I.96) Avec, A1

T et A2

T des constantes de calage.

D’après [Dal Pont, 2004], les effets de la température sont négligeables à l’échelle de l’endommagement macroscopique mécanique. À cet effet, il propose donc de se contenter de la forme I.94.

Modèle de [Jason, 2004; Jason et al., 2007]

Ce modèle présente l’intérêt de définir un seuil de percolation d’endommagement D0

à partir duquel une augmentation significative de la perméabilité est observée. Ainsi, en s’appuyant sur les travaux de [Gérard et al.,1996], [Picandet et al.,2001] et [Souley et al.,

2001], [Jason, 2004] propose la relation suivante :

k = k010C(D−D0) si, D > D0

k = k0 si, D ≤ D0

(I.97) Où, C est une constante qui est fixée à 8,67 et le seuil D0 est estimé à 0,035 par l’auteur à partir des résultats de [Picandet et al., 2001].

Rappelons que cette approche est utilisée dans le cadre d’un endommagement isotrope. Par conséquent, du fait que l’endommagement isotrope D ne puisse pas diminuer, la loi n’est pas sensible à l’orientation de la fissure et au relâchement des contraintes (tout se passe comme si les fissures restaient ouvertes après déchargement), ce qui constitue une limite du modèle.

Modèle de [Yang, 2011]

[Yang, 2011] choisit de faire dépendre la perméabilité de la déformation d’extension équivalente ǫb. À cet effet, la relation suivante est proposée :

k= k0  1 + m 1 −_{exp (n}¹ b ǫ) !2  (I.98) b

ǫest calculé à partir de la courbe de contrainte-déformation. La perméabilité est calée sur la base des résultats expérimentaux de pulse-test à partir de la variation de pression. Ici, n et m sont des paramètres de calage. Ils sont ajustés sur la courbe d’évolution de la perméabilité en fonction de la déformation équivalente d’extension.

[Yang, 2011] obtient pour un béton à base de CEM I (sous des pressions de confinement faibles et modérées) les valeurs de : m=360 et n=200.

Modèle de [Chen et al., 2014a]

Ce modèle qui dépend de la variable d’endommagement s’inspire également des travaux de [Souley et al., 2001]. Il est proposé pour le granite Beichan et permet de reproduire les résultats expérimentaux obtenus sous chargement déviatorique (i.e. diminution de la perméabilité avec l’accroissement de la pression de confinement). La forme de la loi de perméabilité est la suivante :

k = k0p^−β_c exp (α hD − D0i) ^(I.99)

Où, D0 correspond au seuil de percolation, α et β sont des paramètres de calage, ils contrôlent l’influence de l’endommagement et la pression de confinement pc sur la per-méabilité. La valeur de ces paramètres est la suivante :

               k0 = 8, 529.10−14cm2 β = 0, 3797 α= 0, 1715pc+ 5, 41 D0 = 0, 003874pc+ 0, 02296 (I.100)

Modèle de [Chen et al., 2014b]

Il s’agit là d’une généralisation du modèle de [Jason, 2004] dans le cas d’un tenseur de perméabilité anisotrope. Ainsi, de façon comparable au modèle de [Bary,1996], quand un chargement est appliqué dans la direction principale 1, la perméabilité croît dans les directions 2 et 3. La forme générale de la loi est la suivante :

ki = k₀10C(max(Dj,Dk)−D0) si, max(Dj, Dk) > D₀

ki = k0 si, max(Dj, Dk) ≤ D0

(I.101) Les valeurs des paramètres C et D0 restent conformes au modèle initial.