α) Fluide incompressible
Dans le cas d’un fluide incompressible, la perméabilité du milieu peut être directement obtenue en appliquant la relation de Darcy. Cette loi est rappelée dans l’équation ci-dessous :
q = −k
η grad p (I.68)
La loi de Darcy n’est valable que dans la mesure où l’écoulement du fluide percolant le milieu est de type laminaire, que les forces de viscosité du fluide sont prépondérantes par rapport aux forces d’inertie et que l’on néglige les interactions physicochimiques entre le milieu et le fluide.
Pour un écoulement unidirectionnel, le débit volumique Q (m3/s) du fluide est défini par :
Q= kS
η ∆p
L (I.69)
Avec, S la surface de percolation, L la longueur du matériau dans la direction du flux. β) Fluide compressible
La loi présentée pour la détermination de la perméabilité des fluides incompressibles ne peut être appliquée directement pour obtenir la perméabilité des gaz. En effet, le caractère compressible des gaz et leur écoulement non exclusivement visqueux à travers le milieu poreux sort du domaine de validité de la loi.
Ainsi, quand l’écoulement du gaz se fait de manière permanente, la vitesse varie en tout point avec la pression. Par contre, le débit massique reste constant, il est alors possible de déterminer la perméabilité apparente.
En supposant que la mesure du débit se fasse en sortie, la perméabilité apparente du matériau peut être évaluée par :
ka = 2ηpsLQs
(p2
s− p2e)S (I.70)
Où, Qs représente le débit volumique total mesuré en sortie. γ) Approche de Klinkenberg
[Klinkenberg,1941] propose une relation linéaire entre la perméabilité apparente ka et la perméabilité intrinsèque k.
ka= k 1 + β
pm !
Où, pmest la pression moyenne du gaz et β le coefficient intrinsèque de [Klinkenberg,1941]. Il traduit l’influence de la morphologie de l’espace poreux sur l’intensité du phénomène de glissement. Dans la relation (I.71), la perméabilité apparente évolue de façon linaire en fonction de l’inverse de la pression moyenne.
Écoulement par glissement
Écoulement visqueux 1 pm k ka βk
Figure I.13 – Détermination de la perméabilité intrinsèque par la méthode de [Klinkenberg,
1941].
Ainsi, la perméabilité intrinsèque k présentée sur le schéma I.13 correspond à la valeur de la perméabilité apparente lorsque pm tend vers l’infini. De plus, comme le coefficient β dépend de la morphologie et de la géométrie de l’espace poreux, il est formulé de la manière suivante par [Klinkenberg,1941] :
β = 4cλpm
r (I.72)
Où, c est une constante, λ le parcours moyen des molécules de gaz et r le rayon du pore. Ainsi, plus les pores sont « étroits » plus le coefficient β est élevé.
En pratique, la perméabilité au gaz k n’est jamais purement intrinsèque au milieu, car elle dépend du degré de saturation. En effet, elle diminue lorsque la saturation du milieu augmente.
δ) Approche de Carman
Dans cette approche la perméabilité apparente kaest définie à partir des perméabilités k et kgl. Elles correspondent respectivement aux perméabilités des écoulements visqueux et par glissement. Elles sont considérées comme intrinsèques au matériau.
De façon comparable à [Klinkenberg,1941], l’approche de [Carman, 1956] se traduit par plusieurs mesures de débits en changeant pour chaque essai la pression moyenne appliquée. Elle permet de déterminer les constantes dites de Carman Am et Bm.
psqs
L
Les coefficients Am et Bm sont estimés par corrélation. Ils sont donnés en fonction de k et kgl. Am = kM RT η Bm = 4 3kglq avec, q = s 8RT πM (I.74) Où, M et q sont respectivement la masse et la vitesse moléculaire. Le coefficient de Klinkenberg est alors défini de la façon suivante :
b= Bm Am = 4 3 k kgl ηq (I.75)
4.1.2 Mesure de la perméabilité en régime turbulent
α) Nombre de Reynolds
En fonction de la géométrie du réseau poreux et de la vitesse d’écoulement, il est possible de distinguer différents types d’écoulement. Lorsque la vélocité q du fluide aug-mente, on observe la formation spontanée de petits tourbillons dans la masse de fluide. Ces tourbillons génèrent une dissipation d’énergie supérieure à celle causée par l’écoule-ment laminaire. L’écoulel’écoule-ment devient alors turbulent. Le nombre de Reynolds permet de caractériser le mode d’écoulement d’un fluide, il se définit de la manière suivante :
Re= ρfqd
η (I.76)
Où, d correspond à la distance caractéristique de l’écoulement, elle est généralement prise égale au diamètre des pores (dans le cas d’une approche de type tubes capillaires) ou à l’ouverture de la fissure (dans le cas d’une approche de type plaques parallèles). q représente la vitesse moyenne. Pour de l’eau par exemple, si Re est inférieur à 2300, le régime d’écoulement est laminaire, lorsqu’il est supérieur à 3000, il est turbulent, entre les deux modes d’écoulement, ce sont les conditions d’écoulement transitoire.
β) Perméabilité pour un écoulement turbulent
Pour des vitesses élevées, l’écoulement se fait de manière turbulente. Dans ce cas, la contribution des écoulements par glissement peut être négligée. Les approches de type Klinkenberg ou Carman ne permettent pas d’évaluer la perméabilité de façon fiable. Ce phénomène est observable lorsqu’un gaz de faible viscosité traverse un réseau poreux dans lequel le milieu s’oppose faiblement à la percolation.
L’équation de [Forchheimer,1901] permet alors la détermination de la perméabilité intrin-sèque du milieu. Elle est valable aussi bien pour un liquide que pour un gaz. Elle repose sur l’idée que la résistance à l’écoulement du milieu poreux est une superposition de la résistance due aux forces d’inertie et de viscosité du fluide.
Cette loi est donnée par la relation suivante : − ∂p
∂z = αtηq+ βtρgq2 (I.77)
αt et βt sont dans la plupart des applications des coefficients constants. Le premier est équivalent à 1
k alors que βt est un coefficient correctif de la loi, il est principalement lié au réseau poreux.
Le terme de second ordre (ρgq2) traduit la perte de charge du fluide au cours de l’écou-lement. Cette perte de charge est proportionnelle à l’énergie cinétique du fluide. Ainsi, pour de faibles vitesses d’écoulement, le terme de second ordre (ρgq2) peut être négligé, on retrouve ainsi la loi de Darcy.
En supposant que le gaz est parfait et en appliquant le principe de conservation de la masse pour déterminer la vitesse du flux en sortie (coté aval), on peut montrer que l’expression de perméabilité apparente est donnée par :
1 ka = 1 k + βt M RT ps ηS ! Qs (I.78)
Cette relation présente l’inverse de la perméabilité apparente comme une fonction affine du débit sortant. L’intersection de cette courbe avec l’axe des ordonnées correspond à l’inverse de la perméabilité intrinsèque du milieu. De façon comparable à Klinkenberg, il est possible de déterminer l’allure de cette fonction en obtenant plusieurs valeurs de perméabilités apparentes issues de différentes mesures expérimentales des débits en régime turbulents.
Figure I.14 – Inverse de la perméabilité apparente en fonction du débit total [Picandet et al.,
2009].
La figure I.14 est issue de [Picandet et al., 2001], elle présente la courbe expérimentale de l’inverse de la perméabilité apparente en fonction du débit total dans le cas d’un écoulement turbulent.