La recherche bibliographique a montré qu’il était possible d’estimer numériquement les ouvertures de fissure. Celles-ci peuvent être évaluées en utilisant la taille de l’élément fini dans la direction de localisation [Sellier and Bary,2002;Matallah et al.,2010; Sellier et al., 2013a]. Cependant, un opérateur permettant d’estimer la taille des éléments n’est pas implémenté dans tous les codes de calcul. Sous le code aux éléments finis CAST3M, cet opérateur a été développé par Alain Millard. Il permet d’accéder aux tailles de l’élément fini quelle que soit sa forme.
Quand cette information n’est pas accessible, [Sellier et al., 2013a] proposent d’utiliser une approximation ℓI à partir du Jacobien J de la transformation géométrique. Cette méthode alternative a fait l’objet des travaux de [Stablon,2011] sur le code aux éléments finis ANSYS.
ℓI ≈ λ k J · eI k−1 (II.19)
Où, λ est un paramètre qui intègre la taille de l’élément de référence et le nombre de points d’intégration (λ = 2 dans le cas d’éléments cubiques à 8 points d’intégration). Dans d’autres cas, c’est une taille isotrope équivalente qui est considérée ℓeq. Elle est généralement estimée à partir du volume V de l’élément fini.
ℓeq =√3
V (II.20)
Cette dernière solution est la plus facile à mettre en œuvre, mais si la géométrie des mailles choisies n’est pas isotrope, la solution dépendra malgré tout du choix du maillage. Pour montrer les conséquences que pourrait entraîner une mauvaise estimation de la taille de l’EF, on propose le cas test suivant. Il consiste en un essai de traction uniaxiale suivant z. Il est réalisé sur un cube d’arête ℓ = 0, 1m en changeant à 3 reprises la discrétisation du maillage. 2,85 3,00 x y z RtMPa
Maillage 3 × 3 × 3 Maillage 3 × 3 × 9 Maillage 9 × 9 × 3
T
ra
ct
io
n
Figure II.27 – Représentation de la rangée d’élément imposée avec une résistance plus faible pour les différentes formes d’élément considérées.
La première discrétisation est réalisée sur une structure maillée avec des cubes de même dimension. Pour la deuxième, les éléments finis ont une forme aplatie. Enfin, pour la dernière, les éléments finis sont choisis avec une forme élancée (cf. figure II.27).
Pour chaque essai, les réponses mécaniques sont comparées en fonction de la taille des éléments choisis pour le calcul (taille isotrope ou taille réelle anisotrope de l’élément). Enfin, pour forcer la localisation, la résistance est imposée plus faible sur une rangée d’éléments. Dans cette zone, la résistance est de 2,85MPa alors qu’elle est de 3MPa partout ailleurs (cf. figure II.27), le modèle est régularisé en énergie de fissuration.
Le tableau II.3 regroupe les paramètres matériau considérés pour cette étude.
Tableau II.3 – Paramètres matériau utilisés pour l’étude paramétrique justifiant les avantages d’un calcul avec une taille anisotrope.
Paramètres mécaniques Symbole Valeur Unité
Module d’élasticité E0 31000 MPa
Coefficient de Poisson ν0 0,2
Résistance à la traction Rt 3 et 2,85 MPa Déformation au pic de compression εpic,t 1, 2Rt/E0
Énergie de fissuration en traction Gt
f 10-4 MJ/m2
∗ Pour la première discrétisation, la structure est maillée avec des éléments parfaite-ment isotropes. Dans ces conditions, la longueur de l’éléparfaite-ment est isotrope et égale à une longueur notée ℓeq.
ℓzz = ℓeq
La réponse du modèle en terme de force-déplacement est donnée sur la figureII.28.
0.0167 0.0116 0.00801 0.00556 0.0167 0.0116 0.00801 0.00556 ℓeq= 1, 67.10−2 ℓzz= 1, 67.10−2 0 50 100 150 200 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Déplacement Uz (µm) Force F z MN Taille isotrope Taille anisotrope
Figure II.28 – Essai de traction uniaxiale avec des éléments isotropes : comparaison des réponses avec une taille isotrope ou anisotrope.
∗ Pour la deuxième discrétisation avec des éléments finis aplatis :
Quand le comportement adoucissant débute, la dissipation se localise dans l’élément le plus faible. L’énergie dissipée devient proportionnelle à la taille de l’élément fini.
Or, cette énergie doit être égale aux taux de restitution d’énergie Gt
f. Pour satisfaire cette condition, le modèle de [Sellier et al., 2013a] traite la localisation avec la méthode d’Hillerborg et al. [1976], on doit alors vérifier l’équation (II.21) :
Gt
f = A(σ,ε)ℓI (II.21) Où, A(σ,ε) représente l’aire sous la courbe de contrainte-déformation.
Si les éléments finis sont aplatis, on a :
ℓzz < ℓeq
Ce qui se traduit dans ce cas au niveau de l’aire sous la courbe de comportement par :
Aanisotrope(σ,ε) > Aisotrope(σ,ε)
Ainsi, en l’absence de modification de l’aire A(σ,ε), la réponse structurelle dépend de la taille des éléments (cf. figure II.29).
0.0167 0.0116 0.00801 0.00556 0.0167 0.0116 0.00801 0.00556 ℓeq= 1, 16.10−2 ℓzz= 0, 55.10−2 0 50 100 150 200 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Déplacement Uz (µm) Force F z MN Taille isotrope Taille anisotrope
Contrôle de l’énergie dissipée par une taille d’élément anisotrope
⇒ La réponse est correcte Contrôle de l’énergie dissipée par une taille d’élément isotrope
⇒ La réponse est erronée
Figure II.29 – Essai de traction uniaxiale avec des éléments aplatis : comparaison des réponses avec une taille isotrope ou anisotrope.
∗ Pour la troisième discrétisation avec des éléments finis élancés dans la direction d’application de l’effort, on retrouve le schéma inverse. C’est-à-dire que la longueur équivalente isotrope ℓeq est plus petite que la taille réelle de l’élément ℓzz.
ℓzz > ℓeq
On devrait avoir :
Aanisotrope(σ,ε) < Aisotrope(σ,ε)
Si la correction d’énergie n’est pas réalisée correctement, la réponse du modèle est de nouveau erronée (cf. figure II.30).
0.0167 0.0116 0.00801 0.00556 0.0167 0.0116 0.00801 0.00556 ℓeq= 0, 80.10−2 ℓzz= 1, 67.10−2 0 50 100 150 200 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 Déplacement Uz (µm) Force F z MN Taille isotrope Taille anisotrope
Contrôle de l’énergie dissipée par une taille d’élément anisotrope
⇒ La réponse est correcte Contrôle de l’énergie dissipée par une taille d’élément isotrope
⇒ La réponse est erronée
Figure II.30 – Essai de traction uniaxiale avec des éléments élancés : comparaison des réponses avec une taille isotrope ou anisotrope.
Finalement, on constate que seule la correction anisotrope de la loi de compor-tement permet d’assurer l’objectivité de la réponse mécanique quelles que soient la forme et la taille de l’élément. C’est pour cette raison que l’opérateur taille de CAST3M est utilisé dans les modèles d’endommagement [Sellier et al., 2013a]. Comme la réponse obtenue en terme de Force-Déplacement est alors indépen-dante du maillage et que ce déplacement correspond à l’ouverture de fissure lorsque l’endommagement est important, l’utilisation des ouvertures de fissure et des tailles anisotropes assure automatiquement l’objectivité de la réponse hy-draulique.
Nous allons maintenant nous attacher à vérifier cette objectivité par rapport à la réponse hydraulique.
3 Mise en œuvre et utilisation
Dans cette section, la validité du modèle de perméabilité est testée. À cette fin, il a été implémenté dans le code aux éléments finis CAST3M.
La première partie de ces tests est réalisée sur un seul élément fini, il s’agit : d’un essai uniaxial d’ouverture et de refermeture de fissure, d’un essai de traction bidirectionnel (ou-verture de deux fissures perpendiculaires sur le même élément) et d’un essai de cisaillement pur.
La deuxième partie de ces tests concernera des « structures » maillées avec plusieurs éléments. Le but de ces essais est de vérifier l’objectivité de la réponse hydraulique. Ils comprendront : un essai de traction uniaxiale avec présence d’un maillon faible pour forcer la localisation ainsi qu’un essai de cisaillement.
Dans chacun de ces essais, un gradient de pression est imposé sur l’élément, afin que le fluide traverse la face fissurée. Les débits totaux ainsi que les perméabilités sont analysés en fonction des différents états de fissuration rencontrés.
Ces tests sont réalisés avec le même jeu de paramètres. Ils correspondent à ceux que l’on peut trouver dans la littérature pour un « béton ordinaire » [Sellier et al., 2013b]. Ces paramètres sont regroupés dans le tableau ci-dessous.
Tableau II.4 – Paramètres matériau utilisés pour les cas tests élémentaires.
Paramètres mécaniques Symbole Valeur Unité
Module d’élasticité E0 31000 MPa
Coefficient de Poisson ν0 0,2
Résistance à la compression Rc 30 MPa
Déformation au pic de compression εpic,c 2.10-3
Énergie de fissuration en compression Gc
f 5.10-3 MJ/m2
Résistance à la traction Rt 3 MPa
Déformation au pic de traction εpic,t 1, 2Rt/E0
Énergie de fissuration en traction Gt
f 10-4 MJ/m2
Coefficient de Drucker-Prager δ 1
Ouverture de fissure de référence wt
ref 5 µm
Contrainte de refermeture de fissure σref 8 MPa Angle de friction interne dans les fissures φ 45 Degrés
Paramètres hydromécaniques Symbole Valeur Unité
Coefficient de Biot initial b 0,3
Perméabilité intrinsèque initiale k0 10-18 m2
Viscosité dynamique de l’eau η 10-9 MPa.s
Ouverture de réf. pour la loi de Poiseuille wref 16 µm
Coefficient réducteur de débit ξ 1
Seuil de percolation de la perm. en compression εperc
εDP,pic 0,87 Exposant de la loi de perm. en compression α 2,12