4. Chapitre 4 : Modélisation du comportement mécanique du composite
4.2. Homogénéisation analytique
4.2.2. Méthodes d’homogénéisation analytiques
4.2.2.1. Modèles linéaires couramment utilisés
L’objectif de ces modèles micromécaniques est de déterminer les tenseurs de localisation. Les modèles les plus répandus se basent sur le principe d’Eshelby selon lequel une inclusion ellipsoïdale est diluée dans une matrice supposée infinie tel que montré en figure 4.5 :
(4.6)
(4.7)
86 | P a g e Figure 4.5 : Homogénéisation selon le principe d'Eshelby [129]
Ce principe néglige donc les interactions entre les inclusions, et est ainsi pertinent pour des taux de renfort relativement faibles. La déformation étant appliquée sur le milieu équivalent, la déformation subie par l’inclusion va donc dépendre de la déformation subie par sa matrice environnante tel qu’exprimé par l’équation (4.9) :
𝜀
𝑟= 𝑇
𝑟𝜀̅
𝑟𝑒𝑓Où
𝑇
𝑟 est le tenseur d’interactions.Les différents principes d’homogénéisation se différencient de par la définition du comportement de référence de la matrice environnante. La définition des tenseurs de localisation est donc dépendante de la méthode micromécanique utilisée.
Schéma auto-cohérent
Le schéma auto-cohérent se base sur le principe d’Eshelby montré plus haut et développé initialement pour l’étude du comportement mécanique des polycristaux et couramment utilisé pour l’homogénéisation des composites renforcés [130-134]. Cette méthode a la particularité d’être implicite. En effet, la philosophie de ce schéma est de se placer dans le cas d’une particule ellipsoïdale diluée dans une matrice infinie, de la même manière que dans le cas du principe d’Eshelby, à la différence que le comportement de la matrice est considéré comme étant le comportement du milieu équivalent, restant à déterminer.
Cette approche en fait une méthode itérative, le résultat de chaque itération dépendant du résultat de l’itération suivante.
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Modèle de Mori-Tanaka
Contrairement au schéma auto-cohérent, le modèle de Mori-Tanaka se veut explicite. Toujours en se basant sur le principe d’Eshelby selon lequel une inclusion est diluée dans une matrice infinie, le comportement mécanique de cette matrice est considéré comme étant celui de la matrice du milieu hétérogène [135]. La déformation de référence Eref et le tenseur de rigidité de référence Lref sont donc considérés comme étant respectivement E0 et L0.
La détermination de la déformation de l’inclusion devient alors :
𝜀
𝑟= 𝑇
𝑟𝜀̅
0Il est alors possible d’exprimer l’équation (4.2)avec les concentrations volumiques :
𝜀̅ = (∑ 𝐶
𝑟𝑇
𝑟𝑁
𝑟=0
) 𝜀̅
0En combinant cette équation avec l’équation (4.10), il est alors possible de retrouver la déformation dans chaque phase :
𝜀
𝑟= 𝑇
𝑟(∑ 𝐶
𝑟𝑇
𝑟 𝑁 𝑟=0)
−1𝜀̅
Le développement de cette expression permet de retrouver les tenseurs de localisation en déformation Ar dont le tenseur lié à la matrice A0. Comme pour le problème d’Eshelby, cette méthode peut être reconduite en considérant la contrainte effective du milieu équivalent pour retrouver les tenseurs de localisation en contrainte Br et B0:
𝐴
𝑟= 𝑇
𝑟(∑
𝑁𝐶
𝑟𝑇
𝑟 𝑟=0)
−1𝐴
0=
1 𝑐0(𝐼 − ∑
𝑁𝐶
𝑟𝑇
𝑟 𝑟=0)
𝐵
𝑟= 𝐿
𝑟𝑇
𝑟𝑀
0(∑
𝑁𝑟=0𝐶
𝑟𝐿
𝑟𝑇
𝑟𝑀
0)
−1𝐵
0=
1 𝑐0(𝐼 − ∑
𝑁𝑟=0𝐶
𝑟𝐵
𝑟)
Grâce notamment aux travaux plus récents sur cette méthode, le modèle de Mori-Tanaka est aujourd’hui un des modèles micromécanique d’homogénéisation les plus populaires et un des plus fiables, également pour des taux de renfort plus élevés que ceux considérés dans le problème d’Eshelby [136-139]. C’est pourquoi cette méthode a été sélectionnée pour la détermination du comportement du PPS/GF40.
D’autres méthodes existent, pouvant s’avérer plus pertinentes en fonction des constituants du composite, comme la méthode de Ponte Castañeda pour les matériaux hyperélastiques [140-142].
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
88 | P a g e
Décomposition par pseudo-grains
L’application de cette méthode de Mori-Tanaka ne peut cependant se faire directement. En effet, le but étant de réaliser des corrélations avec les résultats expérimentaux présentés en chapitre 2, il est impératif de prendre en considération la microstructure de l’éprouvette. Comme présenté en section 1 de ce chapitre, la microstructure cœur-peau du VER induit plusieurs orientations des fibres. Or, les méthodes présentées sont développées pour une seule orientation de fibres.
Ces différentes orientations de fibres peuvent être considérées grâce aux tenseurs d’orientations déterminés à partir des simulations d’injection. Ces tenseurs d’orientations d’ordre 4 sont fonction de la Fonction de Distribution d’Orientation (FDO ou ODF). Cette fonction de distribution détermine la probabilité de trouver une inclusion selon une orientation donnée. Cette fonction, associée à la Fonction de Distribution de Longueur (FDL ou LDF) permettent une reconstruction fidèle du VER pour les calculs. Il est néanmoins rare de pouvoir obtenir l’ODF ou les tenseurs d’orientation d’ordre 4. Les simulations d’injection par exemple, permettent d’obtenir des tenseurs d’orientation d’ordre 2, ce qui est néanmoins suffisant.
Les orientations de chaque fibre étant alors connues au sein du VER, une homogénéisation peut alors être effectuée en deux étapes. La microstructure étant complexe et le modèle de Mori-Tanaka étant plus facilement applicable pour une orientation de fibre donnée, une décomposition en pseudo-grain du VER est effectuée afin d’éviter le maximum de fluctuations mathématiques. Ces pseudo-grains rassemblent dans chacun d’eux toutes les fibres ayant la même orientation dans un échantillon de matrice de telle sorte que la fraction volumique des fibres dans chaque grain soit équivalente à ce qui a été déterminé via l’ODF et le LDF.
Une homogénéisation par le modèle de Mori-Tanaka est alors possible dans chaque partie. Le comportement équivalent de chaque pseudo-grain déterminé, une seconde homogénéisation est ensuite réalisée sur ces différents comportements équivalents afin d’obtenir le VER homogénéisé, comme présenté en figure 4.6 :
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En général, la seconde homogénéisation est réalisée grâce au modèle de Voigt [143]. Ce modèle est donc utilisé pour satisfaire aux conditions imposées par la complexité du VER et pour les bonnes performances dont il fait preuve [144-148].