Méthodes de linéarisations

Les méthodes d’homogénéisation présentées sont toutes basées sur le principe d’Eshelby. Dans ces modèles micromécaniques, le comportement des phases est considéré élastique. Le comportement équivalent du milieu homogénéisé, caractérisé uniquement par un tenseur de rigidité équivalent est donc également supposé élastique. Or, le comportement mécanique de la matrice PPS observé en chapitre 2 n’est clairement pas uniquement élastique. Ce comportement a de ce fait été modélisé comme étant un comportement comprenant une partie inélastique ou pseudo-plastique en chapitre 3. De plus, bien qu’à température ambiante le composite puisse être assimilé à un matériau possédant un comportement purement élastique, une partie inélastique est observable et devient de plus en plus importante au fur et à mesure que la température augmente. Ainsi, afin de pouvoir réaliser des estimations du comportement du composite fidèles aux observations expérimentales pour toutes conditions testées, la considération du comportement non linéaire de la matrice est primordiale.

Il est possible de prendre en compte cette non-linéarité sans remettre en cause l’utilisation du modèle de Mori-Tanaka ou de la décomposition en pseudo-grains. En effet, la majorité des matériaux présentant des non linéarités dans leur comportement, très tôt des méthodes de linéarisation ont été développées et optimisées par la suite. Ces méthodes reposent sur une discrétisation du comportement inélastique de manière assez fine afin de pouvoir considérer chaque élément comme étant linéaire.

 Méthodes sécantes

Les méthodes sécantes ont été une des premières méthodes développées [150]. L’utilisation d’une méthode sécante a d’abord été destinée à modéliser les comportements élasto-plastique. Elles se basent sur la définition d’un tenseur des rigidités pour un état inélastique du matériau, comme illustré en figure 4.7 :

90 | P a g e Figure 4.7 : Illustration du principe de la méthode sécante [149]

Une telle méthode permet d’approximer le comportement comme étant fonction de cet opérateur sécant :

𝜎 = ℂ

∶ 𝜀

Cette méthode étant assez simpliste, elle ne peut être appliquée que pour retrouver des comportements obtenus via des sollicitations monotones ou proportionnelles.

D’autres méthodes, plus générales, ont par la suite été développées afin de pouvoir considérer n’importe quel type de chargement ainsi que son historique.

 Méthodes incrémentales

La faiblesse de la méthode sécante résidait dans une approximation du module sécant qui pouvait être éloignée du comportement de base du matériau à définir, de par la définition linéaire de ce module à partir de l’origine de la courbe.

La méthode incrémentale, bien que mathématiquement proche des méthodes sécantes, s’affranchit de la dépendance à l’origine de la courbe de ces dernières, puisque la méthode incrémentale définit son point de départ à chaque incrément, comme illustré en figure 4.8 :

91 | P a g e Figure 4.8 : Illustration du principe de la méthode incrémentale [149]

L’origine de la droite approximative du comportement étant évolutive, sous réserve d’incréments assez petits, la tangente ainsi calculée permet de représenter de manière bien plus précise le comportement inélastique. Par ailleurs, le formalisme de cette méthode reste simple, à l’instar de celui développé dans le cadre des méthodes sécantes :

𝜎̇ = ℂ

∶ 𝜀̇

Cette méthode étant incrémentale, sa mise en application se fait de manière numérique. D’un point de vue numérique, le calcul de la dérivée se fait donc via une discrétisation :

∆𝜎 ≈ ℂ

∶ ∆𝜀

Cette méthode a montré de bons résultats lors de son application sur des matériaux elasto-plastiques et, de par sa prise en compte de la vitesse de déformation, peut également s’appliquer à des matériaux présentant des dépendances à ce paramètre, tels que les matériaux élasto-viscoplastiques [151-154].

 Méthode affine

La méthode affine se base également sur la définition d’un module tangent, comme la méthode incrémentale. Cependant, cette méthode diffère de la méthode incrémentale dans son formalisme de par sa relation pseudo-affine [155-157], comme illustré en figure 4.9 :

(4.16a)

92 | P a g e Figure 4.9 : Illustration du principe de la méthode affine [149]

Cette différence va se matérialiser par un formalisme mathématique qui va différer des méthodes précédentes par la présence d’un tenseur de contraintes polarisées, comme exprimé dans l’expression (4.17) :

𝜎 = ℂ

∶ 𝜀 + ⁡𝜏

Cette méthode, appliquée aux matériaux présentant un comportement élasto-viscoplastique, se révèle plus performante et plus fiable que la méthode incrémentale [158].

 Méthode affine incrémentale

Cette méthode a été développée par Doghri [159, 160]dans le but d’améliorer les performances de la méthode incrémentale sur des matériaux élasto-viscoplastiques. Sa particularité est de combiner des méthodes numériques de discrétisation et d’itération avec des méthodes analytiques de linéarisation. Dans la pratique, le comportement pour des déformations inélastiques est linéarisé pour chaque incrément tout en dépendant de l’incrément suivant. Les équations linéarisées sont ensuite résolues via la méthode implicite d’Euler. Cette méthode particulière de résolution est illustrée en figure 4.10, en comparaison avec les méthodes précédemment présentées.

Figure 4.10 : Illustration du principe de la méthode affine incrémentale [149]

93 | P a g e

Cette méthode se traduit donc mathématiquement et numériquement par :

∆𝜎 ≈ ℂ

∶ (∆𝜀 − ∆𝜀

)

On retrouve alors un formalisme proche de celui de la méthode incrémentale tout en présentant également un tenseur de contraintes polarisées, comme dans le cas de la méthode affine qui offrait de bons résultats sur son application à des matériaux élasto-viscoplastiques. Pour les bons résultats qu’offre la méthode de linéarisation affine, cette dernière est utilisée afin de linéariser le modèle décrivant le comportement de la matrice PPS développé en chapitre 3.

Cette méthode a ensuite été généralisée plus tard pour une application aux matériaux viscoélasto-viscoplastiques. Le modèle développé en chapitre 3 ayant un formalisme simple, il n’a pas été nécessaire d’utiliser cette version de la méthode [161].

Les méthodes de linéarisation présentées sont dites du premier ordre. Ainsi, pour les matériaux inélastiques d’une manière générale, l’opérateur tangent est déterminé avec le champ de déformation moyen de chaque phase [162, 163].

Une variante dite du second-ordre a été développée afin de réduire de manière importante les fluctuations mathématiques et améliorer la précision de l’extrapolation sur les parties non-linéaires [140, 150]. Alors que les méthodes du premier ordre utilisent le champ de déformation moyen comme référence, la méthode du second ordre considère également la variance du champ de déformation. Cette information d’ordre statistique supplémentaire permet ainsi de mieux considérer la complexité du champ de déformation réel du matériau en n’étant plus restreint à sa seule moyenne.