2.2 Les modèles d’optimisation associés aux problèmes de planification de la
2.2.1 Modèles de planification des processus amont
a) Le modèle UPIT
Pour la détermination de la fosse finale on utilise le modèle dit UPIT en référence au problème traité.
La seule contrainte considérée est la contrainte de précédence dans l’extraction des blocs qui permet de respecter les angles de sécurité pour accéder à un bloc : contrainte de pente "Pit slope rules" [Newman et al., 2010].
L’objectif de ce modèle est de résoudre le problème des limites de la fosse finale de la mine et par conséquent de définir les blocs à extraire.
On associe à chaque bloc extrait un gain potentiel, on définit alors une valeur globale pour un gisement en considérant le gain associé pour l’ensemble des blocs : la valeur maximale du gisement minier.
Indices et ensembles β : Ensemble des blocs b du gisement βb : Ensemble des bloc b0 prédécesseurs des blocs b
Paramètres Pb : Profit associé à l’extraction d’un bloc b.
Variables xb = 1 Si le bloc b est inclus dans la mine finale, 0 sinon.
max : P
b∈B
pbxb (2.1)
La fonction objectif : (2.1) maximise le profit lié à l’activité d’extraction.
Sous les contraintes :
xb ≤ xb0 ∀b ∈ β, ∀b0 ∈ βb (2.2)
xb ∈ {0, 1} ∀b ∈ β (2.3)
Description : (2.1) traduit la fonction de maximisation du profit.
(2.2) traduit la contrainte de précédence lors de l’extraction d’un bloc i.e. on en peut extraire un bloc b0 sans avoir extrait les blocs adjacents b de b0. Cette contrainte est également appelée la contrainte de pente Pit slope rules, [Newman et al., 2010].
Enfin, (2.3) montre le caractère binaire de la décision.
La question de l’extraction peut se poser sous les contraintes de capacité. Ainsi, on rencontre dans la littérature des études avec des extensions du problème UPIT. C’est l’objet du modèle suivant.
b) Le modèle CPIT (Capacited Open Pit model )
Pour le problème de détermination des fosses imbriquées on utilise le modèle dit CPIT. La contrainte de capacité est caractéristique de ce modèle.
L’objectif est de déterminer les blocs à extraire sous les contraintes de capacité d’extraction (en termes de ressources humaines et machines).
Indices et ensembles β : Ensemble des blocs b du gisement. βb : Ensemble des blocs b0 prédécesseurs des blocs b.
R : Ensemble des ressources r.
Paramètres Pp : Profit obtenu par l’extraction d’un bloc b.
Rr : Capacité minimale disponible. Rr : Capacité maximale disponible.
qb,r : quantité de ressource r nécessaire pour extraire et traiter un bloc b.
Variables xb = 1 Si le bloc est inclus dans la mine finale, 0 sinon.
max : P
b∈B
pbxb (2.4)
La fonction objectif : (2.4) maximise le profit lié à l’activité d’extraction, sous les contraintes ci-dessous. xb ≤ xb0 ∀b ∈ B, ∀b0 ∈ βb (2.5) Rr ≤ P b∈B qb,r∗ xb ≤ Rr ∀r ∈ R (2.6) xb ∈ {0, 1} ∀b ∈ β (2.7)
Description :Pour le modèle CPIT, on reprend les mêmes contraintes que pour le modèle UPIT en ajoutant la contrainte de capacité i.e : équation (2.6). Cette contrainte de capacité traduit l’effort nécessaire en termes de ressources pour extraire un bloc.
c) Le modèle CDOP (Capacitated Dynamique Open Pit limit )
Pour le problème d’ordonnancement des blocs miniers on utilise le modèle dit CDOP. Lorsqu’on ajoute aux modèles précédents la dimension temporelle on parle de modèle CDOP. Dans [Johnson and Niemi, 1983], on constate que la classe de problème associé à ce modèle (CDOP) est fortement NP-Dificile.
Indices et ensembles τ : Ensemble des périodes de l’horizon β : Ensemble des blocs b du gisement
βb : Ensemble des blocs b0 prédécesseurs des blocs b
R : Ensemble des ressources r
Paramètres Pb,t : Profit obtenu par l’extraction et la transformation d’un bloc b à la
période t.
Rr,t : Capacité minimale disponible à la période t. Rr,t : Capacité maximale disponible à la période t.
Variables xb,t = 1 Si un bloc b est extrait à la période t, 0 sinon.
max : P b∈B P t∈T pb,t∗ xb,t (2.8)
La fonction objectif : (2.8), maximise le profit lié à l’activité d’extraction pour l’ensemble des périodes, sous les contraintes ci-dessous.
P τ ≤t xb,τ ≤ P τ ≤t xb0,τ ∀b ∈ B, ∀b0 ∈ Bb (2.9) P t∈τ xb,t≤ 1 ∀b ∈ B (2.10) Rr,t ≤ P b∈B qb,r∗ xb,t≤ Rr,t ∀t ∈ τ, ∀r ∈ R (2.11) xb,t∈ {0, 1} ∀b ∈ B, ∀t ∈ τ (2.12) Description :
Pour le modèle CDOP, on reprend les mêmes contraintes que pour le modèle CPIT en ajoutant à chaque contrainte la dimension temporelle ; (2.8) correspond à l’objectif de maxi- misation du profit pour un horizon donné ; (2.9) traduit la contrainte de précédence entre les blocs ; (2.10) définit le fait qu’un bloc ne peut être qu’à une unique période t ; (2.11) traduit la contrainte de capacité sur une période t ; (2.20), traduit la contrainte binaire de la décision d’extraction associée à un bloc.
Le modèle CDOP avec contraintes de destination
Indices et ensembles τ : Ensemble des périodes de l’horizon β : Ensemble des blocs b du gisement
βb : Ensemble des blocs b0 prédécesseurs des blocs b
R : Ensemble des ressources r
D : Ensemble des destinations possibles d pour un bloc b
Paramètres Pp(pb,d,t) : Profit obtenu par l’extraction et la transformation d’un bloc b à
la période t et envoyé vers une destination d afin de subir une transformation spécifique. a : Coefficient associé au profit, ce taux est utilisé pour le calcul de la fonction objective. qb,r : quantité de ressource r nécessaire pour extraire et traiter un bloc b
Rr,t : Capacité minimale de la ressource r à la période t. Rr,t : Capacité maximale de la ressource r à la période t.
Variables xb,t = 1 Si un bloc b est extrait à la période t, 0 sinon.
yb,d,t : Partie d’un bloc b envoyé vers une destination d à la période t.
max : P b∈B P d∈D P t∈T pb,d,t∗ yb,d,t (2.13)
La fonction objectif : (2.13) maximise le profit suite à l’orientation des blocs extraits vers les stocks adéquats ; sous les contraintes ci-dessous.
P τ ≤t xb,τ ≤ P τ ≤t xb0,τ∀b ∈ B, ∀b0 ∈ Bb (2.14) P t∈τ xb,t≤ 1∀t ∈ τ (2.15) Rr,t ≤ P b∈B P d∈D qb,r∗ yb,d,t≤ Rr,t∀r ∈ R∀t ∈ τ (2.16) xb,t= P d∈D yb,d,t∀b ∈ B, ∀t ∈ τ (2.17) yb,d,t∈ {0, 1} ∀b ∈ B, ∀d ∈ D, ∀t ∈ τ xb,t∈ {0, 1} ∀b ∈ B, ∀t ∈ τ (2.18) Description :
de maximisation du profit ; (2.14) présente la contrainte de précédence à respecter lors de l’extraction des blocs ; (2.15) impose qu’un bloc soit extrait qu’une et une seule fois ; (2.16) traduit la contrainte de capacité pour la ressource r pour la période t ; (2.17) traduit le fait que le choix de destination ne peut être fait que sur un bloc extrait et qu’un bloc non extrait n’est pas soumis à un choix de destination i.e. de traitement ; (2.18) traduit le caractère binaire du choix de destination (le bloc b est envoyé ou non à la destination d à la période t) et d’extraction (le bloc b est extrait à la période t).
D’autres contraintes doivent être prises en compte pour l’optimisation de l’exploitation d’une mine à ciel ouvert. La section suivante focalise sur les décisions en aval qui sont liées au transport, au tri, au mélange, au stockage et à la transformation.