Après avoir revu les principaux concepts de la modélisation des batteries, cette section décrit les modèles les plus importants qui peuvent être utilisés dans la pratique pour représenter le comportement d’une batterie en cours de fonctionnement. Comme expliqué au début de ce chapitre, la modélisation dépend de l’application. Le modèle énergétique et le modèle de circuit électrique équivalent sont introduits ici parce qu’ils permettent de capter les caractéristiques du fonctionnement d’une batterie ayant une importance pour sa gestion, à savoir le comportement électrique et le bilan énergétique.
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IV.1. Modèle énergétique
Le modèle énergétique est le modèle de référence pour la planification des systèmes de stockages introduit dans le chapitre D. Il est généralement utilisé pour les problèmes de planification [Luu14] [Rat13] parce que la modélisation de la batterie en termes de puissance et d’énergie correspond à la définition des plans de production des centrales en termes d’énergie. Le modèle énergétique considère la batterie comme un réservoir d’énergie stockée
𝐸𝐵 qui est rempli par des sollicitations de puissance 𝑃𝐵 < 0 négatives (charge) et vidé par des
sollicitations positives 𝑃𝐵> 0 (décharge). Lors de la charge ou de la décharge, une partie 𝑃𝑃 >
0 de la puissance est perdue sous forme de chaleur dans la batterie
𝐸̇𝐵(𝑡) = −εB(𝑡) = −𝑃𝐵(𝑡) − 𝑃𝑃(𝑡) = −𝜅(𝑡) ⋅ 𝑃𝐵(𝑡) (57)
L’efficacité de conversion 𝜅(𝑡) dans (57) est liée au rendement énergétique de la section III.4.4
par
𝜅(𝑡) = { 𝜂(𝑡) if 𝑃(𝑡) < 0 (charge)
𝜂(𝑡)−1 if 𝑃(𝑡) > 0 (décharge) (58)
Le principe du modèle énergétique est illustré dans la figure 17. C’est une abstraction plus au moins importante de la description physico-chimique de la batterie, selon la définition de
l’efficacité 𝜅. Dans le cas le plus simple, souvent employée dans les problèmes de planification,
seulement deux valeurs de 𝜅, une en charge et une en décharge, caractérisent le rendement
moyen de la batterie. Pour plus de précision, 𝜅 peut être interprété comme une fonction de la
puissance, de l’état ou de la température de la batterie. L’état actuel de la batterie dans le modèle
énergétique est représenté par l’énergie stockée 𝐸𝐵(𝑡).
Le modèle de l’état énergétique [Krü14] [Mam10] [Mam12] est une variante du modèle énergétique où l’énergie stockée a été définie comme l’énergie disponible en décharge nominale selon les explications des sections III.4.1 et III.4.3. Comme remarqué dans [Mam10], avec ce
choix 𝜂(𝑡) dans (58) ne représente plus un rendement au sens strict, car il peut prendre des
valeurs supérieures à l’unité, si les conditions d’utilisation engendrent moins de pertes que les conditions nominales.
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IV.2. Circuit électrique équivalent
Il existe une multitude de modèles de batterie du type circuit électrique équivalent. Comme remarqué dans la section III.3, le circuit de Randles représente l’impédance d’une seule électrode, et le circuit de la figure 18 modélise les deux électrodes de la batterie [Mon09]. Outre les éléments qui représentent le transport de charge et la diffusion d’espèces actives aux électrodes, ce circuit contient des résistances équivalentes pour modéliser la résistance des électrodes et le transport d’ions dans le volume total de l’électrolyte. Des effets inductifs liés à la connectique sont représentés par des inductances localisées. Une représentation encore plus complexe du transport d’ions par migration et diffusion dans l’électrolyte se trouve dans [Ber01]. L’inconvénient des circuits du type illustré dans la figure 18, est la présence d’élément Warburg dont l’impédance dépend du modèle de diffusion des espèces actives [Bul02] ou d’éléments à phase constante (CPE, de l’anglais « Constant Phase Element ») avec l’impédance [Bul02]
𝑍𝐶𝑃𝐸 = 1
𝐴 ⋅ (𝑗𝜔)𝜉 (59) où 𝜉 ∈ [0,1] et 𝐴 peut être interprété comme une capacitance généralisée.
Ces éléments sont définis par leurs fonctions de transfert dans le domaine de Laplace, mais leur simulation requiert des approximations, car ils ne peuvent pas être représentés dans le domaine temporel par de simples équations différentielles comme c’est le cas des éléments de premier ordre (capacités et inductances).
Une approche pour substituer à ces éléments des circuits de réseau en échelle est exposée dans [Mon09] et
[Bul02]. On obtient alors le circuit de la figure 19 avec 𝑁 éléments parallèles de résistance et
capacité (R||C). Les valeurs des résistances et capacités sont calculées à partir des paramètres initiaux de l’élément non-linéaire. Une validation du modèle pour 3 et 5 éléments est montrée dans [Bul02].
Le modèle de batterie pour les batteries Li-ion est simplifié dans [Mon09] en vue d’obtenir le circuit dans la figure 20. Le circuit de la
figure 21 qui modélise l’impédance et la tension à vide par la même capacité non-linéaire, est proposé dans [Bul02].
Après la substitution des éléments Warburg ou CPE, chaque élément R||C dans le circuit équivalent correspond à
une constante de temps 𝜏 = 𝑅 ⋅ 𝐶 qui
apparaît dans la réponse de la tension de
Figure 18. Modèle des deux électrodes avec deux circuits de Randles.
Figure 19. Substitution d’un élément ZARC par des éléments R||C.
Figure 20. Circuit équivalent obtenu par simplification du modèle de Randles [Mon09].
Figure 21. Circuit équivalent obtenu par simplification du modèle de Randles [Bul02].
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batterie à un saut du courant. Dans les applications réelles, un nombre très limité de constantes de temps dominent le comportement de la batterie dans le domaine de fréquence étudié. Ce fait est souvent exploité pour proposer des modèles plus simples. Ainsi, on trouve souvent le circuit de la figure 22 qui consiste en une seule résistance en série avec un ou plusieurs éléments R||C
[Bar02] [Che06]. Une analyse
comparative de plusieurs circuits
équivalents résistifs-capacitifs pour les batteries Li-ion dans [He11] montre qu’un circuit du deuxième ordre offre une bonne
approximation de la réponse de tension et une base adéquate pour l’estimation de l’état de charge. En conséquence, le circuit de la figure 22 avec deux éléments R||C est un modèle très répandu pour les batteries Li-ion [Hex11] [Dub07] [Che13]. Une variante du modèle résistif-capacitif prend en compte l’autodécharge de la batterie [Gho14] [Kim11]. Dans [Che06], des fonctions analytiques de l’état de charge sont proposées pour déterminer les valeurs du circuit de la figure 22 pour deux éléments R||C. Finalement, si la dynamique transitoire de la tension ne joue pas de rôle important dans l’application, on emploie un simple circuit résistif [Che12] comme illustré dans la
figure 23. La tension de batterie se calcule alors comme
𝑉𝐵𝑎𝑡𝑡(𝑡) = 𝑉𝑂𝐶𝑉(𝑆𝑜𝐶(𝑡)) − 𝑅𝑖(𝑆𝑜𝐶(𝑡)) ⋅ 𝐼𝐵𝑎𝑡𝑡(𝑡) (60) Les paramètres des circuits équivalents dépendent généralement de l’état de charge de la batterie et leurs valeurs peuvent être déduites du modèle physico-chimique de la batterie [Ber01]. Mais le plus souvent elles sont déterminées par un ajustement de la courbe d’impédance du circuit aux résultats d’une spectroscopie d’impédance réalisée à plusieurs états de charge.
IV.3. Autres modèles
D’autres modèles de batterie ont été étudiés. Dans [Man93] un modèle analytique est proposé qui modélise la batterie comme un système de deux réservoirs de charge, et [Chi01] propose un modèle basé sur un processus stochastique du type chaîne de Markov. Finalement, les batteries ont été représentées par des réseaux de neurones dans [Cap11] [Cha10]. Malgré leur validité correspondant aux objectifs de leurs applications, ces modèles permettent difficilement l’extraction des indicateurs de performance qui sont recherchés pour la formulation des problèmes d’optimisation. Un résumé compréhensif de la grande diversité de modèles de batterie est donné dans [Jon09].