Modèles basés sur une description statistique

1.2.2.1.1.

Description statistique de surface rugueuse

Greenwood et Williamson (1966) sont les premiers qui ont développé un modèle statistique du contact rugueux. Ils ont considéré le contact entre un plan lisse et une surface nominalement plane couverte d’aspérités. Ce modèle suppose que :

- la rugosité est isotrope,

- les aspérités ont un sommet sphérique,

- toutes les aspérités ont le même rayon de courbure au sommet R,

- la hauteur des sommets (z) par rapport à leur plan moyen suit une fonction de

distribution de probabilité .

- les aspérités sont assez éloignées et il n’y a pas d’interaction entre les aspérités lors de

leur écrasement,

- seules les aspérités se déforment, il n’y a pas de déformation du volume qui supporte

les aspérités.

Figure 1.7 Description statistique du contact avec un plan lisse (Duvivier 2010)

La Figure 1.7 schématise le contact avec les aspérités. La probabilité, pour chaque aspérité, qu’elle soit en contact avec le plan rigide, est la probabilité que l’altitude de son sommet soit supérieure ou égale à d :

(1.35) d représente ici la distance entre les deux surfaces, c’est-à-dire la distance de la surface supérieure lisse à un plan moyen de la surface rugueuse.

31 La fonction de probabilité utilisée le plus souvent est la distribution de Gauss :

(1.36)

Où σs est l’écart-type des hauteurs des aspérités (unité : m), unité de Φ : 1/m.

McCool (1986) a relié ces valeurs avec la rugosité de surface globale :

(1.37) où σ est l’écart-type des hauteurs de surface, et η est la densité surfacique d’aspérités.

1.2.2.1.2.

Contact mécanique de modèle statistique

Les hypothèses de description statistique de la surface rugueuse associées aux expressions du contact entre une sphère et un plan (obtenues dans le paragraphe 1.2.1) permettent alors d’aboutir à l’expression de l’aire de contact ou de la force de contact en fonction de l’interférence.

Selon la loi de comportement du matériau choisie, différentes expressions pour le contact rugueux sont obtenues. Par exemple, l’aire de contact totale et la force de contact peuvent être évaluées par :

(1.38)

(1.39)

où η est la densité surfacique d’aspérités, An est l’aire de contact apparent, c’est-à-dire l’aire

des plans qui viennent en contact ; ainsi, η An est le nombre total d’aspérités présentes sur la

surface ; Ā et sont l’aire de contact et la force de contact de chaque aspérité individuelle. Greenwood et Williamson ont considéré que la déformation plastique commence lorsque la

pression maximale atteint 0,6 H et ont introduit un index de plasticité ϕ avec les propriétés de

surface et la topographie de surface :

(1.40) Ils ont suggéré que l’indice de plasticité peut varier de 0,1 à 100 pour les surfaces réelles. Un index de plasticité plus grand indique une surface dont les aspérités sont plus susceptibles de plastifier. Ainsi, les aspérités plastifieront facilement si la surface est très rugueuse et avec une valeur d’interférence critique faible.

Pour le mode de déformation élastoplastique, différentes expressions ont été obtenues, nous présentons les principales dans la suite.

32

• Expression de CEB

Le modèle CEB suppose un comportement élastique-plastique, et aboutit à l’expression suivante pour l’aire de contact en fonction de l’interférence :

(1.41)

où

(1.42)

(1.43) Les indices t, e et p indiquent respectivement l’aire totale, l’aire due à la déformation élastique et l’aire due à la déformation plastique.

Et pour la force de contact totale :

(1.44)

• Expressions de Kogut et Jackson

De la même façon, Kogut et Etsion (2003), Jackson et Green (2006) utilisent chacun une expression pour le contact entre une sphère et un plan dans la partie 1.2.1.4. Ils obtiennent donc chacun une expression pour le contact rugueux. Les différences concernent le calcul du

point critique ωc et le choix des points de transition entre les régimes de déformation.

• Interaction entre les spots

Une hypothèse commune à tous les modèles précédents est qu’il n’y a pas d’interactions mécaniques entre les spots ; considérant ce point, Zhao et al. (2000) ont utilisé le principe de Saint-Venant et les formules de Love, intégré leur modèle de contact élastique-élastoplastique et développé un modèle de contact rugueux prenant en compte les interactions entre les aspérités.

Les résultats montrent que les interactions peuvent avoir des effets significatifs au niveau de chaque aspérité et au niveau global lorsque les aspérités sont sensiblement déformées sur toute leur hauteur.

Au niveau global, les interactions réduisent l’aire réelle de contact, à effort de contact donné. Au niveau des aspérités, les interactions provoquent des redistributions des forces de contact entre les aspérités de hauteurs différentes. En conséquence, la force supportée par les aspérités les plus hautes augmente.

1.2.2.1.3.

Limitations des modèles statistiques

La plupart des modèles d’aspérité utilisés par les modèles statistiques supposent que la déformation est relativement faible, limitée au sommet des aspérités. Ainsi, les cas de grande

33 déformation sont entachés d’erreurs importantes (Jackson et Green 2006). De plus, les interactions entre les spots sont souvent ignorées, et la déformation du support des aspérités est toujours négligée.

En outre, la description du profil utilise la rugosité de la surface (définie comme l’écart-type des hauteurs), la pente des aspérités et la courbure au sommet des aspérités (Nayak 1971) ; ces trois paramètres dépendent de la résolution de l’instrument de mesure utilisé et de la longueur de l’échantillon, autrement dit sont dépendant de l’échelle (Yan et Komvopoulos 1998). Pour remédier à ce problème, certaines études proposent des modèles fractals ou multi-échelles.