Modèle RLCG d’une ligne de transmission

Nous modélisons la propagation haute fréquence dans une ligne de transmission mono-filaire par le modèle RLCG constitué des paramètres suivants : résistance (R), inductance (L), capacité (C) et conductance (G). Ces quatre paramètres R, L, C et G sont définis de manière linéique de la façon suivante :

– Résistance linéique R exprimée en (Ω/m) qui dépend de la résistivité électrique et de la section de la ligne de transmission.

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– Inductance linéique L exprimée en (Henry/m) qui se décompose en deux parties : une inductance intérieure et une inductance extérieure. D’une part, l’inductance intérieure est due au champ magnétique à l’intérieur des conducteurs. D’autre part, l’inductance extérieure est due au champ magnétique entre conducteurs. L’inductance linéique dépend du diamètre des conducteurs, de l’écart entre les deux conducteurs et de la perméabilité des matériaux. – Capacité linéique C exprimée en (F arad/m) qui dépend de la permittivité de l’isolant placé

entre les deux conducteurs.

– Conductance linéique G exprimée en (Siemens/m) qui représente un courant de fuite circu- lant entre deux conducteurs lorsque l’isolant séparant ces deux conducteurs n’est pas parfait. Ces paramètres représentent les paramètres primaires d’une ligne de transmission. La ligne de transmission, qui peut être avec ou sans pertes, est divisée en plusieurs segments élémentaires consécutifs de longueurs dx. Chacun des segments est décrit par un modèle RLCG comme l’illustre la figure 1.12.

FIGURE1.12:Schéma du modèle RLCG équivalent à un segment de ligne de transmission.

On obtient par application des lois de Kirchhoff (loi des nœuds et la loi des mailles) les deux relations suivantes :

v (x + dx, t) − v (x, t) = −Rdxi(x, t) − Ldx∂i(x, t)

∂t . (1.3)

i (x + dx, t) − i (x, t) = −Gdxv(x, t) − Cdx∂v(x, t)

∂t . (1.4)

où v et i représentent, respectivement, la tension et le courant à l’instant t dans le segment de la ligne de longueur dx. Par application de la dérivée partielle, on obtient les deux équations diffé- rentielles couplées, appelées aussi les équations des Télégraphistes [24], comme suit :

∂v(x, t) ∂x = −Ri(x, t) − L ∂i(x, t) ∂t . (1.5) ∂i(x, t) ∂x = −Gv(x, t) − C ∂v(x, t) ∂t . (1.6)

On propose de résoudre ces deux équations (1.5) et (1.6) en régime harmonique, en considérant comme excitation une onde sinusoïdale de pulsation ω = 2πf où f est la fréquence. Dans ce cas, les ondes de courant et tension sont données, respectivement, par :

1.3.1 Présentation du principe de réflectométrie 21

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i(x, ω, t) = I(x, ω)ejωt. (1.8) où V (x, ω) et I(x, ω) représentent les amplitudes complexes associées à la tension v(x, t) et au courant i(x, t) respectivement. En remplaçant v(x, t) et i(x, t) dans (1.5) et (1.6) par leurs expres- sions complexes respectives, on obtient :

∂V (x, t)

∂x = − (R + jωL) I(x, t). (1.9)

∂I(x, t)

∂x = − (G + jωC) V (x, t). (1.10) En dérivant l’équation (1.10) par rapport à x, on peut écrire :

∂2_{I(x, t)}

∂x2 = − (G + jωC)

∂V (x, t)

∂x . (1.11)

En injectant l’équation (1.9) dans (1.11), on trouve la relation de l’équation (1.12) suivante : ∂2_{I(x, t)}

∂x2 = (G + jωC) (R + jωL) I(x, t). (1.12)

De la même façon, on peut obtenir la relation de l’équation (1.13) suivante : ∂2_{V (x, t)}

∂x2 = (G + jωC) (R + jωL) V (x, t). (1.13)

On obtient, ainsi, les deux équations de propagation suivantes : ∂2_{I(x, t)} ∂x2 − γ 2_{I(x, t) = 0.} (1.14) ∂2_{V (x, t)} ∂x2 − γ 2_{V (x, t) = 0.} (1.15) où γ, la constante de propagation. Elle peut être définie comme suit :

γ =p(G + jωC) (R + jωL) = α + jβ. (1.16) avec α, la constante d’atténuation (Neper/m) et β, la constante de phase (radians/m). Dans l’équa- tion de la constante de propagation (1.16), le premier terme α représente l’atténuation de l’ampli- tude de l’onde au cours de sa propagation dans la ligne alors que le deuxième terme jβ représente la rotation de la phase de cette onde. La résolution de ces équations, dans le cas d’un régime harmonique, donne les expressions suivantes :

V (x, t) = V+e−γx+ V−eγx. (1.17)

I(x, t) = I+e−γx+ I−eγx. (1.18) L’équation (1.17) montre qu’il existe deux ondes : une onde progressive V+e−γx qui se propage vers l’impédance de charge Zl (dans le sens des x positifs) et une onde régressive V−eγx qui se

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propage vers le générateur (dans le sens des x négatifs) après une réflexion au niveau de l’impé- dance de charge Zl comme le montre la figure 1.11. Les ondes de tension V (x, t) et de courant

I(x, t) sont reliées par une impédance caractéristique Zcexprimée comme suit :

Zc =

s

R + jωL

G + jωC. (1.19)

Dans le cas d’une ligne de transmission sans perte, on prend une résistance (R) et une conductance (G) de valeurs nulles (R = 0 et G = 0). Avec ces approximations, la constante de propagation devient donc :

γ = jω√LC = jβ. (1.20)

On note que la constante d’atténuation (α) est nulle. En ce qui concerne l’impédance caractéris- tique, son expression devient :

Zc=

r L

C. (1.21)

Si R = G = 0, la présence d’une onde réfléchie dans l’équation (1.17) ne peut s’expliquer que par la présence d’une impédance de charge de valeur différente que celle de l’impédance caractéris- tique au bout de la ligne (Zc6= Zl). De plus, la variation des caractéristiques intrinsèques de la ligne

suite à un défaut peut aussi entraîner l’apparition de réflexions. Le coefficient de réflexion Γ(x) est défini par le rapport d’une onde réfléchie (ou régressive) sur une onde incidente (ou progressive) comme suit : Γ(x) = V −_eγx V+_e−γx = Zl− Zc Zl+ Zc . (1.22)

La réflectométrie s’est inspirée de ce phénomène de réflexion pour assurer le diagnostic des câbles. Dans le cas d’un défaut franc (circuit ouvert ou court-circuit), il est très facile de déterminer la nature de la discontinuité selon la valeur de l’impédance de charge Zl.

– Si |Zl| = 0Ω, alors l’onde incidente rencontre un court-circuit et est réfléchie avec un coef-

ficient Γ(l) = −1. L’onde réfléchie a la même amplitude que celle incidente mais de signe opposé.

– Si |Zl| = ∞, alors l’onde incidente rencontre un circuit ouvert et est réfléchie avec un

coefficient Γ(l) = 1. L’onde réfléchie a la même amplitude et le même signe que celle incidente.

– Si |Zl| = |Zc|, alors l’onde incidente ne sera jamais réfléchie (Γ(l) = 0). Dans ce cas, on dit

que la fin de la ligne est adaptée.

La réflectométrie permet, non seulement de déterminer la nature de la discontinuité mais aussi de la localiser grâce à la relation suivante :

d = τ vp

2 (1.23)

où τ , le temps nécessaire pour parcourir la ligne (aller-retour) ; vp, la vitesse de propagation dans

la ligne. Dans le cas d’une ligne sans perte, elle est donnée comme suit :

β = ω√LC ⇒ vp = ω β = 1 √ LC. (1.24)

Bien que la connaissance de L et C ne soit pas garantie, la vitesse de propagation est souvent donnée par le constructeur du câble.

1.3.1 Présentation du principe de réflectométrie 23

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Dans le cas d’un défaut non franc, la différence entre l’impédance de charge et l’impédance caractéristique est très faible. Elle se traduit par une très faible réflexion par rapport à celle d’un défaut franc. Dans ce cas, seule une partie de l’onde est réfléchie vers le point d’injection alors que l’autre partie de l’onde poursuit sa propagation dans la ligne. On définit ainsi un coefficient de transmission par le rapport entre l’onde de tension transmise à une charge et l’onde de tension incidente comme suit :

T (x) = V (x, t) V+_e−γx =

V+_e−γx_{+ V}−_eγx

V+_e−γx = 1 + Γ(x). (1.25)

Dans les méthodes existantes de réflectométrie, la partie transmise du signal est ignorée. Cepen- dant, nous allons montrer au cours de cette étude que cette partie pourrait être importante pour améliorer la qualité du diagnostic dans les réseaux filaires de topologies complexes.

Le modèle RLCG permet de déterminer les paramètres primaires {R, L, C et G} et secondaires {Zc,γ} d’une ligne de transmission. Pour mieux comprendre le mode de fonctionnement de la

réflectométrie, on fait appel à un modèle fréquentiel pour simuler la présence d’un défaut franc ou non franc dans un réseau de simple topologie (ligne de transmission) ou de topologie complexe (réseau en Y, réseau en étoile, etc.)