Développement d'un modèle pour une cage d'escalier 6.3
6.3.1 Modèle de propagation sur un bras de marches d'escalier droit
La Figure 6.2 décrit l'environnement de propagation correspondant à la cage d'escalier de type droit interconnectant les premier et deuxième niveaux de l'immeuble abritant les locaux du Pavillon Lucien-Brault. Un intérêt spécifique est portésur lebrasd'escalierde dix marchesreprésentées à la Figure 6.2 (a).
M '
h,
V\
T K
l !
5 3
d,
(a)Représentationencoupetransversale (b)Photodel’escalier.
Figure6.2 : Illustrationetphotographieduréseau d'escaliersinterconnectantleslocauxdupremieret dudeuxièmeétagevia lesportesE.
Lesdifférents trajets correspondant aux contributions, de ligne de vue directe (LOS), d'ondes réfléchies par les parois planes et d'ondes diffractées par les coins sont représentés sur ladite figure. La structure géométrique ainsi que les propriétés électromagnétiques sont prises en compte dans l'élaboration du modèle mathématique. En sebasant surlesformulations de Kouyoumjian etPathak utilisées pour mettre en évidence le mécanisme de diffraction [173], les coefficients de diffraction simple D au niveau des coins de chaque marche sont calculés au voisinage des régions de singularité. Concernant les multiples diffractions, leurs
nm
coefficients associés Dinm sont obtenus par application de la formule heuristique proposée parLuebbers [244, 245].
En considérant les coins de marches comme des parfaits conducteurs, ayant pourpermittivité relativeer-»ooet pourconductivitéa = 107S/m, la contribution du champ électromagnétique résultant du mécanisme de diffraction s'exprime comme suit :
/.n m 2
ELOS + SEUTDsn EUTDm
A
\2PL = (6.1)
47T; 1=1 n=l m=l
Dans l'expression (6.1), lestermes :
Elos =JGT(0O)GR(0O) e-#* (6.2)
représente la contribution du champ propre au trajet direct; tandis que :
eikL> (6.3)
E«, =r(0,)^GT(dl)GR(0l) L,
représente la contribution due au mécanisme de réflexion pourle/ièmetrajet.
Les contributions propres aux mécanismes de diffraction pour les trajets subissant une seulediffraction, s'expriment sous la forme :
1 JGTK)GRKy
jk(S,n+Sd„)EUTDs„ -Dn (6.4)
Ein '$dn(Sin+$dn)
cettediffraction n'esteffective que sur lesonze premiers coins des marchesformant lajonction d'escalierdroit décrite parla figure 6.2 ;
concernant les diffractions multiples, les contributions propres à chacune d'elles s'expriment :
S°mP 11
Q-JkLmPe ^.^ gt (6~,) gr K) n
P=1 Dmp+dmpLp s
-’/lmP Lmpn*
P dpmP ^~mP (6.5)P=1
Les relations (6.2) à (6.5) permettront de mettre en évidence les différents trajetsformant leprofildepuissanceainsi que leurretardde propagation. Lestermes formantces expressionsse définissent comme suit :
les variables GT(-) et GR(-) sont des fonctions correspondant au diagramme de
rayonnement desantennes Tx et rx ;
la variable Q. représente la longueur du trajet direct, tandis que L, désigne la longueurdu /ièmetrajet réfléchi ;
concernant 60t il correspond à l'angle de départ associé au trajet direct ;
pour ce qui est des variables 6n.nc et 8n , ils correspondent respectivement aux angles de départ et d'arrivée associées au n
avec l'un des 11 coinsdu bras d'escalierdroit.
ième trajet ayant interagit une seulefois
S'agissant de S[n et Sdn, ils correspondent respectivement à la distance entre l'émetteur et le coin de marche associé au nlème trajet diffracté et d'autre part à la distance séparant lerécepteur de ce même coin diffractant.
Quant à Dn, il correspond au coefficient de diffraction simple du nième trajet diffractant une seulefois sur l'un des 11 coins des marches lorsque le récepteur est situésurune marchemquelconque en avaldu coindiffractant. L'expression Dn =Dnm estdétaillée en annexe B ;
ÔDmp
= Dmp + dmp
la sommeD.Inm représente le coefficient heuristique avec pente, de démp
premier ordre approprié aux problèmes électromagnétiques faisant état de multi-d'interactions que subit un trajet avec les coins de marches d'escalier. La Figure 6.3 ci-dessous décrit la géométrie d'une diffraction multiple à pmax=2 (nombre maximal de diffractions surles coins /et n lorsque Rx se trouve sur la marchem). Concernant la différencede marche d'un trajet ayant subi diffraction pour un nombre pmax
un nombremaximalde Pdiffraction lavariable Lmp =S, correspond
p=i
lmp. pmp.
à lalongueurdutrajetayantsubi un nombretotaldePdiffractions; lavariableSilmPjnax représente la distance séparant l'émetteur du premier coin associé au miéme trajet ayant subi pmax diffractions, pour ce qui est de SdpmPjiax, il correspond à la variable associée à chacun des pe{1,2,—, pmax} trajets diffractés entre les coins pmax et pourpe pmax-1}. Lorsque p=pmax, SdpmPmaxse réduit à la distance séparantle piéme dièdre (associé à cettediffraction multiple) au récepteur.
p+l<p
maxTx
/•" eo
«f12
"01
Rx
Zoneilluminée pourle1“dièdre
% «I» O
Zoned’ombrepourle seconddièdre
Figure6.3 :Géométriedumécanismedediffraction multipleUTDpourP=2coins.
=2eten annexe B, il seradonné plus Dans lasuitede ce travail nousallonsfixerp
de détails sur le calcul des angles de départ, d'arrivée, d'incidenceet de diffraction ainsi que sur la différence de marche propre à chaque contribution de l'onde se propageant àtravers la cage d'escalier.
max
Ces expressions du champ permettent de prédire les fluctuations du signal se propageant dansla zone 1 de la caged'escaliers décriteà la Figure 6.4.
La réponse impulsionnelledu canal quant à ellese donne parla relation : h (t) = a0S(t-r0) + £ r,3,8(t - r,) + £ Dnan5(t-rn)
Dans (6.6), les coefficients sont définiscomme suit :
-Mo (6.7)
<3.=
*0
représente l'amplitude du trajetdirect ;
e~JkLi
-{■^j^ÊTôïï,
(6.8)3,
L,
représente l'amplitude d'un trajet ayant subi une réflexion sur l'un des murs ou encore l'une des marches;
Quant à an, l'amplitude d'un des trajets ayant subi une seule diffraction, elle s'exprime comme suit :
1
A
jGEln-GRlneJk(6.9)
an=
-r-Sin'Sdr) '(Sin+Sdn)
An
En ce qui concerne les trajets subissant une diffraction multiple, leurs amplitudes sontassociées au coefficient :
K
gA Pmax
(6.10)
Pmax
An \s,imPmax
EK
PmPm>xP=1
Ayant fait part du modèle proposé afin de prédire les variations d'une onde radio se propageant dans l'environnement correspondant à un bras d'escalier droit, nous allons par la suite aborderla modélisation surtout letrajet décrit par l'escalier en V.