(c)
Figure3.5 :Accroissementdel'effetderugositésurdescoefficientsderéflexion avecl'augmentation enfréquencepourah=1cm : (a)/=1GHz,(b)/=10GHzet(c)/=60GHz
De la Figure 3.5, il s'avère que plus on croît en fréquence, plus l'effet de la rugosité surfacique est palpable lors de l'interaction de l'onde avec la surface réfléchissante. Ceci peut se justifier par le rayonnement de la quasi-totalité de l'énergiesousforme d'énergie diffuse (d'où la diminution considérable du coefficient de réflexion spéculaire observé sur les Figures3.5 (b) et(c)).
Dans la suite de cette section, nous décrirons davantage la relation entre les réflexionsspéculaireet diffuse.
3.2.2 La diffusion
Au chapitre 2, nous avonsfait mention destravaux portantsur la propagation des ondes en environnement rugueux. Il a également été rapporté les premiers travaux sur la diffusion d'ondes électromagnétiques par des surfaces rugueuses réalisés par Lord Rayleigh [155-157], De ces travaux, un critère de décision concernant la nature de la surface fut mis sur pied. Par la suite, il fut établi que la rugosité d'une surface (cas électromagnétique) n'est pas une propriété intrinsèque de cette dernière étant donné qu'elle dépend également des paramètres (angle d'incidence et longueurd'onde) de l'onde incidentesurladite surface.
Allant du fait qu'une surface rugueuse puisse être assimilée à un processus stochastique, la propagation d'une ondeélectromagnétique dansun milieu spécifique doté de telles surfaces peut être soumise à plusieurs mécanismes rendant relativement difficile la prédiction de l'information transmise de l'émetteur vers le récepteur. Lorsqu'une onde est réfléchie sur une surface, dépendamment des propriétés géométriques de cette dernière, de l'angle d'incidence par rapport à la normale au plan horizontal à celle-ci ainsi que de la longueur d'onde du signal se propageant, cette surface peut être considérée rugueuse ou lisse du point de vue électromagnétique [96, 158-162]. À titre d'information, lorsque la longueur d'onde devient très petite par rapport aux dimensions de la surface sur laquelle l'onde se réfléchit, la surface ne pourra plus être supposée parfaitement lisse. En effet, il n'existe pas de surface lissedans la nature. Cette notion de rugosité estétroitement liée auxpropriétés électromagnétiques de la surfaceainsi qu'aux caractéristiques de l'onde incidente. Ladescriptionstatistique d'unesurfacereposesurdeuxparamètres.
À savoir, l'écart type des hauteurs ah défini à la section 3.2.1 et la fonction d'autocorrélation des hauteurs Ch(rx,r2) qui correspond à la variation horizontalede la surface. La Figure 3.6 ci-dessous représente la distance séparatrice entre deux pointscorrélés d'une surface rugueuse.
Z
Mi M2
X
Xi
X2
Xd
Figure3.6:Profil1D delasurfacerugueusemettantenévidencedeuxpointscorrélés.
Dans cette partie, il est question pour nous de présenter les méthodes permettant de déterminer respectivement les champs : total, diffus et réfléchi en direction spéculaire sur les surfaces à profil rugueux. La diffusion d'une onde électromagnétique par une surface rugueuse a fait l'objet d'un nombre considérable d'étudesdurant la récentedécennie. L'utilisation desméthodestellesque la méthode des petites perturbations, l'approximation de Kirchhoffet celle du plan tangentiel a permisdemettreen évidence l'effetdesrugositéssurfaciquessurl'onde au récepteur [160, 162], Ces techniques de détermination des coefficients de diffusion se sont avéréestrès importantes pourles hautesfréquences. En effet, à ces fréquences, les
méthodes d'approximation sont appropriées pour l'estimation des champs interagissant avec les surfaces. Dans la littérature, il existe divers travaux portant sur la priseen compte de l'effetdes rugositéslorsdu processus de modélisation des problèmes électromagnétiques. C'est lecas destravaux concernant la détection des couches de pétrole sur les surfaces maritimes (favorisant la mise au point de procédures d'assainissement à la suite des catastrophes ayant occasionné l'échappement des quantités importantes d'hydrocarbures)[101]. Dans le même ordre d'idées, la prise en compte de l'effet des rugosités de surfaces est recommandée pourlesdomainesenglobantla télédétection, la radiolocalisation ainsi que pour la propagation en milieux complexestelsque les minessouterraines et les tunnels.
Parmi les diverses techniques mentionnées plus haut, permettant la détermination des coefficients de diffusion, nous nous focaliserons sur l'approximation de Kirchhoffdans la suite de cette partie. Ce choix se justifie par le fait que les surfaces interagissant avec les ondes émises à partir d'un point source situé dansleurvoisinage ont uneaire effective supérieure à 301x30/1. Pour de telles dimensions, lesméthodes rigoureusess'avéreraientcoûteusesentemps de calcul et par conséquent inappropriées [101]. Ayant justifié le choix des méthodes asymptotiques dans l'estimation des champs diffusés par les surfaces rugueuses en hautes fréquences, il serait important par la suite de préciser les hypothèses pour lesquellescette approche estvalide. En effet, pour les surfaces à rayon de courbure moyen Rc > X(Areprésentantla longueurd'ondedu signalassociéau trajetincident), l'AKestvalide. Cettecondition a été complétée parThorsossous la forme Lc >Aafin que l'hypothèse selon laquelle un plan tangentiel, local en tout point de la surface rugueuse, ayant une inclinaison égale à la pente en ce dernier soit vérifiée. La grandeur Lc (représente la longueurde corrélation de la surface rugueuse
La Figure 3.7 ci-dessous correspond à une esquisse de portion de surface respectantlesconditions d'applicabilité de l'AK.
Figure3.7 : Illustrationd'unfragmentdesurface rugueuserespectantlesconditionsd'applicationde l'AK[101].
Dans l'optique de déterminer l'expression des coefficients de diffusion totale, cohérenteet incohérente, il serait importantde s'intéresserà la formulation liant les champs incident etdiffusé [101]. À cet effet, l'intégrale de surface matérialisant le principe de Huygens est exploité. Lechamp diffusé s'exprimedès lorscomme suit :
És(r)=-J{Hro) F(r°))VG(r-ro)+["('■o)AÈ{r0)]AVG(r’ro)
+ /coM[n(r0 ) a
H(r0 )] VG(r,r0)}ds(r0) (3.9)
où r et r0 sontrespectivement lescoordonnées vectorielles d'un pointdans l'espace et d'un autresurla surface rugueuse; n(r0)est la normale locale à la surfaceen r0 ; G(r,r0) est la fonction de Green scalaire usuelle;Ê(r0) (respectivement!?(r0)) est le champ électrique (respectivementmagnétique) total d'expression
E(r0) = Einc(r0) + Ës(r0) (respectivementl?(r0) = Hinc(r0) + î?s(r0)).
En champ lointain, les approximationssuivantes peuventêtre substituéesdans
(3.9)[162].
pjkSs
-jks-r0
(3.10)
ÔG _ dG _
H---Z
5zo
(3.11)
~-jksr
4 nS
oùksetSsreprésentent respectivement le vecteur d'onde de norme k dans la directionretla distance du pointlocaliséà la position rparrapportaupointd'impact del'onde surla surface5(r0).
En appliquant les approximations (3.10) et (3.11) à (3.9), l'expression du champdiffracté en zone lointaine sera :
=^ exp(-7ÿj[(kd■n)(l+R(<?))+(fr,■n)(l -R(0))]exp\-j(£„-£,)■?] dS (3.12) El
Dans (3.12), la normale à la surface se définit par:
n = {-ry + z)/Ji + r2 (3.13)
avec y=—dz représentant la pente de la surface rugueuse au point d'incidence. La dy
surface étant de longueur 2L, ce changement devariables conduità
E: =f-^exp(-jJ)J\(kd+k)n1+[kd-k)-n,R(0)]exp[jg(f)]dy
(3.14)
où g(r)=(kd-k^-r représente laphaseet r\ =-yÿ+z. Afinderendrela résolution del'intégrale plusaisée, la méthodede la phasestationnaireestégalementexploitée.
Àceteffet, la dérivéepartielledela phaseparrapportà lacomposantedesordonnées
—=0 est exploitée dans le but d'extraire la condition d'obtention de la phase 3/
stationnairesuivante :
sin6», -sin<9d Ys cos0, +cos6d
Étant donné que les surfaces rugueuses aléatoires peuvent être assimilées à des processus stochastiques, les champs diffusés par celles-ci suivront le principe d'ergodicité. Dans un tel contexte, la détermination des coefficients de diffusion se fera par l'usage des moments d'ordre 1 et 2 des champs diffusés par ces surfaces.
(3.15)
L'hypothèse suivant:laquelle la phase eststationnaireétantadmise, laseulevariable aléatoiredans (3.14) est la hauteurdu profil rugueuxz [101, 162].
À titre de précision, le coefficient de diffusion est égal au rapport entre la puissance diffusée parla surfaceet la puissance incidente surcelle-ci dansun angle solideautour de la direction kr tel qu'illustré à la figure 3.7.
Le coefficient dediffusion cohérente s'exprime dans ces conditionscomme suit :
d(£.)f (3.16)
= lim
Gcoh r—>