angle d'incidence <9(degré)
3.2.4.2 Diffraction par une surface courbe
Les obstacles diffractant les ondes électromagnétiques ne sont pas toujours dotés d'arêtes anguleuses. Une classe particulière de ceux-ci présente au contraire une surface parfaitementlisse à l'illumination (voir Figure 3.24 ci-dessous).
P:pointd'observation V
\ \
\
P\ tf
É'z
e-
CC* >>\
\
e*£
■471
?
Figure3.24 : Représentationgéométrique ducylindre,duchampincidentetdupointd’observation On distingue alors de manière naturelle une zone illuminée et une zone d'ombre.
C'est cette dernière zone qui met en évidence l'existence du champ diffracté : puisque l'obscurité n'y est pas totale, ceci en partie dû à des rayons lumineux modélisables asymptotiquement parvenant dans cette région. Pour un point
d'observation P quelconque situé dans la zone illuminée, la quasi-totalité du champ observé résulte de la combinaison deschamps incident et réfléchi en provenance du point brillantQ.
Lord Rayleigh fut le premier à publier les travaux sur la diffraction d'une onde électromagnétique par un cylindre parfaitement conducteur [178]. Le principe consista à exprimer le champ au point d'observation par une série mathématique décrite comme suit :
£■ T 1 e
(3.40)H^(ka)
n=—x
Le champ total se résume à la sommation d'un champ incidentet d'un champ réfléchi. Ce dernierestexprimésousla formed'un spectre defonctionsde Hankel de deuxième espèce appropriéesà la description d'ondescylindriques.
Àla relation (3.40),aestlerayonde courburedu cylindre ;p estlacomposante curviligne en cordonnées polaires du point d'observation P et ^ la composante angulaire (décrivant l'intervalle[0;27t]). Toutefois, il serait important de mentionner que (3.40) n'est appropriée qu'aux scénarios pour lesquels le rayon de courbure du cylindre vérifie la condition a< A [178]. Dans le but de solutionnercet inconvénient et par la même occasion de simplifier l'expression du calcul du champ au point P, l'approximation parune méthode asymptotique peutêtre envisagée. Cetteapproche repose sur l'hypothèse selon laquelle la longueurd'onde du signal est petite devant les dimensions des obstacles constituant l'environnement. À partir de cette hypothèse, l’influence de l’environnement sur la propagation des ondes électromagnétiques en un point donné de celui-ci peut être considérée comme indépendante du voisinage de tels obstacles. En se basant sur ce principe, nous pouvons dès lors considérer que l’onde se propage identiquement à un rayon lumineux subissant un ensemble d’interactions ponctuelles telles que des réflexions sur les surfaces, des diffractions par des arêtes ainsi que les transmissions. Afin de caractériserces interactionsentre les rayonsetl’environnement, il estnécessairede résoudre localement l’équation de Heimholtz, tant d’un point de vue physique (amplitude de l’onde réfléchie ou diffractée) que géométrique (direction du rayon réfléchi ou diffracté). Toutefois, il est à noter la nécessité de recherche préalable d'éventuels trajets suivis par des rayonsjoignant une source à un récepteur donné lors de tout calcul acoustique et électromagnétique. Ce qui aura pour avantage de simplifier lesexpressions mathématiquesde (3.40) entrainant de ce faitla réduction
du temps de calcul numérique. Cette simplification aura pour conséquence la discontinuité du champ à proximité de la frontière séparant la zone illuminée de la zone d'ombre. Dans la littérature, plusieurs approches asymptotiques ont été décrites. Ces dernières ayant comme fondement le formalisme de l'optique géométrique permettantla miseenévidencedusignalrésultantde l'interaction d'une onde avecun obstacle localisé au voisinage dece dernier.
Afin de mettreen évidence la diffraction d'une onde électromagnétique par un cylindre, nous présentonsdans un premiertemps l'expression du champ incident au pointQ :
U, (Q) = e-Jkacos(0l) (3.41)
Etant donné la nature parfaitement conductrice du cylindre, le champ réfléchi au point Qs'exprimera comme suit :
ur(Q) = i
(3.42)Des relations (3.41) et (3.42), il est aisé d'exprimer lechamp réfléchi au point P commesuit :
e-jk(S,+acos(0,))
Ur(P) = ±. Pr (3.43)
Pr +Sr
Le rayon de courbure dufaisceau réfléchi pr s'exprimeen fonction du rayon de courbure de ia surface (a) par la relation :
aCOS(or()
(3.44) Pr =
2
D'autre part lechamp incidenten Pse déduit par l'expression :
-jkpcos
u,(P) = e
(3.45)De (3.43) et (3.45), la relation donnant le champ total au pointd'observation estdéduite comme suit [178] :
e~jk(Sr+acos(ü>,))
U(P) =Uj (P)+Ur{P)= e-JkpcosW ± Pj (3.46)
Pr +Sr
Cette relation fait état exclusivement de la valeur prise par le champ électromagnétiquedansla zone d'illumination etestvalide pourla conditionsuivante
respectée :
, 71 a
(b > —
2
-i (3.47)
-COS
P
Afin de pallierledéfautdécoulantde la non priseen comptedu calcul duchamp dans la zone d'ombre, la méthode asymptotique en termesde fonction de Pekerisa été mise sur pied [179, 180]. Les Figures 3.25 (a) et (b) ci-dessous illustrent l'évolution des fonctions de Pekeris en fonction de la polarisation de l'onde électromagnétique et du paramètre angulairex.
4
4 —Re[P(*)l
—Imjp(x)]
----Re[q(x)|
—lm[q(x)j 2 2
1° go
-2 -2
-4
-4-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10
x x
(a) (b)
Figure3.25: CoefficientsdePekeris(a) polarisationverticale(b) polarisationhorizontale
Cette méthode présente tout de même un inconvénient dû notamment à la présence d'un point de discontinuité dans la zone d'ombre compte tenu de la divergencedesfonctions p et q dePekerisau voisinage duparamètre angulairex=0 (voirFigure 3.25).
Afin deremédierà cette divergence, l'approcheexploitantlesfonctionsde Fock dans le calcul du coefficient de réflexion est adoptée. Ceci consiste à associer un terme correctif aux expressions des coefficients de Pekeris afin de supprimer la discontinuité.
Dès lors, lesfonctionsde Fock s'expriment commesuit :
~ 1
p ( x )= p M
2Xs[ïï (3.48)4(*HM 2 x-Jn 1 (3.49)
1
sur la Les Figures 3.26 (a) et (b) ci-dessous illustrent l'effet du terme
2Xy[ïï
discontinuité des courbes décrivant les fonctions de Pekeris. En annexe A, les expressions desfonctions p(x) et Q(x) sont décritesen détail.
1.5 1.5 —Rc[p(x)]
MpM]
--- Re[q(x)]
linjq(x)]
I
1 1
0.5 0.5
•x
» o
3 o
>cr
-0.5 -0.5
-I -1
l'I
-1.5 -1.5
-10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10
x
(a) (b)
Figure3. 26:Coefficientsde Pekerisaméliorés (a) polarisationverticale(b)polarisation horizontale
En exploitant les expressions (3.48) et (3.49), les coefficients de réflexion de Kouyoumjian et Pathak ont été dérivés comme suit pour les matériaux parfaits conducteurs [181, 182] :
-;(f)
(fil
-j
F(xr)\ (3.50)
«a =
e-Æ
£i
121 m- Fixr)\ (3.51)
*m=-
2 fyfc
où p(#r) et <7(#r) désignentlesfonctions de Fock (Pekerisaméliorées) explicitéesen
annexe A ; avec£r = -2Mcos(aj) ; M = (y)
1/3; Xr = 2/ccos2(o:i) ; pr = ^cos(ai).
Lorsque (3.47) n'estplussatisfaite, le pointd'observation se situedansla zone d'ombre et la seule contribution du signal au récepteur est le signal diffracté. Ce derniercorrespondà uneonde rampante. Lescoefficientsdediffraction sedéfinissent dès lorscomme suit :
Te =~M^e^■ P(td)
(3.52)
('-n*‘))
-jkae,_
H?)
(3.53)Tm=-M
2Çd s[n
q(çd) désignent des fonctions de Pekeris pour les polarisations où p(çd) et
électriques et magnétiques; avec = M61, xd et 61= (p. Les courbes 2
décrites par les Figures 3.27 (a) et (b) ci-dessous illustrent le comportement du champau niveau du récepteurdépendamment de l'emplacementde ce dernierdans la zone d'ombreou illuminée.
--- PolarisationH:optiquegéométrique
—PolarisationH:asymptotique_____
200
100 150
50
4>(endegré)
<j>(endegré)
(a) (b)
Figure3.27: Moduleduchampdiffractéenutilisantl'OGetlaTUDenpolarisation(a)Eet(b)H : /= 50MHz;c=3xl08— ;a=5A;
La détermination des trajets dans la zone illuminée se fait par application du principe deFermât. Àceteffet, enadoptant lesystèmede coordonnéespolairesavec comme origine lecentre du cercle (voir Figure 3.24), il devient possible de localiser le point brillant de la surface à partir duquel la réflexion se produit. Ce point est obtenu suite à la résolution de l'équation transcendantale suivante :
a -p0 cos (0, - (y)
_____________________
Ja2 + p02 - 2ap0cos(d, - y/) Ja2 + p2 - 2apcos(di - </>,)
a- pcos (9,-fr)
(3.54)
g(*) =
Un trajetsera dit réaliste si etseulement si, il existe un angle 0, satisfaisant à la conditiong(x)=0. Entre autres, il sera nécessaire que la condition suivante soit
respectée :
0 > n-arcsin —
V^O
(3.55)
a a
<f> >n-arccos -arccos
VPo V.P
Aprèsobtention de la valeur de 8 annulantg, il devientpossible de déterminer
et .
Dans ces conditions, le champ en zone illuminée pour une incidence oblique s'obtient parla relation :
exp(-jks) Pr exp(-jk(sr +s')) (3.56)
^observation +R
s1 (sr +pr) S e,m
En ce qui concerne le casde figure où le pointd'observation se trouvedans la zoned'ombre, cette relation devient :
exp(-jk[sd +s‘))
^observation (3.57)
■Jsds'
Nous ferons usage de ces résultats lors de la mise sur pied d'un modèle de prédiction de la propagation en environnement complexe confiné à surfaces dotées de rugositésà profils périodiques. Detels profilspeuventêtre identifiés à desformes courbes similairesauxdemi-cylindres, à des arêtesobservées surdesdièdres, à des surfaces pyramidales et à des jonctions de surfaces planes, caractéristiques d'environnements pouvant s'apparenterà un canal radio mobile.
Ayantfait mentiondes principaux mécanismes depropagation de l'onde durant cette section, nous nous intéresserons par la suite aux différents paramètres caractérisant un canal de propagation.