Modèle numérique

4.3 Modèle numérique

4.3.1 Écriture du modèle

La modélisation numérique du problème (4.1) s'eectue par la méthode des éléments nis, qui s'appuie sur la formulation variationnelle du problème. On note ici g la fonction d'essai, dénie sur H1(Ω) :

Z Ω cdT dt^{g dΩ = −} Z Ω k ~∇T· ~∇g dΩ −^Z Γh hT g dΓ + Z Ω Π g dΩ (4.2) En exprimant chacune des intégrales de volume précédentes comme la somme de deux termes, d'une part le volume de la sonde ΩSet d'autre part, celui du matériau isolant ΩI, il est possible d'isoler les termes inconnus recherchés, c'est-à-dire la conductivité thermique kI et la capacité calorique cI de l'isolant :

c_I Z Ω_I dT dt^{g dΩ +} Z Ω_S c_SdT dt^{g dΩ = − k}I Z Ω_I ~ ∇T· ~∇g dΩ −^Z Ω_S ~ ∇T· kS∇g dΩ~ − Z Γh hT g dΓ + Z ΩHW π g dΩ (4.3)

La discrétisation spatiale est eectuée en considérant pour chaque élément des fonctions d'interpolation linéaires (éléments de type P1). Ce modèle est appelé le Modèle Complet Réel MCR. Après discrétisation spatiale, on obtient l'expression matricielle suivante en respectant le même ordre que dans (4.3) :

(c_ICI⁺CS^{) ˙}T = (kIKI⁺KS⁺H)T + U (4.4) soit

(cICI+CS) ˙T = (kIKI+A)T + U (4.5) Les diérentes matrices C_I, C_S, K_I, et A sont de taille [N, N] et sont topologiquement creuses, où N = 61591est le nombre de degrés de liberté. Le terme U est ainsi un vecteur de dimension [N, 1].

L'ensemble des programmes permettant la construction de ce modèle discret sont des outils conçus au laboratoire en C++. La résolution est assurée à partir d'un schéma de discrétisation temporelle à pas de temps variable du deuxième ordre. Le solveur utilisé est "PARDISO" soit l'acronyme de Parallel Direct Sparse Solver Interface d'Intel, adapté aux matrices creuses. L'ordinateur utilisé pour l'ensemble de ces travaux est un Dell Precision 7530, ayant un processeur Intel(R) Xeon(R) E-2176M avec une mémoire RAM de 64Go.

4.3.2 Discussion sur la durée d'utilisation de la sonde

Le choix de la conguration choisie présentée précédemment (Figure 4.1) est lié à une géométrie réelle pour laquelle on cherche à caractériser un isolant d'une épaisseur typique de 10 [cm], placé dans un mur, et dans lequel la sonde est alors insérée.

Pour s'aranchir de la connaissance du matériau placé derrière l'isolant, il est alors nécessaire de limiter le temps d'utilisation de la sonde, de façon à ce que les conditions limites n'inuent pas sur les mesures de température. On cherche ici à obtenir un ordre de grandeur de ce temps, qui sera alors utilisé dans l'étude numérique menée dans ce chapitre. Selon les matériaux isolants utilisés, la diusivité varie de façon non négligeable, et donc la durée limite va dépendre du matériau choisi. De façon pratique, on ne s'intéresse ici qu'aux températures aux points de mesure M1et M2(Figure 4.2). L'estimation de l'ordre de grandeur de ce temps de mesure s'obtient par comparaison entre la simulation numérique pour deux congurations :

 Le modèle tel que décrit précédemment (Figure 4.1 et équation (4.1)),

 Un nouveau modèle caractérisé par une épaisseur deux fois plus importante (20 [cm]) qui va se comporter comme un modèle semi-inni compte tenu des durées simulées.

La Figure 4.4 représente l'évolution des températures aux points M1et M2, en fonction du temps, pour les deux modèles considérés, et pour deux matériaux isolants typiques placés dans une paroi de bâtiment. Ces deux isolants sont caractérisés par des diusivités extrêmes parmi les isolants en général :

 laine minérale : kI = 0, 030 [W.m−1.K−1], cI = 7, 2.104 [J.m−3.K−1],  polystyrène expansé : kI = 0, 035 [W.m−1.K−1], cI = 2, 6.10⁴ [J.m−3.K−1],

4.3 Modèle numérique 61

Les écarts constatés dans les premiers instants s'expliquent par le fait que les deux modèles utilisent des maillages diérents. Par contre, il apparait à partir d'un temps variable selon les isolants et les points de mesure, des erreurs qui augmentent de façon régulière.

Pour toute la suite de l'étude numérique, dans laquelle nous allons eectuer la construction des modèles réduits, ainsi que la phase d'identication des propriétés à partir de mesures purement numériques, nous choisirons une durée moyenne unique de 600 [s], pour tous les matériaux. Cette durée moyenne, pourraient être étendue pour certains matériaux, et s'avère un peu trop longue pour d'autres1. Ceci n'aura pas d'inuence sur l'étude numérique actuelle, puisque les mesures restent virtuelles, obtenues par le modèle complet déni par le système d'équations (4.1). Lors d'essais expérimentaux ultérieurs, il faudra faire attention à cette limite.

4.3.3 Comparaison avec le modèle analytique

Une simulation directe est eectuée en choisissant un isolant de caractéristiques suivantes :

     kI = 0, 041 [W.m−1.K−1] cI = 1, 15 × 10⁵[J.m−3.K−1] (4.6)

La sonde dissipe la puissance π pendant une durée t = 600 [s]. Les résultats obtenus aux points de mesures M1et M2(Figure 4.2) sont comparés au modèle analytique issu du modèle de Blackwell (présenté au chapitre 1 par la relation (1.4)).

Les évolutions de température au point de mesure M2 du modèle numérique et sur un point unique du modèle de Blackwell sont ainsi représentées sur la Figure 4.5.

On note d'une part que le modèle numérique reproduit un comportement de type sigmoïdal. Et d'autre part, on remarque que la loi analytique de Blackwell ne retrouve pas le même comportement, mais plutôt une ligne droite car elle utilise des hypothèses simplicatrices qui ne prennent pas en compte certains phénomènes physiques.

1. Pour le matériau caractérisé par la diusivité la plus forte et donc la longueur de diusion la plus importante, une erreur de 0, 17 [◦C]est en eet observée sur la Figure 4.4b. Une durée de 400 [s] d'utilisation de la sonde serait plus adaptée dans ce cas précis.

4.3 Modèle numérique 63

10

10

10

10

ln(t)

0

2

4

6

8

10

12

Température [°C]

Figure 4.5  Modèle analytique vs simulation virtuelle d'une sonde à choc type aiguille

On note que les deux évolutions sont diérentes, et que la réalité simulée par le modèle numérique 3D est caractérisé par une évolution non-linéaire de la température en fonction du logarithme du temps, ce qui interdit une détermination directe de la conductivité. On retrouve ici les résultats bibliographiques [41, 42].

4.3.4 Analyse spatiale

La Figure 4.6 ache les prols numériques de température aux deux points de mesure M1 et M2de la sonde. Selon l'orientation de l'axe, le prol de température change. Il existe une non-homogénéité notable concernant la température à l'intérieur de la sonde, aussi bien radialement (concernant le l chauant), que longitudinalement (ux thermique le long de la sonde). On note ainsi un écart de température maximum dans la sonde de l'ordre de 0, 65 [◦C]. Cela prouve combien il est essentiel de connaître avec précision la géométrie et les propriétés thermiques de la sonde, et de ne pas se contenter de considérer comme un objet uniforme englobant toutes les composantes. On note que l'écart de température entre les deux points de mesure pourrait varier en fonction du matériau isolant testé, et qu'en cas de conductivité plus faible, cet écart sera plus perceptible.

Figure 4.6  Prol de température à t = 600 [s]

Pour la suite de l'étude, ce modèle numérique MCR va servir à 2 choses :

- Il permettra d'obtenir des mesures virtuelles, en ajoutant aux résultats obtenus aux points de mesure M1 et M2un bruit gaussien.

- Comme on le montre dans la suite, il va servir de point de départ pour la construction d'un modèle réduit précis pour toute la gamme d'isolants que l'on souhaite caractériser par cette sonde.