Méthodes de réduction

L ^d

∼

X

dt ⁼MX + N^∼ (3.11) avec L =V^{∼ T}CV et M =^∼ V^{∼ T}AV dont les dimensions sont [n, n], et N =^∼ V^{∼ T}U de dimension [n, 1]. Cette formulation conduit à la réduction du nombre d'inconnues, car le modèle complet (3.2) est caractérisé par N inconnues, tandis que la dimension de ce modèle modal (3.11) correspond aux n modes propresV^∼_i(M ). À partir de cette formulation, diérentes méthodes existent pour réduire un modèle. On les présente dans la section suivante.

3.2 Méthodes de réduction

3.2.1 Proper Orthogonal Decomposition

La POD, acronyme de Proper Orthogonal Decomposition est une technique qui s'appuie sur un traite-ment statistique d'un ensemble d'observations (expéritraite-mentales ou numériques) d'un signal T (M, t) noté ici T (x).

On cherche à extraire de ces observations, considérées comme aléatoires, un mode dominantV^∼ (3.6), en maximisant une moyenne de projection de ce signal sur la fonction recherchée :

< (T,V)^∼ 2> kV k^∼ 2 = max v∈L2(D) <T, v > k v k2 (3.12) La solution à ce problème est l'équation intégrale de Fredholm de premier ordre :

n_c X j=1 Z D Rij(x, x⁰) ∼ Vj(x⁰)dx⁰= zi ∼ Vi(x) (3.13) où :

- nc est le nombre de composantes de T (x), - R est la fonction d'auto-corrélation,

R(x, x⁰) =< T (x), T (x⁰) > (3.14)

Dans le domaine de la thermique, diérents auteurs ont utilisé cette technique an de résoudre des problèmes linéaires et non-linéaires. Dans la littérature on trouve l'utilisation de la POD pour traiter les problèmes de convection : Ghosh et al. [87] étudient les champs de température convective de l'air à l'intérieur d'un Data Center, et Sempey et al. [88] ont développé un modèle réduit an d'eectuer un contrôle continu en temps réel d'une climatisation dans une pièce.

En ce qui concerne les problèmes de conduction, Fic et al. [89] utilisent la POD couplée à la méthode des éléments nis pour résoudre un problème thermique non-linéaire où la conductivité et la capacité thermique dépendent de la température. Quelques années plus tard Zhang et al. [90] appliquent la POD pour réduire la méthode classique de Galerkin sans maillage en régime transitoire. Khlopov et Mangold [91] ont introduit la POD dans la méthode des volumes nis pour obtenir un modèle de conduction thermique non-linéaire de faible dimension. Plus récemment, Jiang et al. [92] combinent la méthode des éléments de frontière à intégration radiale avec la POD de façon à établir un modèle réduit non-linéaire pour les problèmes de conduction de chaleur.

Dans le domaine des problèmes inverses, cette technique a beaucoup été utilisée par Park et al. [93] pour identier diérentes sollicitations thermiques. En ce qui concerne la caractérisation thermique de matériaux, la seule étude concerne les travaux de Adamczyk et al. [94], qui identient les diérentes composantes d'un tenseur de conductivité, en utilisant une technique de minimisation de type gradient dans la procédure inverse.

3.2.2 Méthode d'Identication Modale

La MIM, ou Modal Identication Method en anglais, est une méthode basée sur l'identication directe des paramètres d'une équation modale (3.11) à partir d'un ensemble de simulations ou de mesures groupées dans un vecteur.

Cette équation d'état est en général représentée pour un problème linéaire sous la forme suivante :

˙

X = FX + GU (3.15) où F est la matrice diagonale de n valeurs propres, et G est la matrice d'aectation du vecteur de sollicitation U. La relation entre les sorties Y et les états d'excitation des modes fait apparaitre la matrice d'observation H :

3.2 Méthodes de réduction 35

Y = HX (3.16)

L'identication des matrices F, G et H est eectuée par la minimisation d'un critère basé sur l'écart entre la réponse du modèle complet (ou la référence) Y_ref et celle du modèle réduit Y :

J (F, G, H) = N_mes X i=1 N_t X j=1

Y(i, j)ref−Y(i, j)(F, G, H)^2 (3.17) où Ntest le nombre de pas de temps de la simulation et Nmesle nombre de mesures. Ainsi, l'ordre du modèle réduit est augmenté jusqu'à obtenir la précision souhaitée.

Cette méthode a d'abord été introduite dans les problèmes de conduction de type linéaire pour l'identi-cation des systèmes d'ordre réduit [95]. Les problèmes non-linéaires de conduction et convection naturelle ont aussi été traités par cette technique an d'acquérir des modèles réduits permettant de résoudre des problèmes inverses [96, 97, 98, 99].

Dans le cadre de l'identication de propriétés thermiques de matériaux, seul Girault et al. [100] pré-sentent une étude dans laquelle est traité un problème simple de diusion de chaleur linéaire, où un modèle réduit de type MIM permet d'identier la conductivité thermique d'une plaque en 2D.

3.2.3 Proper Generalized Decomposition

La méthode PGD (Proper Generalized decomposition) est une généralisation du principe de séparation des variables [101, 102].

Dans un problème thermique, la température est écrite comme un produit multiple d'un ensemble de fonctions, où chacune de ces fonctions dépend soit d'une variable (temps, espace) soit d'un paramètre Pi

(capacité calorique, conductivité thermique, ...) :

T (x, y, z, t, P1, P2, ...) '

n

X

i=1

xi(t)· V1_i(x)· V2_i(y)· V3_i(z)· V4_i(P1)· V5_i(P2) (3.18) Ces fonctions sont calculées en enrichissant la base à chaque itération.

La PGD, à la diérence des deux méthodes présentées précédemment de type a posteriori, est une méthode de type a priori car le modèle réduit est généré à la volée, spéciquement pour chaque problème. Dans la littérature, cette méthode est employée dans plusieurs domaines de la physique. Pour la thermique, Berger et al. [103, 104, 105] résolvent le couplage de la diusion de la chaleur et de l'humidité

dans une paroi, et eectuent une modélisation multi-zone dans un bâtiment. Des applications dans les problèmes inverses ont été eectuées par Gonzalez et al. [106] de manière à estimer des fonctions spatiales linéaires dénies comme des conditions aux limites de problèmes thermiques. On ne trouve pas d'étude qui utilise cette technique pour la caractérisation thermique de matériaux.