La base d'Amalgame

→ ∇Tref·^−→∇ ˆV_j^YdΩ + Z Γ Tref ζ ˆV_j^YdΓ = Z Ω k0 − → ∇   X X =D,S nX X i=1 x^X_i V^ˆ_i^X  ·^−→∇ ˆV_j^YdΩ + Z Γ   X X =D,S nX X i=1 x^X_i V^ˆ_i^X   ζ ˆV_j^YdΓ = ^X X =D,S nX X i=1 Z Ω k0 − → ∇ ˆV_i^X·^−→∇ ˆV_j^YdΩ + Z Γ ˆ V_i^Xζ ˆV_j^YdΓ  x^X_i = ^X X =D,S n^X X i=1 δ_{X Y}δijx^X_i = x^X_i (3.56)

Le principe de cette technique de réduction est d'eectuer un classement de l'ensemble des états d'excitation ainsi obtenus, ce qui permet de ne conserver qu'un nombre réduit de modes associés aux états les plus inuents. Diérents types de classement sont possibles, soit en fonction de la valeur absolue des états à des moments précis, soit en fonction de l'énergie de ces états (intégrale dans un domaine temporel du carré des états). Cette technique conduit généralement à une réduction plus ecace que la simple troncature temporelle, mais elle présente un inconvénient : l'ecacité de la réduction dépend des champs de référence qui doivent être connus. On retrouve ici la même contrainte que celle existant pour la méthode POD.

À partir de la même géométrie discrétisée, il est généralement possible de réaliser des simulations d'un problème thermique plus simple que celui étudié, mais qui pourra cependant exciter les modes caractéristiques.

3.3.4 La base d'Amalgame

Une technique encore plus élaborée est celle de l'Amalgame. Le principe est de classer les modes propres selon leurs états d'excitation, mais cette fois, les modes qui ne sont pas conservés lors de la troncature sont ajoutés par de simples combinaisons linéaires aux modes initialement retenus :

∀i ∈ {1, n} V^˜_i= V_i,1+

˜ N_i

X

p=2

α_i,pV_i,p ; 0 < |α_i,p| < 1 (3.57) An de conserver les propriétés de la base, chaque mode est utilisé une seule fois :

3.3 Amalgam Reduced Order Modal Model 51 n X i=1  ˜_{Ni+ 1} = N₀ (3.58) La distribution des modes initiaux et le calcul des coecients d'Amalgame αi,psont eectués selon une procédure séquentielle rapide qui ne dépend que de la connaissance des états d'excitation. Mise en place par Oulefki [127] dans le cas des bases classiques pour lesquelles le découplage permettait de déterminer facilement les états de référence, cette technique de réduction a été largement utilisée pour les modes de Branche. La diculté est en général de déterminer les états d'excitation de la base complète. Une première solution assez simple [128, 129] consiste, comme pour la troncature énergétique, à utiliser un ensemble de champs de température obtenus par résolution complète d'un problème de référence, qui donne accès aux états d'excitation (équation (3.55) ou (3.56)).

Chaque mode propre principal est lié à un mode propre d'Amalgame correspondant. La distribution des modes initiaux dans les sous-espaces de la base amalgamée, ainsi que la détermination des coecients d'Amalgame α, sont réalisées en minimisant un critère JR basé sur la diérence entre les champs de température obtenus respectivement par le modèle complet T et le modèle réduit T, déni à partir due produit scalaire :

JR= Z t

0

< (T − eT ), (T − eT ) > dt (3.59) Par exemple, pour une base de Branche on écrira :

JR= τ Z 0 " Z Ω c0 (T − eT )²dΩ + Z Γ ζ (T − eT )²dΓ # dt (3.60) Le choix de ce critère particulier permet de tirer parti des propriétés d'orthogonalité de la base complète (3.40), an d'obtenir un processus d'optimisation rapide et séquentiel en fonction du nombre de modes de la base réduite. Ces calculs sont ensuite eectués à partir de champs de température connus, caractéristiques du processus simulé.

D'autres techniques ont également été testées [116, 114, 118] an d'éviter de calculer les champs thermiques de référence : puisque les états d'excitation des modes propres sont uniquement utilisés ici pour classer ces modes an de mettre en place la procédure d'amalgame, ces auteurs ont construit le problème modal complet associé, et ont cherché une estimation simple des états d'excitation. En utilisant une base de Branche et en négligeant les termes de couplage entre les modes, le problème modal a été

résolu analytiquement et les états d'excitation sont devenus extrêmement rapides à obtenir [114]. Une amélioration de cette technique a été réalisée ultérieurement dans le cas d'un disque rotatif, pour lequel seul le couplage d'un petit nombre de modes est pris en compte [121].

3.4 Conclusion

Cette étude bibliographique a permis de montrer que la technique de réduction modale ore une solution à l'utilisation de modèles numériques de grande taille pour une problématique inverse. En eet, le changement d'espace de travail "Température - État d'excitation des modes" permet de diminuer de façon importante le nombre d'inconnues du système à résoudre, tout en conservant la complexité du problème posé (en termes de géométrie, de sollicitations thermiques, etc.)

De façon générale, une réduction ecace va s'appuyer sur la connaissance de données de référence pour lesquelles la réduction va être optimum. Dans le cas où l'on cherche à déterminer les caractéristiques thermiques d'un matériau, peu d'études ont été menées. La diculté est en eet de pouvoir déterminer un modèle réduit qui soit ecace quelque soient les valeurs de ces propriétés intrinsèques au problème thermique posé.

Ainsi dans le cas de la POD, la seule étude réalisée [94] a permis de retrouver des valeurs de conductivité thermique dans un domaine assez restreint (entre 4,5 [W.m−1.K−1] et 6,5 [W.m−1.K−1] ). Pour la MIM, peu de détails sont donnés sur l'unique étude réalisée [100].

L'objectif de ce travail va donc être d'évaluer l'ecacité des techniques de type AROMM dévelop-pées par l'équipe THE du laboratoire d'accueil dans le cadre de la problématique de la caractérisation thermique.

Dans ce qui suit, deux types d'application sont proposées :

 L'utilisation d'une sonde à choc de type aiguille va faire l'objet d'une modélisation 3D, puis d'une réduction modale, an d'être utilisée dans une procédure inverse.

 La caractérisation multi-échelle, qui fait le lien entre la structure micro et la mesure macro sera abordée.

À chaque fois, le choix du type de base utilisée sera discuté, et diérentes techniques de minimisation inhérente à la procédure inverse seront comparées.