4.2 Modélisation de la DDRX
4.2.2 Modèles en champs moyens
4.2.2.2 Modèle de Montheillet et al
Montheillet et al. [60] ont proposé un modèle de DDRX en champs moyens basé sur une approche semi-analytique. La structure du matériau est modélisée par un ensemble de N grains sphériques définis à tout instant par leurs densités de disloca- tions ρi et par leurs diamètres Di. L’hypothèse forte du modèle en champs moyens
est de considérer chaque grain comme une inclusion interagissant avec une matrice homogène équivalente dont les propriétés sont la moyenne des propriétés de l’en- semble des grains (figure 4.3). Ce type de modèle ne possède donc pas de relation d’espace et de positionnement entre les grains (topologie).
Figure 4.3 – Hypothèse forte des modèles en champs moyens : un grain interagit avec une matrice homogène équivalente.
Écrouissage – restauration dynamique
L’évolution de la densité de dislocations dans chaque grain est déterminée à l’aide d’une loi intégrant à la fois les effets de l’écrouissage et ceux de la restauration dynamique. Usuellement trois lois de comportement peuvent être utilisées dans ce modèle. La première équation est proposée par Kocks–Mecking (KM) [61] :
dρ
dε = h
√
ρ − rρ (4.1)
où h est le paramètre d’écrouissage, r le paramètre de restauration dynamique et ρ la densité de dislocations.
Kocks considère que le taux d’écrouissage est proportionnel à√ρ car le libre par-
cours moyen des dislocations dans le matériau est proportionnel à 1/√ρ. Le mou-
vement des dislocations dans le matériau participe à la déformation plastique. Par l’intermédiaire du mécanisme de source de Frank et Read, la création de nouvelles dislocations s’active lorsque que le mouvement d’une dislocation est bloqué par son interaction avec d’autres dislocations, afin de faire perdurer la déformation. Dans un matériau où les dislocations sont peu abondantes, aux faibles déformations par exemple, le mécanisme d’écrouissage est donc fortement dépendant de cette interac- tion entre les dislocations, et par conséquent de la distance moyenne parcourue par les dislocations dans le matériau.
À l’inverse, de nombreux auteurs [62–66] considèrent que le taux d’écrouissage est constant. Dans un matériau où les dislocations sont plus nombreuses au départ et où la sous–structure se forme très tôt dans le matériau, celles-ci sont absorbées au niveau des sous-joints et participent à leurs désorientations. Dans ce cas, elles parcourent le sous-grain sans rencontrer d’autres dislocations. L’écrouissage devient donc indépendant de l’interaction entre les dislocations. Le libre parcours moyen des dislocations ne dépend donc plus des autres dislocations mais correspond plutôt à la taille des sous-grains. Ainsi Yoshie [64] et Laasraoui–Jonas (YLJ) [65, 66] ont proposé une équation où le taux d’écrouissage est constant, correspondant plutôt au domaine des grandes déformations :
dρ
dε = h
0− r0
ρ (4.2)
où h0 est le paramètre d’écrouissage, r0 le paramètre de restauration dynamique. La troisième loi proposée pour sa simplicité par Montheillet et al. [60] est une loi puissance (PW) :
dρ
dε =
Hν+1
ρν (4.3)
4.2 Modélisation de la DDRX une constante.
Malgré les différences au niveau de la physique prise en compte, dans la pratique Montheillet et al. [67] ont montré que les modèles YLJ, KM et PW réussissent tous à reproduire avec une précision similaire les courbes contrainte – déformation expérimentales. De plus, ils ont démontré l’existence de relations permettant de calculer la valeur de chaque paire de paramètres à partir des valeurs des autres paires. L’équation d’écrouissage – restauration dynamique dans le modèle peut donc être remplacée par n’importe quel autre modèle tel que la forme généralisée proposée par Estrin [68] : dρ/dε =h + h00√ρ − rρ− r00 permettant d’inclure les effets de la
restauration statique (r00).
Quelle que soit la loi de comportement utilisée, les paramètres sont dépendants de la température et de la vitesse de déformation. Dans le modèle, ces paramètres sont souvent considérés comme identiques pour l’ensemble des grains.
Enfin, la contrainte d’écoulement en sortie du modèle est calculée à l’aide de la relation de Taylor : σ = αµb P√ ρiDi3 P D3 i (4.4) où α est une constante. Notons que le calcul de la densité de dislocations moyenne est pondéré par le volume des grains, et non par la surface, car la contrainte macro- scopique est la moyenne des contraintes locales dans le volume des grains.
Migration des joints de grains
La différence de densité de dislocations entre le grain et la matrice homogène environnante est considérée comme la principale force motrice de la migration des joints de grains [69] :
dDi
dt = 2M τ (ρ − ρi) (4.5)
où M est la mobilité des joints de grains, ρ la densité de dislocations moyenne de la matrice, ρi la densité de dislocations moyenne du grain i et τ l’énergie de ligne des
dislocations (τ = µb2 où µ est le module de cisaillement et b la norme du vecteur de Burgers). Le facteur 2 signifie que deux parties sphériques opposées de joints de grains se déplacent dans des sens opposés.
En régime stationnaire, lorsque la densité de dislocations moyenne dans le maté- riau est stable, le grain croît (ρi < ρ) jusqu’à une taille maximale atteinte lorsque
ρi = ρ. Comme le grain continue de s’écrouir sous l’action de la déformation, le sens
de la force motrice s’inverse et le grain décroît (ρi > ρ) jusqu’à disparaître.
de ρ par les fractions de surface des joints [60] : ρ = P ρiD2i P D2 i (4.6) En effet, le volume total du système étant proportionnel à P
D3 i, sa dérivée tem- porelleP ˙ DiDi2 = 2M τ ρP D2 i − P ρiD2i
doit être nulle pour assurer l’incompres- sibilité du matériau.
Germination
L’évolution du nombre de grains dans le système dépend de l’équilibre entre la germination de nouveaux grains dN/dt+
et la disparition des grains fortement écrouis dN/dt−
. La disparition des grains est gérée par l’équation 4.5, en effet lorsque la taille d’un grain en décroissance est proche de 0, celui-ci est enlevé du système, le volume résiduel étant transféré à un autre grain du système. Plusieurs mécanismes de germination ont été précédemment décrits dans la section 1.3.4, tels que la migration locale d’un joint entre deux grains adjacents [24, 25], la rotation d’un sous-joint [26, 27] ou encore la germination par maclage [28, 29]. Cependant l’étude et l’observation de ces mécanismes restent difficiles. Montheillet et al. [60] ont proposé ainsi une forme générale du taux de germination par unité de temps :
dN dt !+ = kNρp X Di2 (4.7)
où kN est le paramètre de germination dépendant des conditions expérimentales
et p une constante positive. Dans le cas présent p = 3 afin d’être cohérent avec un exposant de Derby ≈ 0,75 [60]. L’équation 4.7 décrit une vitesse de germination croissante avec la densité de dislocations moyenne (l’énergie stockée dans les disloca- tions est la force motrice de la formation des germes) et proportionnelle à la surface totale des joints de grains (les germes apparaissent préférentiellement au niveau des joints de grains).
Identification des paramètres du modèle
L’utilisation des équations [4.1,4.2,4.3], 4.5 et 4.7 est suffisante pour modéliser la recristallisation dynamique discontinue quelles que soient les conditions expérimen- tales, le matériau et la taille de grain initiale. Cependant ces équations font appel à des paramètres matériaux qu’il faut préalablement déterminer.
Dans le modèle, la loi puissance est usuellement utilisée car elle a l’avantage de conduire à une solution analytique en régime stationnaire permettant de déterminer les paramètres matériaux kN et M [69] :
4.2 Modélisation de la DDRX M τ = (2ν + 3)(ν + 1) ν+2 (ν + 2)ν+1H ν+1ε˙ D¯ σS/αµb 2(ν+2) (4.8) kN = 3 8 (3ν + 4) (3ν + 5) (2ν + 3)2 (ν + 1)ν+2 (ν + 2)ν+1 Hν+1ε˙ σS/αµb 2(p+ν+1) ¯ D2 (4.9)
Les paramètres H et ν sont déterminés à partir des courbes contrainte – défor- mation expérimentales à l’aide de la relation suivante, obtenue par intégration de l’équation 4.3 et application de la relation 4.4 :
σP W = K (ε + ε1)n (4.10)
où K et ε1 sont des constantes ne dépendant que de H et ν, et n = 1/(2ν + 2).
Fonctionnement du modèle
À chaque pas de temps ou de déformation, les étapes suivantes sont effectuées : – évaluation de la densité moyenne des dislocations à l’aide de la relation 4.6; – évaluation des grandeurs globales (par exemple équation 4.4) pour le pas de
déformation ou de temps;
– germination de nouveaux grains (équation 4.7);
– croissance et décroissance des grains à l’aide de l’équation 4.5; – suppression des petits grains;
– évolution de la densité de dislocations des grains selon l’une des équations 4.1, 4.2 ou 4.3.