Modèle mathématique et équations

Les serveurs informatiques, hébergés dans des salles aux dimensions souvent importantes [7],

dissipent de grandes quantités d’énergie lors de leur fonctionnement. Des ventilateurs internes

refroidissent les composants en créant un courant d’air au travers des racks et en évacuant la chaleur

dans l’air ambiant. Un refroidissement permanent par air frais est donc nécessaire pour assurer une

bonne sécurité de fonctionnement. Munis de ventilateurs, des unités de soufflage de type CRAH

extraient l’air chaud depuis la salle, la reconditionnent, à l’aide d’échangeurs de chaleur et restitue

un air à basse température. D’autre part, dans certaines conceptions de type free-cooling à air, les

conditions d’hygrométrie peuvent créer de la condensation, ou de l’évaporation sur les parois du

serveur, et la qualité de l’air influence la quantité de poussière (particules solides en suspension) qui

risque d’encrasser les équipements.

Tous ces phénomènes sont couplés, mais n’ont pas le même degré d’importance sur l’efficacité

énergétique. Nous avons ainsi décidé de ne pas tenir compte de la présence de poussière, ni de

l’évolution du taux d’humidité. Le travail s’est focalisé sur les écoulements d’air dans la salle serveur

et et sur les échanges de chaleur associés.

Dans le cadre de la modélisation, les mouvements d’air seront décrits par les équations de

Navier-Stokes incompressibles et les transferts de chaleur par l’équation de l’énergie. D’autre part,

compte tenu des grands volumes d’air froid nécessaires au bon fonctionnement du système, les

vitesses d’air au niveau des grilles de ventilation sont importantes (de l’ordre de 0.5 m/s à 1m/s

[30]). En tenant compte des dimensions du domaine, le nombre de Reynolds calculé dans la salle

des serveurs est élevé. Ainsi Almolie et al. [6] estime 𝑅𝑒 ≈ 10

5

, tandis que dans nos précédent

travaux [30], ce nombre sans dimension était de l’ordre de 𝑅𝑒 ≈ 10

4

. D’après ces résultats, le

régime de l’écoulement sera turbulent et un modèle décrivant les effets de ce phénomène sur les

mouvements d’air et sur les transferts d’énergie doit être intégré.

Les centres de calcul présentent des géométries rendus complexes par la présence de nombreux

obstacles (cloisons, Rack informatique). Leur modélisation sera intégrée dans le code afin de tenir

compte des perturbations qu’ils provoquent sur l’écoulement.

2.1.1. Equation du mouvement

L’air est supposé newtonien incompressible, sa masse volumique est fonction de la

température. Les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement s’écrivent :

∇ ∙ 𝑢 = 0 (2.1)

𝜌 (^𝜕𝑢

𝜕𝑡 ^{+ 𝛻 ∙ 𝑢 ⊗ 𝑢) = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝛻 ∙ (2𝜇𝑆) −}

𝜇

𝑘^{𝑢 (2.2)}

2.1 Modèle mathématique et équations

Les termes du second membre de l’équation (2.2) représentent la somme des forces appliquées au

fluide. Le premier terme ρg est l’action de la gravité. Le second terme est le gradient de pression

−∇p et le troisième ∇ ∙ (2μS) représente les contraintes de viscosité avec S le tenseur des taux de

déformation définit par 𝑆 =

¹₂

(

^𝜕𝑢_𝜕𝑥

+

^𝜕𝑢_𝜕𝑥^𝑇

). Finalement le terme dit de Darcy Brinkman

^𝜇_𝑘

𝑢 est

ajouté afin de prendre en compte les obstacles solides. Le paramètre 𝑘 représente la perméabilité.

Typiquement, une perméabilité élevée (par exemple 𝑘 = 10

20

𝑚²) correspond à un milieu fluide,

et annule le terme

^𝜇_𝑘

𝑢, alors qu’une très faible valeur (𝑘 = 10

−20

𝑚²) pénalise la vitesse à une valeur

proche de 0. Cela correspond alors à un milieu à vitesse nulle, non perméable. La structure solide

des racks, des serveurs et des cloisons est ainsi modélisée.

2.1.2. Equation de l’énergie

La chaleur est transférée principalement par deux modes : la conduction dans les structures

solides, et surtout, la convection engendrée par les ventilateurs des unités de climatisation dans la

salle. Celle-ci étant de grandes dimensions, la compétition entre les effets de convection naturelle

et de convection forcée n’est pas négligeable et doit être prise en compte. On obtient ainsi un

régime de convection mixte. L’équation de l’énergie écrite en température est ainsi utilisée :

𝜌𝐶

_𝑝

(^𝜕𝑇

𝜕𝑡 ^{+ 𝑢̅ ∙ ∇𝑇) = ∇. (𝜆∇𝑇) + 𝑃}

^𝑠

^(2.3)

Similairement à l’équation (2.2) le terme 𝑢̅ ∙ ∇𝑇 représente l’advection de la chaleur par le fluide.

Le terme source 𝑃

_𝑠

est ajouté pour simuler localement la dissipation volumique d’énergie des

serveurs, en pénalisant la chaleur.

2.1.3. Modélisation de la turbulence

Bien qu’il soit difficile de donner une définition précise de la turbulence, nous pouvons citer

ici la proposition de Chassaing [31] :

« La turbulence est un mode naturel d’écoulement d’un fluide visqueux où des mécanismes internes d’échange

d’énergie assurent la création et le maintien de toute une hiérarchie de mouvements chaotiques répartis continûment

sur une large gamme d’échelle macroscopique »

Un indicateur bien connu nous permet de déterminer le régime de l’écoulement : le nombre de

Reynolds. Il caractérise le rapport entre les forces d’inertie et les forces visqueuses et est défini par :

𝑅𝑒 = ^𝑉

^𝑐

^𝐿

^𝑐

𝜈 ^(2.4)

2 Outil numérique pour la simulation des salles informatiques

et des valeurs critiques (souvent fonction de la géométrie), un écoulement isotherme pourra

adopter un régime laminaire ou un régime turbulent.

Dans le cas des Datacenters le nombre de Reynolds est de l’ordre de 10

5

[30] [6]. Le régime

d’écoulement est donc turbulent dans l’ensemble de la salle des serveurs et un modèle est nécessaire

pour prendre en compte les échanges d’énergie qui s’opèrent entre les différentes structures de

l’écoulement et modifient sont comportement ainsi que les transferts de chaleur. Dans le domaine

de la simulation numérique, trois approches principales se distinguent :

La méthode de résolution directe (DNS Direct Numerical Simulation)

L’essence de cette méthode est de résoudre les équations de Navier Stokes sur un domaine

discrétisé de manière à capter toutes les échelles de l’écoulement. La taille des mailles et leur nombre

doivent donc être suffisants pour pouvoir simuler le comportement des grandes structures qui

régissent l’écoulement, mais également des plus petits tourbillons qui dissipent l’énergie.

Or selon Archambeau [32] et d’après les travaux de Kolmogorov, l’étendue du spectre des

échelles est de l’ordre de 𝑅𝑒

3/4

. Ainsi, lors d’une résolution en 3 dimensions, chaque axe devrait

posséder 𝑅𝑒

3/4

mailles, le domaine entier devrait disposer de 𝑅𝑒

9/4

mailles.

Dans le cas de la simulation de datacenters et selon les travaux d’Almolie [6] et les nôtres [30],

𝑅𝑒 est de l’ordre de 10

5

. Le domaine serait donc discrétisé en 10

11

mailles. Or compte tenu des

moyens de calcul actuels, ce type de solution n’est pas envisageable

La méthode statistique RANS (Reynolds Average Navier Stokes)

C’est une approche statistique ou l’on considère que les fonctions du champ de l’écoulement

(vitesse, pression, température) peuvent se décomposer en la somme d’une partie moyenne et d’une

partie fluctuante aléatoire. Ainsi tout champ ∅ peut s’écrire ∅ = 〈∅〉 + ∅′ ou 〈∅〉 est le champ

moyen et ∅′ une grandeur fluctuante aléatoire tel que 〈∅′〉 = 0. L’équation sous forme RANS de

Navier Stokes s’obtient en remplaçant les variables de vitesse et de pression par la somme d’une

composante moyenne et d’une composante aléatoire. Cette opération fait apparaitre le tenseur de

contrainte de Reynolds 𝜌𝑢′ ⊗ 𝑢′ qui caractérise l’action de la turbulence sur l’écoulement.

Plusieurs méthodes existent pour modéliser ce terme, la plus utilisé étant surement la méthode

𝑘−∈. Elle consiste à assimiler les contraintes de Reynolds à une viscosité turbulente 𝜇

_𝑡

et à les

exprimer en fonction de l’énergie cinétique turbulente 𝑘 et de son taux de dissipation ∈.

Dans la littérature, ce modèle de turbulence est le plus utilisé [7] [10] [8] [6] pour la simulation

de datacenters. Cependant dans le cadre de ce projet, un nouveau modèle de serveur intégrant un

système de régulation du débit d’air est créé. Un contrôleur PID (Proportionnel Intégral Dérivé)

est inséré dans le code de calcul et fait varier la vitesse de l’air à travers le serveur en fonction de la

température relevé à chaque itération. Le régulateur, programmé pour cette fonction se base sur

des valeurs de température instantanée. Or il ne pourra pas fonctionner correctement en relevant

la composante moyenne 〈𝑇〉 du champ 𝑇. Cela limite ainsi la possibilité d’utilisation de cette

2.1 Modèle mathématique et équations

méthode de turbulence, pour des raisons d’incompatibilité avec les autres outils développés dans

ce projet.

La méthode de simulation des grandes échelles LES (Large Eddy Simulation)

La méthode LES peut être considérée comme une alternative à la méthode DNS. Seules les

grandes structures énergétiques responsables des caractéristiques de l’écoulement sont simulées.

Les petites structures sont isolées à l’aide d’un filtre passe bas et modélisées sous forme de

contraintes dans l’équation de Navier-Stokes. Cette méthode permet d’obtenir une valeur

instantanée des champs de vitesse, de pression et de température tout en tenant compte des effets

turbulents et en gardant un maillage de taille raisonnable.

C’est cette dernière méthode qui est retenue dans le cadre de notre projet. Son faible coût de

calcul, sa modélisation des contraintes turbulentes et sa capacité à fournir un résultat instantanée

en font le modèle le plus adapté à la simulation d’une régulation de type PID.

La méthode LES applique un filtre passe bas aux équations de Navier Stokes et à l’équation de

la chaleur. Ce dernier, permet de séparer les grandes structures de l’écoulement qui sont calculées,

et les tourbillons de petites tailles qui sont modélisés sous la forme de contraintes visqueuse.

2.1.4. Filtrage des équations de Navier-Stokes et de l’énergie

Le filtrage d’une variable 𝑓(𝑥, 𝑡) est obtenu par application d’un produit convolution entre

cette dernière et un filtre 𝐺(𝑥, 𝑡) ( [33], [34]) :

𝑓(𝑥, 𝑡)

̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ∫ ∫ 𝑓(𝑦, 𝑡

^+∞ ′

)𝐺(𝑥 − 𝑦, 𝑡 − 𝑡

′

)𝑑𝑦𝑑𝑡′

−∞ +∞ −∞

(2.5)

Les longueurs de coupure en espace et en temps de la fonction 𝐺(𝑥, 𝑡) sont respectivement ∆̅

et 𝜏̅. Où ∆̅ est définit localement et conditionné par la taille de la maille :

∆̅= (∆𝑥∆𝑦∆𝑧)

¹3

(2.6)

Avec ∆𝑥, ∆𝑦 et ∆𝑧 les dimension de la maille dans les directions respectives 𝑋, 𝑌 et 𝑍. 𝜏̅ est

définie globalement et est fonction du pas de temps sélectionné pour le calcul. La partie non résolue

de la fonction 𝑓(𝑥, 𝑡) représentant les échelles de taille inférieure à la maille est noté 𝑓′(𝑥, 𝑡) défini

tel que :

2 Outil numérique pour la simulation des salles informatiques

Les simulations réalisées dans le cadre de cette étude sont calculées à l’aide du code Thétis et

les domaines seront discrétisés selon la méthode des volumes finis. Le filtrage sera donc réalisé en

fonction de la taille de la maille ∆̅ et est défini par la relation suivante [33] [35] [34]:

𝐺(𝑥) = {^{1 ∆̅}⁄ 𝑠𝑖 𝑥 ≤ ∆̅ 2⁄

0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛

(2.8)

Le filtre 𝐺(𝑥) appliqué aux équations de Navier-Stokes produit les équations de conservation

de masse et de mouvement suivantes :

∇ ∙ u̅ = 0 (2.9)

𝜌 (^𝜕𝑢̅

𝜕𝑡 ^{+ ∇ ∙ 𝑢̅ ⊗ 𝑢̅) = 𝜌𝑔 − ∇𝑝̅ + ∇ ∙ (2𝜇𝑆̅ − 𝜏}

^𝑖𝑗

^{) −}

𝜇

𝑘^{𝑢̅ (2.10)}

De même l’équation de l’énergie filtrée s’écrit :

𝜌𝐶

_𝑝

(^𝜕𝑇̅

𝜕𝑡 ^{+ 𝑢̅ ∙ ∇𝑇̅) = ∇ ∙ (𝜆∇𝑇̅ − Π) (2.11)}

Les variables de vitesse 𝑢, de pression 𝑝 et de température 𝑇 sont filtrées. Suite à cette

opération, deux nouveaux termes dit de sous maille apparaissent : 𝜏

_𝑖𝑗

pour l’équation de

conservation de mouvement filtrée (2.10) définit par :

𝜏

_𝑖𝑗

= 𝑢̅ 𝑢

_𝑖

̅ − 𝑢

_𝑗

̅̅̅̅̅

_𝑖

𝑢

_𝑗

(2.12)

et Π

_iT

pour l’équation de l’énergie filtrée (2.11) définie par :

Π

_iT

= u̅ T̅ − u

_i

^̅̅̅̅

_i

T (2.13)

2.1.5. Modélisation des échelles sous-maille

Les deux termes 𝜏

_𝑖𝑗

et Π

_iT

caractérisent l’action des petites échelles non résolues de la

turbulence, sur l’écoulement principal et sur les transferts thermiques. Ils doivent être modélisés

afin de fournir aux échelles résolues, les informations provenant des plus petites structures sous

maille. Dans le cadre de ce projet, nous adopterons une modélisation de type « fonctionnelle ». On

considère que les petites échelles sont en équilibre et dissipent complètement et instantanément

2.1 Modèle mathématique et équations

comme analogue au mécanisme moléculaire représenté par le terme de viscosité dans l’équation

2.9. Le modèle mathématique sera donc similaire à celui de la diffusion moléculaire dans lequel la

viscosité 𝜇 est complétée par une viscosité turbulente 𝜇

_𝑡

. La partie déviatorique du tenseur de

contrainte 𝜏

_𝑖𝑗

peut donc s’écrire de la manière suivante :

𝜏

_𝑖𝑗𝐷

= 𝜏

_𝑖𝑗

−¹

3^{𝑇𝑟(𝜏}

^𝑖𝑗

^{) = −2𝜇}

^𝑡

^{𝑆̅ (2.14)}

Avec 𝑆̅ =

¹₂

(∇u̅ + ∇

T

u̅) le tenseur des taux de déformation. La partie isostatique du tenseur

de contrainte est assimilable à une pression et est naturellement introduit tel que 𝑝̅ = 𝑝̅ +

1

3

𝑇𝑟(𝜏

_𝑖𝑗

). La viscosité turbulente 𝜇

_𝑡

doit maintenant être modélisée en fonction des variables

résolues.

La méthode de Smagorinsky

D’après ce modèle particulier LES, la viscosité turbulente s’approxime par l’équation :

𝜈

_𝑡

= (𝐶

_𝑠,∞

∆̅)

2

|𝑆̅| (2.15)

Avec |𝑆̅| = √(2𝑆̅

_𝑖𝑗

𝑆̅

_𝑖𝑗

) et 𝐶

_𝑠,∞

la constante de Smagorinsky, dont la valeur varie entre 0.18 et

0.23 en cas de turbulence homogène et isotrope [33]. Selon Lilly [36], en considérant la turbulence

isotrope et un nombre de Reynolds infini, cette constante est déterminée par la relation :

𝐶

_𝑠,∞

= ¹

𝜋⁽

3𝐶

_𝑘

2 ⁾

−34

≈ 0,173 ^(2.16)

Avec 𝐶

_𝑘

la constante de Kolmogorov. L’inconvénient majeur de ce modèle est qu’il fait

apparaitre une viscosité turbulente dès lors que le champ de vitesse calculé varie au cours du temps.

Cette méthode génère donc des phénomènes parasites tels que des re-laminarisations de

l’écoulement dans des zones bien résolues du domaine. Par ailleurs, en zone proche des parois où

les contraintes de cisaillement sont importantes, une viscosité turbulente importante est introduite

et perturbe la couche limite [37].

La méthode Turbulent Kinetic Energy (TKE)

Cette méthode consiste à relier l’énergie cinétique de sous maille à la viscosité turbulente. Ainsi

en l’absence d’échelle de sous maille dans les zones bien résolues, la viscosité turbulente s’annule.

Pour estimer l’énergie cinétique de sous maille 𝑞

_𝑠𝑚

, il est fait l’hypothèse de similarité d’échelle qui

stipule la correspondance structurelle statistique entre les plus grandes échelles de sous maille et les

2 Outil numérique pour la simulation des salles informatiques

(𝑢̅)

′

= 𝑢̅ − 𝑢̿ (2.17)

La longueur de coupure est ∆̿> ∆̅. La vitesse filtrée représente la partie « haute fréquence » des

échelles résolues et l’énergie cinétique de sous maille s’écrit :

𝑞

_𝑠𝑚

≈ ¹

2^(𝑢̅)

^′

^(𝑢̅)

^′

^(2.18)

Finalement la viscosité turbulente s’exprime :

𝜈

_𝑡

= 𝐶

_𝑇𝐾𝐸

Δ̅(𝑞

_𝑠𝑚

)

¹2

(2.19)

La constante 𝐶

_𝑇𝐾𝐸

est généralement prise égale à 0.2

La méthode des échelles mixtes

Cette méthode des échelles mixtes est appliquée en réalisant une moyenne géométrique

pondérée des viscosités turbulentes précédemment détaillée. Ainsi 𝜈

_𝑡

est exprimé par la relation :

𝜈

_𝑡

= 𝜈

_{𝑡(𝑆𝑀)}𝛼

𝜈

_{𝑡(𝑇𝐾𝐸)}1−𝛼

(2.20)

𝜈

_𝑡

= 𝐶

_𝑀

Δ̅

1+𝛼

(|𝑆̅|)

𝛼/2

[(𝑞

_𝑠𝑚

)

1/2

]

^1−𝛼

Avec :

𝐶

_𝑀

= (𝐶

_𝑠,∞

)

^2𝛼

(𝐶

_𝑇𝐾𝐸

)

1−𝛼

(2.21)

Le nouveau paramètre 𝛼 qui varie entre 0 et 1 permet de modifier l’influence de chaque modèle.

Pour 𝛼 = 0 on retrouve le modèle TKE, pour 𝛼 = 1 on obtient le modèle de Smagorinsky. Dans

notre cas 𝛼 = 0,5. Dans ces conditions et avec 𝐶

_𝑠,∞

= 0,173 et 𝐶

_𝑇𝐾𝐸

= 0,2 la constante du

modèle mixte 𝐶

_𝑀

est égale à 0,077.

Modélisation de la diffusivité de sous-maille

La simulation d’un écoulement anisotherme avec une méthode LES introduit un terme de

diffusivité de sous maille. Afin de modéliser ce terme, la méthode à « nombre de Prandtl

sous-maille imposé » est utilisée, et la diffusivité sous-sous-maille est calculé à partir de la viscosité turbulente.

2.1 Modèle mathématique et équations

Ainsi le vecteur sous-maille Π

_iT

défini par la relation (2.13) peut s’écrire comme le produit d’une

diffusivité sous-maille 𝑎

_𝑠𝑚

et du gradient de température résolue :

Π

_iT

= −𝑎

_𝑠𝑚

^𝜕𝑇̅

𝜕𝑥

_𝑖

^(2.22)

La diffusivité 𝑎

_𝑠𝑚

peut être obtenue en définissant un nombre de Prandtl de sous maille 𝑃𝑟

_𝑠𝑚

et à partir de l’analogie de Reynolds :

𝑎

_𝑠𝑚

= ^𝜈

^𝑡

𝑃𝑟

_𝑠𝑚

^(2.23)

A partir de la définition du nombre de Prandtl, on déduit l’expression de la conductivité

turbulente 𝜆

_𝑡

:

𝜆

_𝑡

= ^𝜇

^𝑡

^𝐶

^𝑝

𝑃𝑟

_𝑠𝑚

^(2.24)

Cette conductivité turbulente est additionnée à la conductivité thermique moléculaire et

l’équation de la chaleur ainsi obtenue s’écrit :

𝜌𝐶

_𝑝

(^𝜕𝑇̅

2 Outil numérique pour la simulation des salles informatiques

Dans le document Optimisation énergétique du rafraichissement des datacenters (Page 55-63)