Méthode numérique et code de calcul Thétis

L’ensemble des simulations a été réalisées avec Thétis. C’est un code de calcul de type volumes

finis, développé au laboratoire I2M département TREFLE et spécialisé dans la simulation

d’écoulements de fluide et de transferts de chaleur. Dans les chapitres suivants nous verrons dans

un premier temps les techniques de discrétisation en temps et en espace, le traitement des

conditions aux limites, et les méthodes numériques employées pour résoudre le système

2.2.1. Discrétisation des équations de Navier-Stokes

Comme nous l’avons vu précédemment (chapitre 2.1.1), les équations de Navier-Stokes en

formulation incompressibles décrivant le mouvement d’un fluide Newtonien, s’écrivent de la

manière suivante :

∇ ∙ 𝑢̅ = 0 (2.26)

𝜌 (^𝜕𝑢̅

𝜕𝑡 ^{+ 𝛻 ∙ 𝑢̅ ⊗ 𝑢̅) = 𝜌𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝛻 ∙ (2𝜇𝑆) +}

𝜇

𝑘^{𝑢̅ (2.27)}

A partir d’un jeu de conditions initiales et aux limites, la simulation numérique nous permet

d’approcher la solution de ce problème. Cette équation n’ayant pas de solution analytique générale,

une discrétisation de ses termes est nécessaire pour la résoudre

Discrétisation temporelle

La discrétisation en temps consiste à diviser l’axe en un nombre fini d’intervalles de temps

[𝑡

_𝑛

, 𝑡

_𝑛+1

]_{. Soit} 𝜔 une variable du système, son approximation à l’instant 𝑡

_𝑛

sera notée 𝜔

𝑛

. La

différence entre 2 instants ∆𝑡 = 𝑡

_𝑛+1

− 𝑡

_𝑛

correspond au pas de temps. La dérivée continue

temporelle de 𝜔 au temps 𝑡

_𝑛+1

peut être approximée grâce au développement Taylor tronqué à

l’ordre 1 selon l’équation suivante :

∂ω

∂t^]

n+1

=^𝜔

^𝑛+1

^{+ 𝜔}

^𝑛

∆t ^(2.28)

Cette troncature à l’ordre 1 correspond au schéma d’Euler. Son principal avantage est qu’il se

base uniquement sur l’instant précédent pour estimer la dérivée temporelle. Un schéma d’ordre 2

de type GEAR fait intervenir le terme 𝑡

_𝑛−1

en plus du terme 𝑡

_𝑛

et nécessite un stockage

d’information deux fois plus important [37].

Les équations du système ((2.26), (2.27)) sont traitées de manière implicite par le code Thétis

qui exprime tous les termes des équations de conservations au temps 𝑡

_𝑛+1

, à l’exception de la non

linéarité advective qui est linéarisée de la manière suivante :

2.2 Méthode numérique et code de calcul Thétis

𝑢̅

𝑛+1

∙ ∇𝑢̅

𝑛+1

≈ 𝑢̅

𝑛

∙ ∇𝑢̅

𝑛+1

(2.29)

Les équations de Navier-Stokes discrétisées en temps selon le schéma d’Euler s’écrivent donc :

∇. ρ = 0 (2.30)

𝜌 (^𝜕𝑢̅

𝜕𝑡^]

𝑛+1

+ 𝑢̅

𝑛

∙ 𝛻𝑢̅

𝑛+1

) = 𝜌

𝑛

𝑔 − 𝛻𝑝̅

𝑛+1

+ 𝛻 ∙ (2𝜇

𝑛

𝑆

𝑛+1

) +^𝜇̅

^𝑛

𝑘 ^𝑢̅

^𝑛+1

^(2.31)

Ce sont les variables (𝑢̅

𝑛+1

, 𝑝̅

𝑛+1

) qui seront calculées en fonction du couple (𝑢̅

𝑛

, 𝑝̅

𝑛

) grace à

une technique de couplage vitesse pression qui sera détaillé au chapitre 2.2.2.

Discrétisation spatiale

Le code de calcul Thétis, s’appuie sur une discrétisation spatiale des équations de conservation

de type volumes finis. Elle est réalisée sur des maillages structurés de type orthogonaux et décalés

en vitesse et en pression. Ces maillages sont appelés MAC (Marker And Cell) [38]. Trois grilles sont

créées et décalées les unes par rapport aux autres (représenté Figure 30) : la grille de pression, de

vitesse et de viscosité.

Figure 30 : Maillage décalé de type MAC [37]

Un avantage majeur de cette méthode concerne la discrétisation de l’équation de continuité

(système de Navier-Stokes). Pour un volume de contrôle (exemple Figure 30), on peut remarquer

que l’équation discrétisée fait intervenir la différence des vitesses adjacentes,sans avoir à interpoler,

ce qui prévient des oscillations [38]. Il existe plusieurs schémas qui permettent de discrétiser

spatialement les termes d’advection des équations :



Le schéma centré : Approximation de la variable de vitesse à la limite du volume de contrôle

(Figure 30) en fonction des nœuds de pression voisins et selon un schéma de Taylor

(tronqué à l’ordre 1 pour obtenir un schéma d’Euler).

2 Outil numérique pour la simulation des salles informatiques



Le schéma upwind : Suivant le signe de la variable de vitesse à la limite du volume de

contrôle, sa valeur est égale à celle de la variable située en amont ou en aval.



Le schéma theta : C’est le schéma utilisé dans le cadre de cette étude. Il réalise une

combinaison des schémas centré et upwind, en effectuant une moyenne des deux schémas,

pondérée par un coefficient 𝜃. Dans le cas présent 𝜃 = 0,5, ce qui signifie que les deux

schémas ont la même influence.

Conditions aux limites

La résolution des équations discrétisées nécessitent l’intégration de conditions aux limites du

domaine. Celles-ci sont ajoutées aux équations de la manière suivante dans le code de calcul [39] :

𝐵𝑖

_𝑑

(∅ − ∅

₀

) + 𝐵𝑖

_𝑛

(^𝜕∅

𝜕𝑛⁻

𝜕∅

𝜕𝑛

₀

^{) (2.32)}

Les termes de l’équation 2.16, permettent d’écrire des conditions aux limites de type Dirichlet

en posant localement 𝐵𝑖

_𝑑

= +∞𝐼𝑑^̿̿̿ et 𝐵𝑖

_𝑛

= 0, puis ∅

₀

la valeur imposée à la variable, où des

conditions de type Neumann en fixant 𝐵𝑖

_𝑛

= +∞𝐼𝑑^̿̿̿ et 𝐵𝑖

_𝑑

= 0 avec

^𝜕∅

𝜕𝑛0

la valeur imposée au

gradient. La condition est dite « libre » lorsque

^𝜕∅

𝜕𝑛0

= 0. Que ce soit pour l’équation de l’énergie ou

celle du mouvement, cette méthode permet de spécifier et de modifier des conditions aux limites

très simplement au cours du calcul et sur l’ensemble du domaine.

2.2.2. Traitement de l’incompressibilité et couplage vitesse/pression

En dehors du traitement de la non-linéarité (qui est approximée par l’équation 2.29), une

difficulté majeure de l’obtention de solutions numériques des équations de Navier-Stokes vient du

couplage vitesse/pression. Il s’agit de déterminer un champ de pression assurant une vitesse à

divergence nulle en découplant la vitesse de la pression. C’est une méthode de « splitting » [40].

Dans le cadre de ce projet c’est la méthode de correction de pression qui a été retenue pour

résoudre le système. Cette méthode néglige le terme d’advection de la vitesse lors de la résolution.

Par ailleurs le terme de perméabilité n’est utilisé que pour pénaliser la vitesse à 0 dans certaines

parties du domaine, sa valeur de cette perméabilité étant imposée soit à +∞ soit à 0. Il n’intervient

donc pas pendant la résolution. Finalement, les équations de Navier-Stokes en incompressibles

(2.31) peuvent être réduites aux équations de Stokes instationnaires et incompressibles décrites

ci-dessous :

𝜌^𝜕𝑢̅

𝜕𝑡 ^{+ (𝑢̅ ∙ ∇)𝑢̅ − (𝜇 + 𝜇}

^𝑡

^{)∆𝑢̅ + ∇𝑝̅ = 𝑓 (2.33)}

2.2 Méthode numérique et code de calcul Thétis

Où 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑡) est une force volumique, elle représente ici la force de gravité. Il est à noter

que dans le cas d’un écoulement incompressible, ∆𝑢 et ∇ ∙ (∇𝑢 + (∇𝑢)

𝑇

) _{sont équivalents car} ∇ ∙

(∇𝑢 + (∇𝑢)

𝑇

) = ∆𝑢 + ∇(∇ ∙ 𝑢), or ∇ ∙ 𝑢 = 0. Les équations (2.33) et (2.34) sont discrétisées en

temps selon le schéma d’Euler à l’ordre 1 :

𝜌^𝑢̅

^𝑛+1

^{− 𝑢̅}

^𝑛

∆𝑡 ^{+ (𝑢̅}

^𝑛

^{∙ ∇)𝑢̅}

^𝑛+1

^{− (𝜇 + 𝜇}

^𝑡

^)∆𝑢̅

^𝑛+1

^{+ ∇𝑝̅}

^𝑛+1

^{= 𝑓}

^𝑛+1

^(2.35)

∇ ∙ 𝑢̅

𝑛+1

= 0 (2.36)

En utilisant le schéma de correction de pression, on décompose les équations (2.35) et (2.36)

en deux sous problèmes. La première étape consiste à calculer une prédiction du champ de vitesse

𝑢

∗,𝑛+1

, sans tenir compte de la contrainte d’incompressibilité et selon l’équation :

𝜌^𝑢̅

^∗,𝑛+1

^{− 𝑢̅}

^𝑛

∆𝑡 ^{+ (𝑢̅}

^𝑛

^{∙ ∇)𝑢̅}

^∗,𝑛+1

^{− (𝜇 + 𝜇}

^𝑡

^)∆𝑢̅

^∗,𝑛+1

^{+ ∇𝑝̅}

^∗

^{= 𝑓}

^𝑛+1

^(2.37)

Pour la pression 𝑝

∗

nous utiliserons le schéma proposé par Goda où 𝑝̅

∗

= 𝑝̅

𝑛

.

La seconde étape consiste à corriger l’erreur commise lors de la prédiction de 𝑢

∗,𝑛+1

en

soustrayant (2.37) à (2.36). Durant cette opération on néglige les termes d’advection de la vitesse

(𝑢̅

𝑛

∙ ∇)𝑢̅

∗,𝑛+1

− (𝑢̅

𝑛

∙ ∇)𝑢̅

𝑛+1

, et de viscosité (𝜇 + 𝜇

_𝑡

)∆𝑢̅

∗,𝑛+1

− (𝜇 + 𝜇

_𝑡

)∆𝑢̅

𝑛+1

, en

considérant que les valeurs de 𝑢̅

𝑛+1

et 𝑢̅

∗,𝑛+1

sont suffisamment proches. On obtient la relation

ci-dessous :

𝜌

∆𝑡(𝑢̅

𝑛+1

− 𝑢̅

∗,𝑛+1

) + ∇𝑝̅

𝑛+1

− ∇𝑝̅

∗

= 0 (2.38)

Définissons maintenant :

𝜑

𝑛+1

= 𝑝̅

𝑛+1

− 𝑝̅

∗

(2.39)

En appliquant l’opérateur divergence à l’équation (2.38), nous obtenons la relation :

∆𝑡

𝛼𝜌^∆𝜑

^𝑛+1

^{= ∇ ∙ 𝑢̅}

^∗,𝑛+1

^(2.40)

2 Outil numérique pour la simulation des salles informatiques

𝑝̅

𝑛+1

= 𝑝̅

𝑛

+ 𝜑

𝑛+1

(2.41)

𝑢̅

𝑛+1

= 𝑢̅

∗,𝑛+1

− ^∆𝑡

𝜌𝛼^∇𝜑

^𝑛+1

^(2.42)

Le code de calcul réalise plusieurs itérations en recommençant les calculs à partir de l’étape de

prédiction (2.37) et en prenant 𝑝̅

∗

= 𝑝̅

𝑛+1

. Lorsque 𝑢̅

𝑛+1

≈ 𝑢̅

∗,𝑛+1

, les résultats ont convergé et

le code passe à l’itération en temps 𝑡

𝑛+2

.

2.2.3. Discrétisation de l’équation de l’énergie

L’équation de l’énergie est discrétisée temporellement selon un schéma d’Euler d’ordre 1 :

𝜌𝐶

_𝑝

(^𝑇̅

𝑛+1

− 𝑇̅

𝑛

∆𝑡 ^{+ 𝑢̅}

^𝑛+1

^{∙ ∇𝑇̅}

^𝑛+1

^{) = ∇ ∙ ((𝜆 + 𝜆}

^𝑡

^)∇𝑇̅

^𝑛+1

^{) (2.43)}

Spatialement, l’équation de l’énergie est discrétisée par un schéma hybride sur les termes

convectifs et par un schéma centré pour la diffusion.

Dans le document Optimisation énergétique du rafraichissement des datacenters (Page 63-67)