Modèle maillé d’un milieu « binaire » constitué de vides et de leur encaissant

Nous avons déterminé que la méthode TVD était la plus pertinente pour calculer le transport de masse dans les configurations qui nous intéressent.

57 Le calage de la porosité concerne également l’hydrodynamique transitoire, où l’on considère porosité de drainage et emmagasinement captif.

162 Cette seconde approche a maintenant pour but de s’approcher au mieux de la géométrie réelle du micromodèle, en considérant l’encaissant comme extrêmement peu perméable, comparativement aux tranchées qui sont des chemins privilégiés pour le fluide.

Les simulations hydrodynamiques montrent que, lorsque le maillage est orienté comme dans le cas du milieu équivalent, l’eau doit se mettre en charge à hauteur de 104 m dans le modèle pour pouvoir faire pénétrer le débit injecté dans le modèle. Cela s’explique simplement en se rappelant que MARTHE n’autorise la circulation d’eau qu’entre la maille de calcul et ses voisines orthogonales, et non diagonales. Avec cette géométrie, l'eau se met donc fortement sous pression pour pouvoir faire pénétrer le débit imposé à la maille d’entrée vers l’intérieur du modèle, à travers l’encaissant quasiment imperméable (Figure 77).

Figure 77- Orientation de maillage inadapté au problème

Une correction d’orientation du maillage est nécessaire pour assurer une bonne connectivité des mailles58 représentant les tranchées (Figure 78). L’espacement entre les tranchées doit être modifié pour recréer au mieux la géométrie, et passe à 0,08 cm.

Figure 78 - Adaptation du micromodèle sous MARTHE, avec un maillage fin et incliné.

Dans cette représentation relativement réaliste du réseau (Tableau 12), on introduit tout de même un biais dans la géométrie en considérant que (i) les tranchées ont une géométrie qui occupe une maille entière, alors que leur pénétration n’est que partielle, que (ii) leur géométrie est régulière alors qu’il existe de plus une déviation standard de leur largeur et de leur profondeur d’environ 10% résultant de leur gravure, et finalement que (ii) le réseau n’est

163 constitué que de tranchées alors qu’on trouve des nœuds et de pores (nœuds de taille supérieure) en grand nombre.

On choisira une largeur de tranchée de 0,04 cm, pour correspondre à un demi-espace entre les tranchées (0,07 cm).

Cette géométrie approximative entraîne la nécessité de caler les dispersivités ainsi que la porosité des tranchées.

On cale d’abord la porosité des mailles de tranchées en décalant la courbe de restitution du point B jusqu’au milieu de la courbe expérimentale. En effet, l’approche choisie introduit tout de même un biais dans la géométrie du réseau, comme indiqué plus haut. Nous corrigeons ce biais en calant la porosité de tranchée à 43,5%.

Ensuite, on cale les dispersivités des tranchées pour adapter au mieux la forme de la courbe de restitution du point B à celle de l’expérience. On attribuera ainsi aux tranchées une dispersivité longitudinale valant 20% de la largeur de leur maille (0,08 cm) pour tenir compte de la description perfectible de la géométrie du réseau (valeur dix fois moindre pour la dispersivité transversale). Les dispersivités de l’encaissant seront du même ordre de grandeur, car les incertitudes sont similaires.

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Tableau 12 - Valeurs des paramètres utilisés dans l’approche binaire avec un modèle calé

La rotation du maillage a permis de revenir à des charges faibles en entrée, de valeurs similaires au milieu équivalent Figure 79. Les isopièzes sont également réparties de la même façon.

Figure 79- Isopièzes sur fond de champ de charge hydraulique, pour un modèle « binaire ». Les valeurs sont données en cm.

La vitesse de pore au centre du modèle est d’environ 0,35 mm/s dans les branches.

59 Déterminée par calcul en considérant la tranchée comme une fracture. Faire varier légèrement cette valeur ne change rien au champ de vitesse final, seules les charges sont modifiées.

Modèle « binaire »

Paramètre Encaissant Vides (tranchées) Conductivité hydraulique 10-8 cm/s 0,5 cm/s59 Diffusion moléculaire 5 10-6 cm²/s 5 10-6 cm²/s Dispersivité longitudinale 5 10-3 cm 8 10-3 cm Dispersivité transversale 5 10-4 cm 8 10-4 cm Porosité 1% 43,5% Débit injecté 5,5 10-4 cm3/s Maillage Longueur maximale = 6,4 cm Largeur maximale = 4,0 cm Epaisseur = 0,02 cm

Largeur / longueur de maille = 0,04 cm Espacement des tranchées = 0,08 cm

165 Un calcul simple nous montre que cela correspond à une vitesse moyenne de 0,25 mm/s si l’on observe le passage du traceur entre deux pores se faisant face, comme dans l’expérience (Figure 80). Ce point de vue est identique à celui du milieu équivalent, où le traceur n’est pas dévié par le réseau de tranchées.

Figure 80 –Chemins parcourus par l’eau entre deux pores du micromodèle se faisant face, selon deux points de vue.

Par ailleurs, la vitesse de pore est de 510-7 mm/s dans l’encaissant. Autrement, dit, aucun transport par advection n’est possible dans ce dernier.

Le calcul du transport par la méthode TVD donne des résultats proches de ceux obtenus pour le milieu équivalent (Figure 81). L’augmentation de la concentration réduite dans l’encaissant est très lente, du fait de l’advection nulle60. On précise que les points « Encaissant » et « Tranchée » sont choisis dans des mailles voisines pertinentes.

Figure 81 - Courbes de restitution du traceur selon l’observation (« exp »), l’approche en milieu binaire (« MB ») et l’approche en milieu équivalent (« ME ») sous MARTHE, avec résolution du transport par la méthode TVD. Dans l’ordre, les courbes bleues, rouges et vertes sont associées aux points A, B et C de la Figure 56. La concentration est réduite par la teneur injectée. La porosité de tranchée du milieu binaire

considérée est de 43,5%.

60 Réduire de plusieurs ordres de grandeur la porosité déjà faible (1%) pour augmenter la vitesse de pore ne change presque rien au comportement du traceur dans l’encaissant.

166 En conclusion, cette approche « binaire » paraît particulièrement pertinente pour modéliser le transport de masse dans une géométrie s’apparentant à un étage minier. Par rapport à l’approche équivalente, elle a l’avantage de faire la distinction entre le comportement du traceur dans les vides où le transport se fait essentiellement par advection, de celui dans l’encaissant, régi par la dispersion (diffusion moléculaire potentiellement renforcée par la dispersion cinématique en cas de fissuration par exemple).

De plus, l’hydrodynamique est très bien restituée, dès lors que l’écoulement reste laminaire.