Chapitre II Mécanismes thermo-hydrodynamiques à l’échelle d’un puits
1.1 Géométrie pour une colonne d’eau isolée (convection naturelle) ou non (convection mixte) . 75
On travaille en deux dimensions. On considère le puits comme étant un élément cylindrique de hauteur Hf (correspondant à la hauteur d’eau), où le vecteur unitaire 𝑒𝑒⃗𝑧𝑧 est orienté vers le haut (Figure 28 et Figure 29). Les parois latérales sont supposées imperméables et adiabatiques. Comme expliqué précédemment, elles ne le sont pas en réalité, mais les échanges existants avec l’encaissant sont modélisés par des gradients imposés aux parois, dont nous discuterons plus bas.
On tient compte d’une force volumique (gravité) exercée sur l’ensemble de la colonne d’eau, dont l’intensité 𝜌𝜌(𝑇𝑇, 𝑆𝑆) ∗ 𝑐𝑐 est fonction de la masse volumique, elle-même fonction de la température et de la salinité grâce à l’approximation d’Oberbeck-Boussinesq utilisée.
On ne tient pas compte des effets Soret et Dufour.
Figure 28 – Modèle conceptuel de colonne d’eau isolée dans un puits cylindrique vertical en 2D.
Dans le cas de la convection mixte, l’objectif est de reproduire, dans la colonne d’eau, le forçage imposé par la convection inter-étages à grande échelle qui existe dans la mine15. La
15 Différents tests effectués dans le cadre des simulations numériques pour la convection mixte ont permis de constater que la prise en compte de géométries de galeries plus réalistes (en deux
76 colonne d’eau est supposée initialement stabilisée selon le régime correspondant aux contraintes thermo-solutales locales.
Figure 29 - Modèle conceptuel de colonne d'eau non isolée dans un puits cylindrique vertical en 2D. A gauche et à droite, un écoulement respectivement descendant et ascendant est forcé dans la colonne
d’eau préalablement stabilisée.
1.2 Propriétés thermo-physiques de référence pour l’eau
de mine
1.2.1 Masse volumique
La masse volumique 𝜌𝜌0 de référence de l’eau est calculée avec une précision de 0,1 % −+ , pour chaque zone modélisée, grâce à une corrélation valable pour une température 𝑇𝑇0 allant de 0 à 180°C et une salinité 𝑆𝑆0 allant de 0 à 160 kg/m3, soit 160 000 mg/L [33] :
𝝆𝝆𝟎𝟎(𝑻𝑻𝟎𝟎, 𝑺𝑺𝟎𝟎) = �𝒂𝒂𝟏𝟏+ 𝒂𝒂𝟐𝟐𝑻𝑻𝟎𝟎+ 𝒂𝒂𝟑𝟑𝑻𝑻𝟎𝟎𝟐𝟐+ 𝒂𝒂𝟒𝟒𝑻𝑻𝟎𝟎𝟑𝟑+ 𝒂𝒂𝟓𝟓𝑻𝑻𝟎𝟎𝟒𝟒� + (𝒃𝒃𝟏𝟏𝑺𝑺𝟎𝟎+ 𝒃𝒃𝟐𝟐𝑺𝑺𝟎𝟎𝑻𝑻𝟎𝟎+ 𝒃𝒃𝟑𝟑𝑺𝑺𝟎𝟎𝑻𝑻𝟎𝟎𝟐𝟐+ 𝒃𝒃𝟒𝟒𝑺𝑺𝟎𝟎𝑻𝑻𝟎𝟎𝟑𝟑+ 𝒃𝒃𝟓𝟓𝑺𝑺𝟎𝟎𝟐𝟐𝑻𝑻𝟎𝟎𝟐𝟐) Où
dimensions), i.e. connectées perpendiculairement à la colonne d’eau, n’avait que peu d’influence sur les résultats observés à proximité immédiate (une dizaine de mètres environ) des ouvertures, et aucune influence au-delà. À partir d’un forçage suffisant (1 m / min), les lignes de courant se tordent progressivement en s’éloignant de l’ouverture de galerie, permettant de passer d’un écoulement uniquement horizontal à un écoulement uniquement vertical. Ainsi, nous avons fait le choix d’utiliser des entrées et sorties d’eau directement aux extrémités, pour conserver une symétrie axiale plus pratique à manipuler.
77 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 𝑎𝑎1 = 9,999 ∗ 102 𝑎𝑎2 = 2,034 ∗ 10−2 𝑎𝑎3= −6,162 ∗ 10−3 𝑎𝑎4 = 2,261 ∗ 10−5 𝑎𝑎5= −4,657 ∗ 10−8 𝑏𝑏1= 8,020 ∗ 102 𝑏𝑏2= −2,001 𝑏𝑏3= 1,677 ∗ 10−2 𝑏𝑏4= −3,060 ∗ 10−5 𝑏𝑏5= −1,613 ∗ 10−5
Et où l’on définit 𝑇𝑇0 (K) et 𝑆𝑆0 (kg/m3) comme étant respectivement égales à la moyenne des températures et salinités imposées en haut et en bas des parois du puits (ou à proximité immédiate, dans le cas mixte), soit :
𝑇𝑇0=𝑇𝑇ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎+ 𝑇𝑇𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏 2 𝑆𝑆0 =𝑆𝑆ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎+ 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏
2
La valeur de 𝜌𝜌0 varie entre 1000,16 et 1006,34 kg/m3 dans nos travaux.
Les variations des autres propriétés thermo-physiques seront supposées négligeables par rapport à celles de la masse volumique autour de sa valeur de référence.
1.2.2 Viscosité cinématique
La viscosité cinématique 𝜈𝜈 de référence de l’eau, qui varie beaucoup avec la température, est calculée avec une précision de 1,5 % −+ , pour chaque zone modélisée, grâce à une corrélation donnant la viscosité dynamique 𝜇𝜇 (kg/(m.s)), valable pour une température 𝑇𝑇0 allant de 0 à 180°C et une salinité 𝑆𝑆0 allant de 0 à 150 kg/m3, soit 150 000 mg/L [34] :
𝜇𝜇(𝑇𝑇0, 𝑆𝑆0) = 𝑎𝑎1∗ (1 + 𝑎𝑎2∗ 𝑆𝑆0+ 𝑎𝑎3∗ 𝑆𝑆02) Où � 𝑎𝑎1= 4,2844 ∗ 10−5+ [0,157 ∗ (𝑇𝑇0+ 64,993)2− 91,296]−1 𝑎𝑎2= 1,541 + 1,998 ∗ 10−2∗ 𝑇𝑇0− 9,52 ∗ 10−5∗ 𝑇𝑇02 𝑎𝑎3= 7,974 − 7,561 ∗ 10−2∗ 𝑇𝑇0+ 4,724 ∗ 10−4∗ 𝑇𝑇02
Le coefficient 𝑎𝑎1 correspond à la viscosité cinématique de l’eau pure, pour laquelle une autre corrélation est utilisée [35].
On a finalement :
𝝂𝝂(𝑻𝑻𝟎𝟎, 𝑺𝑺𝟎𝟎)=𝝆𝝆𝝁𝝁(𝟎𝟎(𝑻𝑻𝑻𝑻𝟎𝟎, 𝑺𝑺𝟎𝟎)
𝟎𝟎, 𝑺𝑺𝟎𝟎)
78
1.2.3 Diffusivité solutale (diffusivité de masse)
La diffusivité solutale 𝐷𝐷𝑆𝑆 de référence pour les sels dissous est principalement conditionnée par les proportions relatives des ions et cations constituant le mélange considéré, mais elle dépend également de sa température de référence [36].
L’eau du bassin houiller lorrain a une composition ionique moyenne de 50% de chlorure (𝐷𝐷𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶−
= 2,032 ∗ 10−9 𝑚𝑚2/𝑚𝑚), 30% de sodium (𝐷𝐷𝑆𝑆𝑁𝑁𝑎𝑎+
= 1,334 ∗ 10−9 𝑚𝑚2/𝑚𝑚), 15% d’hydrogénocarbonate (𝐷𝐷𝑆𝑆𝐻𝐻𝐶𝐶𝐻𝐻3−
= 1,185 ∗ 10−9 𝑚𝑚2/𝑚𝑚) et 10% de sulfate (𝐷𝐷𝑆𝑆𝑆𝑆𝐻𝐻42− = 1,065 ∗ 10−9 𝑚𝑚2/𝑚𝑚). Les valeurs de diffusivité solutale indiquées correspondent à une température de référence de 25°C. Pour cette température, la diffusivité du mélange DS
(25°C) vaut :
𝐷𝐷𝑆𝑆(25°𝐶𝐶) = 0,5 ∗ 𝐷𝐷𝑏𝑏𝐶𝐶𝐶𝐶−
+ 0,3 ∗ 𝐷𝐷𝑏𝑏𝑁𝑁𝑎𝑎+
+ 0,15 ∗ 𝐷𝐷𝑏𝑏𝐻𝐻𝐶𝐶𝐻𝐻3−
+ 0,1 ∗ 𝐷𝐷𝑏𝑏𝑆𝑆𝐻𝐻42− = 1,70 ∗ 10−9 𝑚𝑚2/𝑚𝑚 Cette température est une bonne moyenne pour l’eau de mine du siège Vouters aux profondeurs considérées : la diffusivité à 25°C sera donc prise pour référence dans nos travaux.
La diffusivité de référence 𝐷𝐷𝑆𝑆 du mélange est ensuite donnée par la relation [36] : 𝟐𝟐𝑺𝑺(𝑻𝑻𝟎𝟎, 𝑺𝑺𝟎𝟎) =(𝑻𝑻(𝟐𝟐𝟓𝟓 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑) ∗ 𝝁𝝁(𝟎𝟎+ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑) ∗ 𝝁𝝁(𝟐𝟐𝟓𝟓°𝑪𝑪, 𝑺𝑺𝟎𝟎)
𝑻𝑻𝟎𝟎, 𝑺𝑺𝟎𝟎) ∗ 𝟐𝟐𝒔𝒔(𝟐𝟐𝟓𝟓°𝑪𝑪) Sa valeur varie entre 1,4 et 1,7 * 10-9 m2/s dans nos travaux.
1.2.4 Diffusivité thermique
La diffusivité thermique 𝐷𝐷𝑇𝑇 de référence de l’eau, qui varie beaucoup avec la température, est calculée à partir de la conductivité thermique 𝜆𝜆16 (exprimée en W/(m.K) avec une précision de 3 % −+ sur la première corrélation utilisée [37]) et de la capacité calorifique à pression constante 𝐶𝐶𝑝𝑝 (exprimée en J/(kg.K) avec une précision de 0,28 % −+ sur la seconde corrélation utilisée [38]), pour chaque zone modélisée, valable pour une température17
𝑇𝑇0 allant de 0 à 180°C et une salinité18 𝑆𝑆0 allant de 0 à 160 kg/m3, soit 160 000 mg/L : On calcule d’abord 𝜆𝜆 selon :
𝑙𝑙𝐶𝐶𝑐𝑐10[𝜆𝜆(𝑇𝑇0, 𝑆𝑆0)] = 𝑙𝑙𝐶𝐶𝑐𝑐10(𝑎𝑎1) + 0,434 ∗ 𝑎𝑎2∗ 𝑎𝑎3 Où ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑎𝑎1 = 240 + 0,0002 ∗ 𝑆𝑆0 𝑎𝑎2= 2,3 −343,5 + 0,037 ∗ 𝑆𝑆𝑇𝑇 0 0+ 273,15 𝑎𝑎3= �1 −647 + 0,03 ∗ 𝑆𝑆𝑇𝑇0+ 273,15 0�−1
16 Précision totale de 3,28 % −+ par sommation des deux incertitudes.
17 La corrélation utilise la température au sens de l’IPTS-68, dont la différence avec la température habituelle sera considérée comme négligeable dans nos travaux (de l’ordre de 0,001°C).
18 La corrélation utilise la salinité pratique au sens de la PSS-68, dont la différence avec la salinité habituelle sera considérée comme négligeable dans nos travaux (conversion faite, de l’ordre de 10 mg/L).
79 Puis on calcule 𝐶𝐶𝑝𝑝 selon :
𝐶𝐶𝑝𝑝(𝑇𝑇0, 𝑆𝑆0) = 𝑎𝑎1+ 𝑎𝑎2𝑇𝑇0+ 𝑎𝑎3𝑇𝑇02+ 𝑎𝑎4𝑇𝑇03 Où ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑎𝑎1= 4206,8 − 9,76 ∗ 10−2∗ 𝑆𝑆0+ 4,04 ∗ 10−4∗ 𝑆𝑆02 𝑎𝑎2= −1,1262 + 7,351 ∗ 10−4∗ 𝑆𝑆0+ 3,15 ∗ 10−6∗ 𝑆𝑆02 𝑎𝑎3= 1,2026 ∗ 10−2− 1,927 ∗ 10−6∗ 𝑆𝑆0+ 8,23 ∗ 10−9∗ 𝑆𝑆02 𝑎𝑎4= 6,8777 ∗ 10−7+ 1,667 ∗ 10−9∗ 𝑆𝑆0− 7,125 ∗ 10−12∗ 𝑆𝑆02 On a finalement : 𝟐𝟐𝑻𝑻(𝑻𝑻𝟎𝟎, 𝑺𝑺𝟎𝟎)=𝝆𝝆 𝝀𝝀(𝑻𝑻𝟎𝟎, 𝑺𝑺𝟎𝟎) 𝟎𝟎(𝑻𝑻𝟎𝟎, 𝑺𝑺𝟎𝟎)∗ 𝑪𝑪𝒑𝒑(𝑻𝑻𝟎𝟎, 𝑺𝑺𝟎𝟎)
Sa valeur varie entre 1,44 et 1,46 * 10-9 m2/s dans nos travaux.
1.2.5 Autres grandeurs
Le Tableau 2 donne les valeurs des autres grandeurs qui resteront constantes au fil des simulations, et qui sont le plus souvent prises en compte dans la littérature [29, 25].
Tableau 2 – Constantes utilisées pour les calculs de stabilité et la modélisation numérique du fonctionnement de l’eau dans le puits Vouters 2
Paramètre Valeur
Coefficient de dilatation thermique α (1/K) Coefficient de dilatation solutale β (m3/kg) Accélération de la pesanteur g (m/s²)
2 * 10-4
7,55 * 10-4
9,81